Ma che sistema è questo!

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2853
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Ma che sistema è questo!

Messaggio da Pasquale »

Qui vedete un po' come è possibile districarsi:

$\{x+y+z=1\\x^2+y^2+z^2=2\\x^3+y^3+z^3=3$

$\text Si vorrebbe sapere il valore di x\cdot y\cdot z$
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1556
Iscritto il: mer mag 25, 2005 4:19 pm
Località: bologna

Messaggio da delfo52 »

procedo senza calcoli

per afre somma 1, i tre termini possono essere
1) tutti tre positivi, inferiori a 1
2) almeno uno positivo, e almeno uno negativo , ma tutti inferiori a 1
3) almeno uno positivo, e almeno uno negativo senza limiti

poichè i quadrati sono positivi, possiamo escludere la 1) i cui membri, andando nel capoluogo della Basilicata, si riducono
per lo stesso problema che i tre termini al quadrato sono tutti positivi, possiamo mettere un limite superiore, nei casi 2) e 3): nessun termine può essere nemmeno troppo vicino a 1,4 (radicedi2)
non possono esserci due termini superiori a 1 (i quadrati supererebbero 2)
una volta fissato un termine a caso (mettiamo circa 1,33), non è difficile trovare una coppia di due termini, uno negativo e un altro positivo con una differenza di 0,33 tali da soddisfare la formula dei quadrati
Senza fare troppi calcoli, qualcosa tipo +0,13 e -0,46 fanno al caso nostro
(i calcoli sono del tutto "spannometrici"
Il problema sorge con i cubi
Il termine maggiore, abbiamo detto, non può eccedere 1,4, che elevato al cubo, non arriva a 3
possiamo arrivare a tale bersaglio aggiungendo i cubi degli altri due termini?
tali due termini saranno uno positivo e uno negativo, questo ultimo avrà un valore assoluto maggiore (es.: +0,4 ; -0,8 )
Elevati al cubo, quello positivo resterà positivo, mentre il negativo resterà negativo, ed avrà un valore superiore al positivo.
sommando questi due termini al 2,8... cui eravamo arrivati col termine 1,4...
mi sembra pertanto che non ci sia una soluzione.
Con questo mio percorso logico, che non ho nessuna certezza che sia valido
Enrico

leandro
Livello 3
Livello 3
Messaggi: 81
Iscritto il: lun feb 06, 2006 11:20 am

Messaggio da leandro »

Per non dover andare in Basilicata si puo' usare l'identita' (provare per credere!):
$x^3+y^3+z^3-3xyz=\frac{1}{2}(x+y+z)[3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)^2]$
Sostituendo i valori indicati dal sistema abbiamo:
$3-3xyz=\frac{1}{2}[6-1]$
da cui : $xyz=\frac{1}{6}$
Leandro

Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 2020
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Messaggio da Bruno »

...

Bravo Leandro!

Sinceramente non conoscevo l'identità che hai scritto, che tuttavia ho
verificato :D

Per quanto mi riguarda, ho provato a rispondere alla domanda di Pasquale
ricorrendo a un'identità più presente nei miei tenui ricordi...
Questi sono i passaggi che ho fatto.

Intanto so che:

(x+y+z)² = x²+y²+z²+2·(xy+xz+yz)

ossia, tenendo conto del sistema:

1=2+2·(xy+xz+yx) $\;{\text \tiny \to}\;$ xy+xz+yz = -½ .

A questo punto moltiplico fra loro le prime due equazioni date:

1·2 = (x+y+z)·(x²+y²+z²) = x³+y³+z³+xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z) .

Tengo ancora conto del sistema e poi esprimo le somme in parentesi in
funzione dell'incognita mancante (sulla base della prima equazione):

2 = 3+xy(1-z)+xz(1-y)+yz(1-x) = 3+xy+xz+yz-3xyz = 3-½-3xyz ,

da cui ricavo:

xyz = $\frac{1}{6}$ .

> Se&o


Bruno
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

leandro
Livello 3
Livello 3
Messaggi: 81
Iscritto il: lun feb 06, 2006 11:20 am

Messaggio da leandro »

Sono io che faccio i complimenti a Bruno per aver utilizzato una
identita' assai piu'...umana della mia.
Leandro

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1556
Iscritto il: mer mag 25, 2005 4:19 pm
Località: bologna

Messaggio da delfo52 »

devo rivedere tutto il mio ragionamento.
ma non vedo dove sta il baco
però, avendo voi dimostrato che il prodotto xyz è positivo, possiamo arguire che o
-i tre termini sono positivi
-uno è positivo e due negativi

ma non vado molto avanti

Non ho seguito nei dettagli tutti i passaggi, ma mi/vi chiedo:
il risultato che esce dimostra che una soluzione esiste, o che, se esiste, deve essere tale che il prodotto sia 1/6 ?
Enrico

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2853
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Messaggio da Pasquale »

Bravi, giocolieri! Segue la formula misteriosa:

$(x+y+z)^3 = x^3+y^3+z^3 +3xy^2+3xz^2+3yx^2+3yz^2+3zx^2+3zy^2+6xyz$

aggiungo e sottraggo al secondo membro : $\mp 3x^3; \mp 3y^3; \mp 3z^3$

$(x+y+z)^3=(x^3+y^3+z^3)+ 3x^3+ 3xy^2+ 3xz^2+ 3y^3+ 3yx^2+ 3yz^2+ 3z^3+ 3zx^2+ 3zy^2+ 6xyz- 3x^3- 3y^3- 3z^3$

$(x+y+z)^3=(x^3+y^3+z^3)+ 3x(x^ 2+y^2+z^2)+ 3y(x^2+y^2+z^2)+ 3z(x^2+y^2+z^2)+ 6xyz- 3(x^3+y^3+z^3)$

$(x+y+z)^3=-2(x^3+y^3+z^3)+3(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)+6xyz$

da cui si ricava agevolmente la formula misteriosa, ma non è necessario:

$6xyz=(x+y+z)^3+2(x^3+y^3+z^3)-3(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)$

sostituendo ai vari termini i valori noti:

6xyz = 1+6-6

$xyz =\frac{1}{6}$
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 2020
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Messaggio da Bruno »

...queste son cose da bravi giocolieri, altroché :D
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

panurgo
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1521
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Messaggio da panurgo »

delfo52 ha scritto:Non ho seguito nei dettagli tutti i passaggi, ma mi/vi chiedo:
il risultato che esce dimostra che una soluzione esiste, o che, se esiste, deve essere tale che il prodotto sia 1/6 ?
A mio avviso, può benissimo darsi che sebbene x·y·z sia un numero reale, x e y, x e z, y e z o x e y e z non lo siano: per esempio

$\left\{ x = - 0,21542 \ldots -(0,26471 \ldots)i\\ y = - 0,21542 \ldots + (0,26471 \ldots)i \\ z = 1,43085 \ldots \\ \right.$
il panurgo

Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 2020
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Messaggio da Bruno »

...

Sì, in effetti anch'io ho avuto questo pensiero.
Data la simmetria del sistema e sulla base dei risultati sopra ottenuti, si
può ricavare facilmente, per ciascuna incognita, un'equazione del tipo:

$6t^3-6t^2-3t-1=0$

che, passata attraverso il risolutore di Base Cinque, porta ai valori appena
indicati da Panurgo.


(Bruno)
Ultima modifica di Bruno il gio mar 23, 2006 4:13 pm, modificato 1 volta in totale.
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2853
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Messaggio da Pasquale »

Infatti , sviluppando il sistema, anche a me risulta che x, y siano complessi e coniugati del tipo $\text \frac{a + \sqrt{b}}{2}; \frac{a - \sqrt{b}}{2}$, ove a,b espressi in funzione di z reale, sono negativi.
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

panurgo
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1521
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Messaggio da panurgo »

L'Algebra è sempre l'Algebra

$\left\{ x = - 0,21542 \ldots -(0,26471 \ldots)i\\ y = - 0,21542 \ldots + (0,26471 \ldots)i \\ z = 1,43085 \ldots \\ \right. \quad \Leftarrow \quad \left\{ x = \frac{{1 - z - \sqrt { - 3z^2 + 2z + 3} }}{2} \\ y = \frac{{1 - z + \sqrt { - 3z^2 + 2z + 3} }}{2} \\ 3z^3 - 3z^2 - \frac{3}{2}z - \frac{1}{2} = 0 \right.$

P.S.: risultato ottenuto con Mathcad :roll:
il panurgo

Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2853
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Messaggio da Pasquale »

In conclusione, tutto il sistema passo, passo:

$\{x+y+z=1\\x^2+y^2+z^2=2\\x^3+y^3+z^3=3$

dalla prima e seconda equazione:

$\{x=1-y-z\\x^2=2-y^2-z^2$

da cui:

$2y^2 -2 (1-z)y + 2z^2 -2z-1 = 0$

$\text y_{\tiny 1,2} = \frac{1-z \mp sqrt{-3z^2+2z+3}}{2} (per appartenere al campo dei numeri reali, deve essere -\frac{1-\sqrt{10}}{3}\leq z\leq \frac{1+\sqrt{10}}{3} )$

ponendo:

$\[A=1-z\\B=-3z^2+2z+3$

$y_{\tiny 1,2} = \frac{A \mp sqrt{B}}{2}$

$per \text y_{\tiny 1}=\frac{A-sqrt{B}}{2}; x_{\tiny 1}=\frac{A+sqrt{B}}{2}$

$per \text y_{\tiny 2}=\frac{A+sqrt{B}}{2}; x_{\tiny 2}=\frac{A-sqrt{B}}{2}$

Sostituendo nella terza equazione del sistema:

$\(\frac{A-sqrt{B}}{2}\)^3 + \(\frac{A+sqrt{B}}{2}\)^3 + z^3 - 3 = 0$

da cui, saltando qualche passaggio:

$4z^3 + A^3 + 3AB - 12 = 0$

e sostituendo ad A e B i relativi valori:

$6z^3 - 6z^2 -3z - 1 = 0$

$\text z=1,4308; x_{\tiny 1}=\frac{A+sqrt{B}}{2}= -0,2154 + 0,2647i; y_{\tiny 1}=\frac{A-sqrt{B}}{2} = -0,2154 - 0.2647i$

$\text z=1,4308; x_{\tiny 2}=\frac{A-sqrt{B}}{2}= -0,2154 - 0,2647i; y_{\tiny 2}=\frac{A+sqrt{B}}{2}= -0,2154 + 0.2647i$

da cui:

$\[x + y + z = 1\\x^2 + y^2 + z^2 = 2\\x^3 + y^3 +z^3 = 3\\xyz = \frac {1}{6}$

(i valori di x,y,z sono stati approssimati alla quarta cifra per una maggiore leggibilità)
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Rispondi