Monete Vere e Monete False

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Monete Vere e Monete False

Messaggio da franco » sab mar 30, 2019 8:32 am

Uno dei tanti classici sull'argomento.

bilanciaemonete.gif

Avete 100 monete fra le quali 4 false che pesano poco meno di quelle vere (*) e una bilancia a due piatti.

1. Illustrare il procedimento adottato per individuare una moneta vera facendo 3 pesate

2. (più difficile) Illustrare il procedimento adottato per individuare una moneta vera facendo solamente 2 pesate!


(*) Le monete false hanno tutte lo stesso peso
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Pasquale
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Re: Monete Vere e Monete False

Messaggio da Pasquale » dom mar 31, 2019 1:39 am

(SOLUZIONE ERRATA: VEDI DOPO)

Anche se le monete fossero mille, pongo comunque su ogni piatto 3 monete con due risultati possibili:

1) i piatti restano in equilibrio ed allora le 6 monete hanno tutte lo stesso peso, per cui basta sceglierne una qualsiasi (1 sola pesata);

2) i piatti si sbilanciano, e facendo riferimento a quello che va giù, è possibile assumere che lo stesso può contenere 2 o 3 monete vere, cioè più pesanti, non essendo possibile
che contenga 2 o 3 monete false, perché in tali casi i piatti sarebbero rimasti in equilibrio o il piatto sarebbe andato su invece che giù.
Stabilito quindi che questo piatto contiene almeno 2 monete vere, procediamo con una seconda pesata, ponendo delle 3 monete 1 su su ogni piatto:
se i piatti si sbilanciano, la moneta che cerchiamo è quella nel piatto che va giù, ma se i piatti si bilanciano, le monete poste sui piatti possono essere solo ambedue vere e
quindi si trova che la moneta che cerchiamo è una qualsiasi delle due (2 pesate).
Ultima modifica di Pasquale il sab apr 06, 2019 12:35 am, modificato 1 volta in totale.
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delfo52
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Re: Monete Vere e Monete False

Messaggio da delfo52 » dom mar 31, 2019 10:13 pm

se rimangono pari, può anche essere che siano due buone e una falsa da entrambe le parti, o una buona e due false
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Re: Monete Vere e Monete False

Messaggio da Pasquale » lun apr 01, 2019 12:44 am

Già, bella svista. L'equilibrio è una fregatura che allunga il brodo.
Se dopo la prima pesata con equilibrio confronto fra loro 2 monete di un piatto, è possibile un nuovo equilibrio fra due buone o due false (non si sa) e già 2 pesate sono andate perdute......tutto da rifare.
Comunque un dato è stato acquisito: il caso dello sbilanciamento è più favorevole rispetto a quello del bilanciamento.
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delfo52
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Re: Monete Vere e Monete False

Messaggio da delfo52 » lun apr 01, 2019 8:18 am

metodo alternativo: prendere una moneta a caso. 24 volte su 25 indovini! Nel caso prospettato di 1000 monete, lungi da essere più complicato, diventa ancora più facile !!!!
Enrico

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Re: Monete Vere e Monete False

Messaggio da Pasquale » lun apr 01, 2019 4:14 pm

Enrico, a quanto pare la telepatia esiste.
Stamattina, lungo il percorso di ritorno a casa da un supermercato, mentre elucubravo senza successo su qualche nuova strategia di pesate, m'è balzata in testa la stessa tua pensata, in modo diverso, ma concettualmente uguale. Non è quello che è stato chiesto da Franco, ma ci si può avvicinare.
In sostanza pensavo di cambiare l'obiettivo del gioco, ovvero di ottenere un successo nel caso che avessi trovato due monete false in un colpo solo, come se si trattasse di fare ambo al gioco del lotto, con un bussolotto da 100 numeri invece che 90, tirando cioè fuori dal bussolotto 2 numeri contemporaneamente o anche uno alla volta in successione.
Passando al calcolo, considerato che con 4 numeri (4 monete false) sono possibili 6 accoppiate diverse sulle 4950 delle Comb(100,2), il risultato è che posso beccare 2 monete false con una probabilità dello 0,12%; la qual cosa significa che con una probabilità del 99,88% becco o 2 monete buone o 1 buona ed 1 falsa.
Con questa prospettiva, piazzo sulla bilancia le 2 monete, una per ogni piatto, e vedo cosa accade.
Se la bilancia pende da una parte, la moneta buona veramente cercata, è quella che sta giù; se i piatti sono in equilibrio, assumo come buona una qualsiasi delle due al 99,88%.
Resta quello 0,12% per il quale l'equilibrio della bilancia può significare che è occupata da 2 monete false. Mi resterebbero quindi a disposizione ancora 2 pesate per individuare la moneta buona con maggiore sicurezza.
Quindi, nel dubbio di aver beccato proprio 2 monete false, potrei continuare:
tolgo da un piatto una delle presunte monete false e nell’altro vado a piazzare un’altra moneta pescata casualmente fra le 98 rimaste nel bussolotto, ove sarebbero restate ancora 2 monete false: se questa fosse buona (come è più probabile che sia) e la prima fosse stata falsa, il piatto dovrebbe sbilanciarsi, così come se quest'ultima fosse falsa e la prima fosse stata buona (comunque la pallina buona resterebbe individuata).
Se il piatto resta invece ancora bilanciato, vuol dire che la nuova moneta pescata dal bussolotto è uguale alle 2 precedenti, cioè avrei tratto dal bussolotto 3 monete uguali fra loro (prima 2 e poi 1). Da un punto di vista probabilistico (fate voi adesso il conteggio), mi pare che sia più facile che trattasi di 3 monete buone piuttosto che false. Tuttavia, nell’ipotesi che trattasi di 3 monete false, di cui 2 sulla bilancia, potrei ancora toglierne 1 e pescarne un’altra fra le 97 rimaste nel bussolotto e metterla sulla bilancia: se la bilancia pende da una parte, obiettivo raggiunto, ma se ancora la bilancia resta in equilibrio, avrei pescato in tutto, in modo casuale, 4 monete dello stesso tipo, che sempre più difficilmente possono essere considerate tutte false; sarebbe come aver pescato una quaterna su 100 numeri con una probabilità dello 0,0000002, mentre la pallina buona potrebbe essere stata trovata fra quelle esaminate, durante il percorso con gli eventuali sbilanciamenti ipotizzati sopra, o al termine del percorso, assumendo come tale una qualsiasi delle 4, con una probabilità dello 0,9999998, che tuttavia non è 1.

Resta da vedere se ancora è possibile individuare una strategia di pesate, tale da condurre al 100% verso il risultato desiderato.
Direi di darci ancora un po' di tempo, salvo che Franco non dichiari che non esiste tale possibilità.
Ultima modifica di Pasquale il lun apr 01, 2019 9:58 pm, modificato 2 volte in totale.
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Re: Monete Vere e Monete False

Messaggio da franco » lun apr 01, 2019 6:25 pm

Confermo che con 3 pesate si riesce a identificare con certezza assoluta una moneta buona.
Con qualche attenzione in più è possibile farcela anche con sole 2 pesate!
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Re: Monete Vere e Monete False

Messaggio da Pasquale » lun apr 01, 2019 10:00 pm

OK, penso di aver trovato una soluzione con 3 pesate (V=moneta vera - F=moneta falsa):

1^ pesata - 1 moneta per ogni piatto, con le seguenti possibilità:

1) V - V
2) V - F
3) F - V
4) F - F

Se si verificano i casi 2) o 3), la bilancia pende dalla parte della moneta V, che resta individuata.
Se la bilancia resta in equilibrio ci troviamo in presenza del caso 1) o 4) e non è possibile individuare la moneta V con certezza; allora pongo in un solo piatto, diciamo quello di sinistra, le due monete, mentre in quello di destra ne aggiungo due, tratte dalle 98 disponibili. Quindi:

2^ pesata - 2 monete per ogni piatto con le seguenti possibilità:

1) VV - VV
2) VV - VF
3) VV - FF

oppure:

4) FF - VV
5) FF - FV
6) FF - FF

Se la bilancia pende a sinistra, vuol dire che ci troviamo in uno dei casi 2) o 3), per cui una delle due V nel piatto basso è la moneta cercata
Se la bilancia resta in equilibrio ci troviamo nel caso 1) oppure 6) e non possiamo individuare la moneta V.
Se la bilancia pende invece a destra, vuol dire che ci troviamo in uno dei casi 4) o 5), ma non sappiamo in quale e quindi egualmente non siamo in grado di individuare con certezza una moneta V.

Quindi, per i casi 1) e 6) dell’equilibrio, unisco le 4 monete in un solo piatto e sull’altro ne sistemo altre 4, tratte dalle 96 disponibili, con le seguenti nuove situazioni possibili:

3^ pesata - caso equilibrio:

01) VVVV - VVVV
02) VVVV - VVVF
03) VVVV - VVFF
04) VVVV - VFFF
05) VVVV - FFFF

06) FFFF - VVVV

Se la bilancia resta in equilibrio, siamo nel caso 01) ed una qualsiasi moneta è del tipo V
In tutti gli altri casi da 02) a 06), la bilancia pende o a sinistra o a destra e qualsiasi moneta del piatto che va giù è del tipo V

Se invece precedentemente la bilancia fosse andata giù a destra [casi 4) o 5)], allora sarebbe risultato conveniente utilizzare le monete del piatto basso, separandole una per ogni piatto, con le seguenti situazioni possibili:

3^ pesata - caso maggior peso a destra:

07) V - V
08) F - V
09) V - F

Nel caso di equilibrio, ci troviamo nel caso 07) ed in qualsiasi piatto troviamo la moneta V
Nel caso di sbilanciamento a sinistra o destra che sia, la moneta nel piatto andato giù è quella di tipo V

Spero non mi sia sfuggito qualcosa anche stavolta.
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Re: Monete Vere e Monete False

Messaggio da franco » mar apr 02, 2019 8:34 am

Mi sembra che non ci siano errori e la soluzione sia valida.

Io ho individuato un metodo completamente diverso che mi consente di individuare anche più di una moneta vera:

Divido le 100 monete in 4 insiemi: 33+33+33+1

1^ pesata: confronto due insiemi da 33

1A: se uno dei due è più pesante dell'altro significa che quell'insieme può contenere al massimo 1 moneta falsa
1B: se i piatti sono in equilibrio significa che entrambi gli insiemi possono contenere 0, 1 o 2 monete false

caso 1A

2^ pesata: divido l'insieme più pesante in tre sottoinsiemi da 11 monete ciascuno e ne confronto due
1A2A: se uno dei due è piu pesante significa che tutte le sue monete sono buone (e sono buone anche quello del terzo sottoinsieme che non ho pesato)
1A2B: se i piatti sono in equilibrio significa che tutte le monete dei due sottoinsiemi confrontati sono buone

caso 1B

2^ pesata: confronto uno dei due insiemi che avevano lo stesso peso con il terzo insieme da 33 che non avevo utilizzato nella prima pesata

1B2A: se uno dei due è più pesante dell'altro significa che quell'insieme può contenere al massimo 1 moneta falsa
1B2B: se i piatti sono in equilibrio significa che in tutti gli insiemi da 33 c'è una sola moneta falsa (e la quarta è la singola che ho messo da parte)
Con questa seconda pesata ho quindi individuato con certezza almeno un insieme che contiene una o nessuna moneta falsa e quindi procedo con la 3^ pesata come da caso 1A individuando con certezza almeno 22 monete buone.

il tutto naturalmente salvo errori :wink:

.........................

E adesso a caccia del modo per trovare una moneta vera con due sole pesate!
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Re: Monete Vere e Monete False

Messaggio da franco » dom mag 12, 2019 6:08 pm

Avevo lasciato in sospeso la soluzione con 2 pesate.

Divido le momete in 3 insiemi A, B, C rispettivamente di 33, 33 e 34 monete e nella prima pesata confronto A e B.

Se A < B significa che B contiene al massimo una moneta falsa.
Allora suddivido B in tre sottoinsiemi da 11 monete e con la seconda pesata ne confronto 2:
- Se hanno lo stesso peso sono tutte buone (e l'eventuale falsa è nel terzo sottoinsieme)
- Se hanno peso diverso sono buone tutte le monete del sottoinsieme più pesante (e anche le altre 11 del sottoinsieme che non avevo messo sulla bilancia).

Se A > B evidentemente faccio lo stesso lavoro con A ...

Se invece A = B la cosa si complica; teoricamente possono esserci in ognuno dei due insiemi 0, 1 o 2 monete false.
Con la seconda pesata metto in un piatto della bilancia l'insieme C e sull'altro l'insieme A più una moneta a caso (X) presa dall'insieme B.
E' fondamentale che la moneta X sia in cima alla pila, facilmente riconoscibile.
- Se C > A+X allora le 34 monete dell'insieme C sono tutte buone! (1)
- Se C = A+X allora la moneta X è falsa e tutte le rimanenti 32 monete dell'insieme B sono buone (2)
- Se C < A+X allora la moneta X è buona (3)

(1)
se A e B hanno una sola moneta falsa ciascuno, significa che C ne ha due, quindi evidentemente C non può pesare più di A+X
tanto meno C sarebbe più pesante se A e B avessero solo monete buone (vuol dire che le 4 false sono tutte nell'insieme C)
quindi A e B contengono 2 monete false ciascuno e nell'insieme C sono tutte buone

(2)
questa condizione può avvenire solo se sia C che A+X contengono 2 monete false ciascuno
quindi nella pesata precedente A e B avevano una moneta falsa ciascuno e la moneta falsa del gruppo B è proprio quella X che ho usato per la seconda pesata

(3)
questa condizione può avvenire se:
- A e B hanno tutte monete buone (X quindi è sicuramente buona)
- A e B hanno una moneta falsa ciascuna ma non è la X che ho usato nella seconda pesata, altrimenti sarei finito nel caso 2 (quindi X è buona)

A me sembra che il ragionamento funzioni :)
Franco

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