Le noccioline

0-§ · Messaggio da **0-§** » sab feb 09, 2008 12:01 am

Ripropongo nuovamente questo vecchio topic di microproblemi per non aprire un nuovo topic solo per questo quesito veloce e simpatico.
Brevemente: un manipolo di legionari scende nel campo di battaglia, coi soldati disposti nella classica formazione a quadrato. Dopo un assalto delle truppe avversarie cade l'intera prima fila di uomini e dopo un secondo attacco ne cadono altri otto. I restanti legionari si ridispongono a formare un quadrato. Quanti erano i legionari all'inizio della battaglia?
Forse esiste una soluzione immediata e ovvia ma io ne ho trovata solo una lunga e calcolosa... chi sa aiutarmi?

Buonanotte a tutti
Zerinf

Quelo · Messaggio da **Quelo** » sab feb 09, 2008 12:34 am

Visto che 16 mi sembra un numero piuttosto esiguo (anche se trattasi di manipolo) direi che erano 81 disposti 9x9, dopo il primo assalto cadono i 9 della prima fila e ne rimangono 72, dopo il secondo assalto ne rimangono 64 che si ridristribuiscono 8x8.
In alternativa erano più di 1.000.000 che è fin dove ho controllato.

Quelo · Messaggio da **Quelo** » dom feb 10, 2008 9:40 am

Siano x, y e z numeri interi.

$x^2-x-8=y^2$

$x^2-x-(8+y^2)=0$

$x=\large \frac{1 \pm \sqrt{33+4y^2}}{2}$

perché x sia intero deve essere 33+4y² un quadrato perfetto

$33+4y^2=z^2$

$z^2-4y^2=33$

se y² è un quadrato perfetto anche 4y² lo è.

Vediamo anche che per y>8

$(2y+1)^2-(2y)^2>33$

per cui le soluzioni vanno ricercate per y compreso tra 1 e 8.

$\{ y=2 \\ y=8 \. \to \{ x^2=16 \\ x^2=81$

0-§ · Messaggio da **0-§** » dom feb 10, 2008 3:02 pm

Giusto!
La mia soluzione coincide con quella di quello fino al punto
$\displaystyle z^2-4y^2=33$
Io a questo punto ho scomposto $\displaystyle (z-2y)(z+2y)=3\cdot11=1\cdot33$ e i due fattori a primo membro devono valere 1 e 33 o 3 e 11(poichè sono ambedue interi per i termini del problema). Questo genera questa sequela di sistemi:
$\{ z-2y=1 \\ z+2y=33 \.$

$\{ z-2y=3 \\ z+2y=11 \.$

$\{ z-2y=33 \\ z+2y=1 \.$

$\{ z-2y=11 \\ z+2y=3 \.$

ciascuno dei quali dà una soluzione diversa. Gli ultimi due pero danno soluzioni con y negativo (da scartare per i termini del problema).
Quindi vanno bene le prime due che danno (z=17, y=8, x=9) e (z=7, y=2, x=4)

Altri metodi?
Ciao a tutti
Zerinf

giobimbo · Messaggio da **giobimbo** » lun feb 11, 2008 10:55 am

Se qualcuno conosce i numeri triangolari Tn sa che il numero Tn è formato da n(n+1)/2 legionari, quindi potrebbe ragionare così:

Il manipolo e formato da x file di x legionari ciascuna, dunque quando cade la prima in tutto rimangono (x-1)x legionari, ovvero, ponendo (x-1)=n, rimangono n(n+1) legionari.
Ma n(n+1) = 2Tn e due numeri triangolari formano un quadrato solo se essi sono consecutivi:
T(n-1) + Tn = n^2

Opportunamente muoiono altri 8 legionari per cui è istintivo pensare a n=8, quindi uno dei T8 diventa T7 e:
n(n+1) - 8 = T7 + T8 = 8^2
(x-1)x - 8 = n(n+1) - 8 = 8^2
x^2 - x - 8 = (x-1)x - 8 = 8^2
da cui ricaviamo x=9 e i legionari erano 81.

Br1 · Messaggio da **Br1** » gio feb 14, 2008 10:47 am

A me è capitato di pensarla così.

Parto naturalmente da:

x²-x-8 = y²

ma non la tratto come una quadratica.

Vedo subito che per x > 9:

x² > x²-x-8 > x²-2x+1 = (x-1)².

0-§ · Messaggio da **0-§** » ven mag 30, 2008 7:53 pm

Riesumare vecchi topic oramai è la mia passione

Sapendo che
$\displaystyle x+y+z=0$
e
$\displaystyle x^2+y^2+z^2=14$ ,
quanto fa
$\displaystyle x^4+y^4+z^4=?$

Bye!

P.S. Come faccio a fare il comando \boxed sul forum? E' quello necessario per mettere un equazione in un "rettangolo"... spero di essermi spiegato

Pasquale · Messaggio da **Pasquale** » sab mag 31, 2008 12:15 am

Forse potresti utilizzare un'immagine:

franco · Messaggio da **franco** » sab mag 31, 2008 8:23 pm

0-§ ha scritto:Sapendo che
$\displaystyle x+y+z=0$
e
$\displaystyle x^2+y^2+z^2=14$ ,
quanto fa
$\displaystyle x^4+y^4+z^4=?$

Direi che $\displaystyle x^4+y^4+z^4=98$
(x = 1 , y = 2 , z = -3)

ciao

Pasquale · Messaggio da **Pasquale** » dom giu 01, 2008 1:29 am

A parte tutte le simmetrie possibili, includerei anche il caso:

x=-2; y=-1; z=3

0-§ · Messaggio da **0-§** » lun giu 02, 2008 2:34 pm

Ora naturalmente vogliamo sapere come è stato ottenuto il risultato

P.S. Quelle soluzioni non importano, ricordate che in questo sistema $x,y,z \in \mathbb R$ quindi esiste un'infinità di possibili soluzioni

franco · Messaggio da **franco** » lun giu 02, 2008 4:00 pm

Anche qui poca gloria:
che 14 fosse scomponibile nella somma di 3 quadrati ( $1^2+2^2+3^2$ ) era abbastanza immediato, non restava che giocare un attimo coi segni per azzerare la somma delle basi.

Naturalmente non è e non voleva essere una soluzione generale; provo a ragionarci su.

ciao

Messaggio da **Admin** » lun giu 02, 2008 5:25 pm

Ciao,
mi sembra basti fare qualche sostituzione.

$x+y+z = 0\qquad\Rightarrow\qquad x=-y-z$

Sostituiamo nella seconda:

$x^2+y^2+z^2=14\qquad\Rightarrow\qquad (-y-z)^2+y^2+z^2-14=0\qquad\Rightarrow\qquad y^2+z^2+yz-7=0$

Risolvendo secondo $y$ si ottiene:

$y={\large\frac{-z\pm \sqrt{-3z^2+28}}{2}}$

ossia

$\{ y_1={\large\frac{-z\/+\/\sqrt{-3z^2\/+\/28}}{2}} \\ y_2={\large\frac{-z\/-\/\sqrt{-3z^2\/+\/28}}{2}}$

Andiamo ora a ricavare i valori $x_1$ e $x_2$ , sostituendo, rispettivamente, $y_1$ e $y_2$ :

$\{ x_1=\/-\/${\large\frac{-z\/+\/\sqrt{-3z^2\/+\/28}}{2}}$\/-\/z\qquad\Rightarrow\qquad {\large\frac{-z\/-\/\sqrt{-3z^2\/+\/28}}{2}} \\x_2=\/-\/${\large\frac{-z\/-\/\sqrt{-3z^2\/+\/28}}{2}}$\/-\/z\qquad\Rightarrow\qquad {\large\frac{-z\/+\/\sqrt{-3z^2\/+\/28}}{2}}$

Ora andiamo a sostituire le coppie $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ trovate, nell'espressione $x^4+y^4+z^4$ .
Prima di sostituire, si nota che $x_1=y_2$ e $x_2=y_1$ ; ciò significa che ${x_1}^4+{y_1}^4+z^4\/=\/{x_2}^4+{y_2}^4+z^4$
Per cui sostituiamo solo la coppia $(x_1, y_1)$ . Si ottiene:

$x^4+y^4+z^4\/=\/${\large\frac{-z\/-\/\sqrt{-3z^2\/+\/28}}{2}}$^4\/+\/${\large\frac{-z\/+\/\sqrt{-3z^2\/+\/28}}{2}}$^4\/+\/z^4$

Sviluppando le potenze di binomio e semplificando si ottiene:

$x^4+y^4+z^4\/=\/98$

SE&O

Ciao
Admin

0-§ · Messaggio da **0-§** » mer giu 04, 2008 9:53 pm

Penso di poter postare ora la risposta rapida

Sapendo che
$\displaystyle x+y+z=0$ (A)
e
$\displaystyle x^2+y^2+z^2=14$ (B)
elevando al quadrato entrambi i membri di (A) e considerando la condizione (B) si trova che
$\displaystyle 0^2=(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)\\=14+2(xy+xz+yz)$
pertanto
$\displaystyle xy+xz+yz=-7$ . (1)

Ora elevando al quadrato entrambi i membri di (1) si trova
$\displaystyle 49=(xy+xz+yz)^2=x^2 y^2+x^2 z^2+y^2 z^2 + 2x^2 yz+2xy^2 z+2xyz^2\\=x^2 y^2+x^2 z^2+y^2 z^2 + 2xyz(x+y+z)=x^2 y^2+x^2 z^2+y^2 z^2$ . (2)

Ultimo atto:elevando al quadrato entrambi i membri di (B) e usando quanto appena visto in (2)
$\displaystyle 14^2=(x^2+y^2+z^2)^2=x^4 + y^4 + z^4 + 2x^2 y^2 +2x^2 z^2 +2y^2 z^2\\=x^4 + y^4 + z^4 +2\cdot 49$
sicchè
$\displaystyle x^4 + y^4 +z^4= 98$ .

Bello, nevvero?

Buonanotte a tutti
ZerInf

Pasquale · Messaggio da **Pasquale** » ven giu 06, 2008 10:10 pm

Si, beddissimo fu

Le noccioline

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