Qualche riflessione
Definisco $\zeta \equiv \frac {\max} {\min}$: in generale vale $\zeta \geq 1$
Il valore minimo di $\zeta$ può essere raggiunto solo se $\min = \max$: questo è possibile solo con due o tre cittadine.
Disponiamo $n$ cittadine ai vertici di un $n$-gono regolare inscritto in un cerchio di raggio (per semplicità e senza perdita di generalità) unitario; definiamo il diametro del poligono come la massima distanza tra due vertici,
$D \equiv 2 \sin \frac {\lfloor n/2 \rfloor \pi} {n}$
dove $\lfloor n/2 \rfloor$ è la parte intera della divisione: $D = 2$ se $n$ è pari mentre, se $n$ è dispari, $D 5$ perché al di sotto di tale valore il lato del poligono cessa di essere la distanza minima (e non esiste la regione di "indifferenza": tratterò quindi i casi con $n \leq 5$ come casi particolari.
Per $n < 2$ viene meno la nozione di distanza.
Per $n = 2$ vi è una sola distanza e minimo e massimo coincidono: $\zeta = 1$
Per $n = 3$, $\zeta$ è minimo quando le cittadine sono equidistanti, cioè sui vertici di un triangolo equilatero:$\zeta = 1$
Il primo caso interessante si ha per $n = 4$.
Partiamo da tre cittadine sui vertici di un triangolo equilatero: data la simmetria della disposizione, basta considerare la regione di piano individuata nella figura successiva.
Se il punto $\text P$ (la quarta cittadina) giace nella regione individuata nella figura successiva, $\max = D$ e $\min = \overline {\text AP}$
In questa regione $\zeta$ è minimo quando $\overline {\text AP}$ è massimo ($\max$ non dipende da $\text P$) e cioè quando $\text P \equiv \text O$.
Se il punto $\text P$ giace nella regione individuata nella figura successiva, $\max = \overline {\text BP}$ e $\min = l$
In questa regione $\zeta$ è minimo quando $\overline {\text BP}$ è minimo, cioè quando $\text P \equiv \text E$.
Se il punto $\text P$ giace nella regione individuata nella figura successiva, $\max = \overline {\text BP}$ e $\min = \overline {\text AP}$
Per ogni distanza $\overline {\text BP}$, $\zeta$ è minimo quando $\overline {\text AP}$ è massimo, cioè quando $\text P$ giace sul segmento $\overline {\text DE}$.
Con riferimento alla figura precedente si ha, posto $x = \overline {\text GP}$
$\zeta = \frac {\frac 12 + x} {\sqrt {\frac 34 + x^{\script 2}}$
che presenta un minimo (provare per credere) per $\text P \equiv \text E$.
Riassumento, $\zeta$ presenta un minimo per $\text O$ e $\text E$
In entrambi i casi, $\zeta = \sqrt {3}$.
Ma questo non è un minimo assoluto come risulta evidente dalla figura successiva
Quindi, per $n = 4$, $\zeta = \sqrt {2}$
Per $n = 5$, disponendo quattro cittadine sui vertici di un quadrato e una al centro si ha $\zeta = 2$ laddove, disponento le cinque cittadine sui vertici di un pentagono regolare si ha $\zeta = \frac {\sin {\frac {2 \pi}5}} {\sin {\frac {\pi}5}} = \varphi < 2$
Per $n = 6$, $D = 2$ e $l = 1$: disponendo cinque cittadine sui vertici di un pentagono regolare e la sesta al centro si ha $\zeta = \sin {\frac {2 \pi} 5}$ contro $\zeta = 2$ dell'esagono regolare.
Rifletteteci su e correggetemi se sbaglio...
P.S.: ho scritto a n a l i s i perché la parola unita viene trasformata dal CGI in analisi
P.P.S.: per Pietro, non riesco assolutamente a caricare le immagini su BASE5!
il dottore sembra aver bisogno di qualche giorno di ferie....
