Nesbitt

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0-§
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Nesbitt

Messaggio da 0-§ »

Secondo topic nuovo di trinca(un topic al giorno,sono capace di questo ed altro!)
Una bella disuguaglianza ciclica che ho trovato su Internet é appunto la disuguaglianza di Nesbitt:

1)$\displaystyle \frac a{b+c} + \frac b{c+a} + \frac c{a+b} \geq \frac 32$
Come si dimostra?Risulta che si possa dimostrare con metodi elementari,ma io non so come.Potete aiutarmi?
Pare che per la risoluzione di Nesbitt e delle su generalizzazione sia utilissima la altrettanto famosa (e quasi altrettanto bella) Cauchy-Schwarz:

2)$\displaystyle \left ( a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2 \right)\left ( b_1^2+b_2^2+b_3^2+...+b_n^2 \right) \geq$ $\displaystyle \left ( a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+...+a_nb_n \right) ^2$
ossia
$\displaystyle \left[\sum_{i=0}^{n} a_i^2 \right]\left[\sum_{i=0}^{n} b_i^2 \right]\ge\left[\sum_{i=0}^{n} a_i^2 b_i^2 \right]$
L'uguaglianza é verificata se e solo se le due n-uple sono una multipla dell'altra cioè se $a_1=kb_1$, $a_2=kb_2$,...., $a_n=kb_n$.
Interessante... sapreste risolverla?

Altre generalizzazioni della Nesbitt:

3)$\displaystyle \frac a{mb+nc} + \frac b{mc+na} + \frac c{ma+nb} \geq \frac 3{m+n}$

$\forall a,b,c\in \mathbb{R}^{+}$
$\forall n\in \mathbb{N}$
$\displaystyle \frac{a^n}{b+c}+\frac{b^n}{a+c}+\frac{c^n}{a+b}\geq \frac{a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}}{2}$[/quote]

I primi tre problemi si dovrebbero risolvere,ripeto,con considerazioni di algebra elementare o quasi e senza utilizzare teoremi troppo avanzati(mi piacerebbe vedere per 1)e 3) una soluzione anche senza Cauchy-Schwarz).
Saluti gente!
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.

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0-§
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Re: Nesbitt

Messaggio da 0-§ »

Dimenticavo la generalizzazione della Nesbitt più importante e più bella che mi era venuta in mente:

1)$\displaystyle \frac a{b+c+d} + \frac b{c+d+a} + \frac c{d+a+b} +\frac d{a+b+c}\geq ?$
2)$\displaystyle \frac a{b+c+d+e} + \frac b{c+d+e+a} + \frac c{d+e+a+b} +\frac d{e+a+b+c}+\frac e{a+b+c+d}\geq ?$

n)$\displaystyle \sum_{i=0}^{n} \left(\frac{a_i}{\sum_{j=0,j \neq i}^{n}{a_j}}\right)\geq ?$

Ho pensato anche a una generalizzazione della Cauchy-Schwarz:

$\displaystyle \prod_{i=0}^{Q} \left[\sum_{j=0}^{n} {a_{i,j}}^M \right] \ge \sum_{i=0}^{Q} \prod_{j=0}^{n} {a_{i,j}}^M$,dove $a_{i,j}$ é il j-esimo termine della i-esima serie.

Che ve ne pare?
Aspetto impaziente le prime proposte...
Solitisaluti,
Zerinf
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Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

0-§, help!... Stavo giusto scrivendoti per dirti che mi sembrava
stimolante questo topic (non conoscevo prima la disuguaglianza che
ci hai proposto, o per lo meno non me la ricordavo) e volevo ringraziarti
perché ti è venuto particolarmente sintetico... Ma adesso mi accorgo che
hai aggiunto un altro post e chissà quanti altri ne stai escogitando!
Fermati un attimo, se puoi, prova a lasciarci un po' pensare sulle cose che
intanto hai scritto :D

Grazie!
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

0-§
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Messaggio da 0-§ »

Beh,in effetti temevo di rendere il topic troppo pesante ed é anche per questo che ho provato a "spezzare" le domande in due messaggi.Spero di non avere esagerato.Comunque niente panico,sono le uniche considerazioni che mi sono venute in mente,da adesso in poi il campo é vostro.Qualsiasi risposta é bene accetta,specialmente la risoluzione della disuguaglianza di Nesbitt e la sua generalizzazione a N termini al posto dei soli a,b e c mi interessano(e per la seconda so già la risposta,molto più semplice di quanto vi aspettiate,anche se non so la dimostrazione).
Beh,che dire?Saluti,auguri per la risoluzione del problema e soprattutto
ciao!
Zerinf
P.S.E con questo festeggio i duecento messaggi e l'iscrizione all'alto albo delle cinque barrette verdi,onorificenza sinora toccata solo a Pasquale...festa generale,champagne e soliticotillons per tutti(panurgo e Delfo52 sono attesi a presto nell'albo)...
Di nuovo,
Ciao!
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Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

C'è qualcosa da specificare?

a,b,c qualsiasi? positivi? interi? reali? non nulli? diversi?

Siamo del tutto svegli, oppure ci vuole un aiutino ----> :?: <-----
Allegati
IUUUUUH..........uuuuuuhhhh!!!!!!
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leandro
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Messaggio da leandro »

Nesbitt (semplice)
Se p,q,r sono tre reali positivi si ha:
(a) $\frac{1}{p}+ \frac{1}{q}+ \frac{1}{r} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{pqr}} \geq \frac{3}{\frac{p+q+r}{3}}=\frac{9}{p+q+r}$
Premesso cio',abbiamo (a,b,c reali positivi):
2)$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c}-1+\frac{a+b+c}{c+a}-1+\frac{a+b+c}{a+b}-1=(a+b+c) \left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)-3$
Quindi per la (a):
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq (a+b+c)\frac{9}{2a+2b+2c}-3=\frac{3}{2}$
Per Cauchy-Schwarz basta considerare l'identita':
$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)=$
$=(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2+(a_1b_3-a_3b_1)^2+\cdots+(a_nb_{n-1}-a_{n-1}b_n)^2$
Leandro

leandro
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Messaggio da leandro »

Per dimostrare la (3) si puo' ricorrere alla diseguaglianza di Tchebycheff :
Se e' $a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \cdots \geq a_n \geq 0,b_1 \geq b_2 \geq b_3 \geq \cdots \geq b_n \geq 0$
Allora risulta:
$\sum{a_ib_i}\geq \frac{{\sum a_i}{\sum b_i}}{n}$
Pertanto se e' :
$a \geq b \geq c$ e quindi anche $a^{n-1} \geq b^{n-1} \geq c^{n-1}$, $\frac{a}{b+c} \geq \frac{b}{c+a} \geq \frac{c}{a+b}$ per Tchebycheff sara':

$a^{n-1}\frac{a}{b+c}+b^{n-1}\frac{a}{c+a}+a^{n-1}\frac{c}{a+b} \geq \frac{a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}}{3}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)$

Quindi per Nesbitt (semplice) segue:
$\frac{a^n}{b+c}+\frac{b^n}{c+a}+\frac{c^n}{a+b} \geq \frac{a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}}{2}$
Leandro

0-§
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Messaggio da 0-§ »

Rispondo a Pasquale:a,b e c sono reali positivi qualsiasi,non necessariamente interi e uno di essi può essere pari a zero;se i numeri sono uguali si ha l'uguaglianza,altrimenti il primo membro é superiore al secondo.
Ottime e comprensibili le dimostrazioni di Leandro,tranne quella di Cauchy-Schwarz che non mi é chiara.Potresti spiegarti meglio?In generale metti pochi passaggi nelle dimostrazioni.
Grazie a Leandro per i messaggi e a tutti gli altri per l'interessamento.
Avanti che ci sono ancora problemi irrisolti!
Salutoni,
0-§[/tex]
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leandro
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Messaggio da leandro »

Una generalizzazione di Nesbitt e': $P \geq \frac{n}{n-1}$ dove P e' il primo membro della diseguaglianza .
La dimostrazione si consegue con il medesimo metodo utilizzato per Nesbitt semplice.
Quanto a Cauchy-Schwarz,una volta stabilita la validita' dell'identita' ,basta
osservare che a secondo membro compaiono quantita' tutte non negative
e quindi il primo membro e' sicuramente non minore del secondo membro
privato dei termini relativi alle differenze.
L'uguaglianza si ottiene quando tutte le differenze a 2°membro sono nulle
ovvero quando le "a" sono proporzionali alle "b".
Leandro

_Pasquale

Messaggio da _Pasquale »

A riguardo di Nesbitt semplice, mi domando come sia possibile ideare il procedimento mostrato per la dimostrazione! Sembra quasi impossibile, anche se non vi sono passaggi difficili da comprendere a prima vista, a parte le disuguaglianze in premessa, forse non immediate.
_________________
Checché: è la somma che fa il totale (Totò) - Ciao

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