Oggi è il giorno 26, partiamo allora da 2 e 6...

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Oggi è il giorno 26, partiamo allora da 2 e 6...

Messaggio da Bruno » sab ago 26, 2017 7:42 am

Abbiamo questa sequenza:

$2, \, 6, \, 18, \, 35, \, 58, \, 111, \, 115, \, 127, \, 151, \, 163, \, 191, \, 211, \, 217, \, 241, \, 256, \,...$

Come prosegue?

I termini mostrati sono molti di più di quelli che servono per scoprire la legge di formazione :wink:
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Re: Oggi è il giorno 26, partiamo allora da 2 e 6...

Messaggio da Bruno » lun ago 28, 2017 7:59 am

Marginalmente.

Mentre si osserva una sequenza si possono cogliere degli aspetti interessanti e magari inattesi, ma può essere non facile analizzarli con carta e penna.
Per fortuna esistono programmi gratuiti o disponibili anche online, come SageMath, PARI/GP, python, MAGMA etc., che permettono di fare delle esplorazioni stimolanti in maniera piuttosto spedita, utilizzando un vocabolario abbastanza semplice.

Ritornando alla nostra sequenza, una volta trovata la regola, potremmo considerare le seguenti domande.

2, 151 $\,$e $\,$191 $\;$sono $\,$numeri primi palindromi. $\;$ Qual è il successivo?

Nel primo tratto della sequenza si vedono nove termini consecutivi dispari. $\;$ Qual è la posizione del più piccolo termine pari seguito da otto termini pari, se esso esiste?

Ci sono dei cubi nella sequenza? Se sì, che posizione occupa il cubo più piccolo?
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Re: Oggi è il giorno 26, partiamo allora da 2 e 6...

Messaggio da Bruno » mer set 13, 2017 2:38 pm

Dal primo termine si può ricavare il secondo e dal secondo il terzo, ma la regola dà più soddisfazione :D passando da 18 a 35, da 35 a 58 etc.
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Re: Oggi è il giorno 26, partiamo allora da 2 e 6...

Messaggio da Bruno » dom set 17, 2017 9:04 am

Le cifre fanno parte del gioco :wink:
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Re: Oggi è il giorno 26, partiamo allora da 2 e 6...

Messaggio da Bruno » ven ott 06, 2017 1:51 pm

:D

In quanti modi possiamo passare da 35 a 58, per mezzo delle cifre di 35 e di 35 stesso, senza estrazioni di radici, sottrazioni, divisioni o potenze,
ma sommando e moltiplicando seguendo un'idea abbastanza semplice?

Uno di quei modi è la regola di questa sequenza.
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Re: Oggi è il giorno 26, partiamo allora da 2 e 6...

Messaggio da Pasquale » dom ott 08, 2017 3:43 pm

Se ho bene interpretato, in prima battuta direi che:

6 = 2x2 +2
18 = 6+6+6
35 = 18+8+8+1
58 = 3x5+35+3+5
111 = 5x8+58+5+8
115 = 1+1+1+1+111
127 = 115+5+5+1+1
151 = 127+17+7
163 = 151+6+6
ecc.
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Re: Oggi è il giorno 26, partiamo allora da 2 e 6...

Messaggio da Bruno » dom ott 08, 2017 3:45 pm

Touché, Pasquale :D

Bravo!

La sequenza ottenuta è una variante di questa.

(La regola applicata a 6 porta a 2+2+2, come per 18. Inoltre, 151 = 127+14+10 e 163 = 151+5+7.)
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Re: Oggi è il giorno 26, partiamo allora da 2 e 6...

Messaggio da Bruno » dom ott 08, 2017 5:14 pm

E ora:

. ci sono dei cubi nella sequenza così determinata? Se sì, qual è la posizione del cubo più piccolo?
. qual è la posizione del più piccolo termine pari seguito da otto termini pari, se esso esiste?



(Qui l'ausilio di un programma come Decimal Basic o PARI/GP o MAGMA etc. è naturalmente importante
e i risultati sono in qualche modo inaspettati.)
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Re: Oggi è il giorno 26, partiamo allora da 2 e 6...

Messaggio da Pasquale » lun ott 09, 2017 12:36 am

OK, ho trovato in 977297^ posizione il cubo 210.644.875, mentre 709.732.288 è il secondo, in posizione 2251864^ (pensavo peggio)
Inoltre, la sequenza 3873032, 3873058, 3873092, 3873124, 3877184, 3914854, 3932168, 3939976, 4215584, inizia in 17556esima posizione :D

Preciso che nel calcolo di un termine della sequenza, partendo da quello che lo precede, il prodotto delle cifre di quest'ultimo non viene aggiunto se il numero contiene uno zero. Non si esclude che si potrebbe sempre aggiungere un prodotto, moltiplicando solo le cifre diverse dallo zero, se si vuole che sia così.

Una volta presa la mano, ci si può divertire nella ricerca di altre particolarità. Ad esempio 29^5 = 20511149 si trova in 103717^ posizione e vien fuori più velocemente del cubo
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Re: Oggi è il giorno 26, partiamo allora da 2 e 6...

Messaggio da Bruno » lun ott 09, 2017 10:53 am

Ottimo, Pasquale :D

Il primo cubo si trova alla fine del primo milione di termini, per il secondo cubo bisogna superarne due milioni,
un risultato che non mi aspettavo...
I numeri triangolari e anche i quadrati sono senz'altro più frequenti.
Colpisce il salto dal secondo biquadrato al terzo :wink:
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Re: Oggi è il giorno 26, partiamo allora da 2 e 6...

Messaggio da Pasquale » lun ott 09, 2017 5:18 pm

Già......la cosa strana è che il secondo biquadrato è 18^4, mentre il terzo 180^4 (104976 e 1049760000), con un salto di posizione da 434 a 4195838.
Sarebbe ancora più strano se il quarto biquadrato fosse 10497600000000 :shock:, ma non è così, credevo peggio:
in posizione 23505322^ troviamo 6059221281=279^4 :wink:
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Re: Oggi è il giorno 26, partiamo allora da 2 e 6...

Messaggio da Bruno » lun ott 09, 2017 6:36 pm

:D

Vedi quante cose capitano quando si studia una sequenza?
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Re: Oggi è il giorno 26, partiamo allora da 2 e 6...

Messaggio da Pasquale » lun ott 09, 2017 9:19 pm

Già! Compattando i primi 5 numeri della sequenza iniziale (2,6,18,35,58) nell'unico 26183558, riusciamo a trovare quest'ultimo fra i decimali di \pi?
In caso positivo, in quale posizione lo troviamo?

In prima battuta devo confessare di essere stato troppo ottimista nella proposta: pertanto sarà meglio limitare la ricerca al più semplice 2618, da me già individuato in posizione abbordabile, talché mi son messo ora a caccia del 26183, finora ancora senza esito. :(
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Re: Oggi è il giorno 26, partiamo allora da 2 e 6...

Messaggio da Bruno » mar ott 10, 2017 7:58 am

Posizione: contando a partire dalla prima cifra dopo la virgola, 2 è la \; 76 151 817 ª \, cifra decimale di Pi greco :D

La stringa 26183558 ricorre tre volte nei primi \, 200 000 000 \, di cifre di Pi greco.
Lo stesso capita a 85538162.
Si ripete una volta in più 12355688.
Troviamo una volta soltanto, invece, rispetto al medesimo intervallo, 35582618.
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Re: Oggi è il giorno 26, partiamo allora da 2 e 6...

Messaggio da Pasquale » mar ott 10, 2017 5:16 pm

Sito interessante con calcoli veloci.
Naturalmente io stavo procedendo col solito Decimal Basic, ma disponevo solo di 100.000 decimali. :(
Quindi, mentre il 2618 è venuto fuori in posizione 3341^, adesso so che per le 5 cifre 26183 avrei dovuto giungere sino alla 170.699^.
La posizione 76.151.817^ delle 8 cifre di 26183558 era praticamente irraggiungibile dal povero Decimal, che peraltro può trattare stringhe di lunghezza massima intorno agli 8.000.000 di caratteri. :?
Potenza del pigreco e di chi l’ha fatto :) ….. una sequenza infinita di decimali, talché se la stringa cercata fosse stata ad esempio:

9265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223,
l’avremmo trovata a partire dalla …………….… quinta cifra decimale :D

Concludo queste elucubrazioni con un mio vecchio brano musicale suggerito ed ispirato dal vecchio Pigreco: :mrgreen:

Codice: Seleziona tutto

!musica con i decimali di pigreco 
!cliccare su doppia precisione per evitare il blocco
!Premere spazio per terminare
!Consigliato per chi soffre d’insonnia 

LET  a=FP(PI)
LET  a$=right$(STR$(a),999)
DO
   FOR m=1 TO 997 STEP 2
      LET  x=VAL(mid$(a$,m,2))
      LET p=5+INT(RND*3)
      LET q=4+INT(RND*3)
      beep p*x,q*x
      CHARACTER INPUT nowait:e$ 
      IF e$=" " THEN EXIT DO   
   next  M
LOOP UNTIL e$ = " "
END
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