Numero di triangoli equilateri

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Diego
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Numero di triangoli equilateri

Messaggio da Diego » lun mar 07, 2016 6:37 pm

Ho un triangolo equilatero ABC,
divido ogni suo lato in N parti uguali, in modo da formare N segmenti della stessa lunghezza su ciascuno dei 3 lati.
Dai vertici di questi segmenti traccio nuovi segmenti paralleli ai lati del triangolo ed aventi i vertici sui lati del triangolo,
Avrò cosi:
(N - 1) segmenti paralleli al lato AB,
(N - 1) segmenti paralleli al lato BC,
(N - 1) segmenti paralleli al lato AC,

Considero ora l'insieme di tutti i punti che appartengono almeno a 2 segmenti distinti:

Quanti sono i triangoli equilateri che hanno questi punti come loro vertici ?

gnugnu
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Re: Numero di triangoli equilateri

Messaggio da gnugnu » mer mar 09, 2016 4:32 pm

Interpretando alla lettera il testo, non considerando i triangoli che hanno almeno un vertice coincidente con uno del triangolo iniziale, ottengo:
$t_n=\frac {4n^3+10n^2-44n+31+(-1)^n} {16}$ con $n>0$
Ciao
B.

Diego
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Re: Numero di triangoli equilateri

Messaggio da Diego » mer mar 09, 2016 9:12 pm

Ciao Gnugnu,

grazie per la risposta. Ora ti pongo 2 domande:

1) Perché non consideri i triangoli che hanno almeno un vertice coincidente con uno del triangolo iniziale ?
Non mi sembra che ciò sia indicato nel testo da me scritto.

2) Perché non indichi i passaggi da te usati per ricavare questa formula.
Ritengo che la dimostrazione sia assai più interessante della sola formula risolutiva.

Diego

gnugnu
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Re: Numero di triangoli equilateri

Messaggio da gnugnu » gio mar 10, 2016 5:16 pm

Diego ha scritto:Perché non consideri i triangoli che hanno almeno un vertice coincidente con uno del triangolo iniziale ?
Non mi sembra che ciò sia indicato nel testo da me scritto.
Sono stato a lungo indeciso se conteggiarli o no. Il problema era posto in maniera straordinariamente curata, con l'enumerazione di quanti segmenti si tracciano in ciascuna direzione e l'indicazione di utilizzare, come vertici dei triangoli equilateri da considerare, solo i punti intersezione di almeno due segmenti distinti.
Comunque, visto che ho tolto alla fine i triangoli che hanno un vertice coincidente con uno del triangolo iniziale, dove non passa alcun segmento tracciato, costa poco rimetterli e la formula diventa:
$ t_n=\frac {4n^3+10n^2+4n-1+(−1)^n}{16} $ con $ n>0 $
Diego ha scritto:Perché non indichi i passaggi da te usati per ricavare questa formula.
Dipende dallo spirito, essenzialmente ludico, con cui partecipo a questo forum. Mi piace giocare a risolvere i problemi posti, penso che il momento più interessante, nel corso della caccia alla soluzione, sia quando si accende la lampadina e si intravede il percorso che potrebbe portare alla meta. Non voglio privare gli altri utenti di questa possibilità e non essendo possibile 'nascondere' in spoiler, rimando a quando chi ha postato il problema ritenga di aprire la discussione sulle metodi usati.
Comunque ho 'contato' separatamente i triangoli orientati come quello iniziale e gli altri, meno numerosi e dal conteggio un po' più complicato, capovolti.
Ciao
B.

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