Le noccioline

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Pasquale
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Messaggio da Pasquale » gio feb 09, 2006 12:01 am

Oh Pè, guarda che l'intervento della Sora Peppa era firmato in cripto (ih,ih).
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\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

0-§
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Messaggio da 0-§ » gio feb 09, 2006 7:35 pm

Occi ho trofata nocciolina tutta per foi (sto rileccendo fecchi fumetti di der Katzenjammer Kids offero Bibì und Bibò,si sente ja?)
Avete un quadrato ABCD di lato unitario.Dividete ogni lato in tre parti (non uguali) con due punti(in senso orario e partendo da quello più in alto a sinistra li chiameremo EFGHIJKL.Originali vero?).
Sorpresa!
I detti otto punti formano un ottagono regolare.
Quanto é lungo il lato dell'ottagono?
Ora cambiamo le carte in tavola e partiamo da un ottagono regolare già pronto,avente la diagonale maggiore lunga 1.
Il lato di questo secondo ottagono é più o meno lungo del lato del primo?
Per il primo potete fare affidamento solo sul vostro ingegno,per il secondo concedo carta e penna(e la conoscenza di pratiche formule trigonometriche,niente calcolatrice).
Zaluti dal fostro Zerinfiniten!
Jawohl?
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di \pi, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di \pi dovesse cambiare.

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Messaggio da delfo52 » gio feb 09, 2006 8:14 pm

a qualcuno possono essere utili quattro triangoli rettangoli isosceli uguali, con perimetro unitario ?
Enrico

0-§
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Messaggio da 0-§ » gio feb 09, 2006 8:29 pm

Hmmmm...direi che ci siamo.
Rimane che vorrei le soluzioni in soldoni(Delfo,mi dispiace ma dovrai usare il TeX,ihihihihih :twisted: ).
Dunque?
Salutoni da
Zerinfinito
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di \pi, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di \pi dovesse cambiare.

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Messaggio da 0-§ » gio feb 09, 2006 8:35 pm

Hmmmm...direi che ci siamo.
Rimane che vorrei le soluzioni in soldoni(Delfo,mi dispiace ma dovrai usare il TeX,ihihihihih :twisted: ).
Dunque?
Salutoni da
Zerinfinito
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di \pi, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di \pi dovesse cambiare.

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Messaggio da delfo52 » gio feb 09, 2006 9:51 pm

provo a risponderti, in italiano discorsivo; senza scendere a compromessi con l'orrrida tecnologia....
Per cominciare cambio l'unità di misura, e considero la lunghezza del lato pari a 3,4142 (1+1+radicedi2), mentre nel tuo sistema di riferimento è pari a 1.
Il dato cercato, cioè il lato dell'ottagono, cioè l'ipotenusa del triangolino, vale, nel mio mondo, 1,4142 (radicedi2).
Per scoprire quanto vale nel tuo mondo, basta fare la proporzione:
3,4142 : 1 = 1,4142 : x
cioè
1,4142 / 3,4142
che è frazione nota, un poco aurea (alla sua maniera....)
Enrico

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Messaggio da 0-§ » gio feb 09, 2006 10:00 pm

Perdinci!Debbo ammettere che la tua soluzione é decisamente più spiccia della mia.Certo non ci vogliono chissà quali calcoli,ma mi congratulo.
Psst:ti faccio notare che \displaystyle \frac {\sqrt 2}{2+\sqrt 2}=\frac {\sqrt 2}{\sqrt 2(\sqrt 2+1)}=\frac {1}{\sqrt 2+1}.
Ottimo direy!
E per la seconda domanda?
Saluti suppergiù,
Zerinf
Ultima modifica di 0-§ il gio feb 09, 2006 10:29 pm, modificato 1 volta in totale.
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di \pi, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di \pi dovesse cambiare.

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Messaggio da delfo52 » gio feb 09, 2006 10:18 pm

Il primo ottagono è inscritto in un quadrato unitario (e qui ci siamo).
Il secondo è inscritto in un cerchio unitario; se lo sistemiamo in modo da avere due coppie di lati orizzontali e verticali, la diagonale unitaria=raggio del cerchio circoscritto, si posiziona un poco obliqua rispetto alla verticale (o all'orizzontale).
I diametri verticale e orizzontale del cerchio ...sono congruenti con i lati del quadrato del primo ottagono, che è circoscritto al cerchiio circoscritto al secondo ottagono.
E anche questa volta ho risparmiato su carta e penna....
Enrico

Bruno
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Messaggio da Bruno » mar feb 21, 2006 4:56 pm

Peppe ha scritto:...ma cosa fa impazzire le frazioni, rendendole semplificabili così?
...mostrandoci questo esempio e poi questo.

Peppe, ho provato (giusto provato) a vedere se riuscivo a
trovare altre frazioni come quelle che tu hai indicato.
Cerco di buttarti giù una traccia di quel che ho fatto.

Sono partito da:

(10ªp+q)/(10ªq+r) = p/r,

dove 10ª è una potenza di 10 non minore della base e la
frazione p/r è ridotta ai minimi termini (quindi il numeratore
e il denominatore sono primi fra loro), e dove sia q che r
devono essere minori di 10ª.
Dall'uguaglianza precedente ho dedotto questa:

1) 10ªp(q-r) = (q-p)r .

Ora, r e p sono reciprocamente primi, perciò pongo:

q-p = ph,

per qualche h intero e positivo.
Così ottengo:

q = p(h+1)

e quindi, tornando alla (1):

r = 10ªp(h+1)/(10ª+h).

Poiché dev'essere q<10ª, naturalmente è anche p<10ª.

E qui bisognerebbe fare alcune considerazioni sulle variabili in
modo tale che sia garantito un r intero.
Comunque, tenuto conto che p, q ed r devono essere minori
di 10ª e che p ed r devono essere primi fra loro, non è difficile
ricavare (per i vari h) le formule di p, q ed r che permettano
di ottenere delle frazioni matte come quelle proposte da
Peppe.

Questi sono alcuni particolarissimi esempi sbucati dai miei veloci
(e oggi un po' impazienti) scarabocchi:

\displaystyle \{{p=\frac{5\cdot 10^{a-1}+1}{3} \\ q=5\cdot 10^{a-1}+1 \\ r= 5\cdot 10^{a-1}}\;\{{p=\frac{2\cdot 10^{a-1}+1}{3} \\ q=2\cdot (2\cdot 10^{a-1}+1) \\ r= 4\cdot 10^{a-1}} \; \{{p=\frac{125\cdot 10^{a-3}+1}{9} \\ q=125\cdot 10^{a-3}+1 \\ r= 125\cdot 10^{a-3}} \; \cdots

eventualmente ampliabili con la ripetizione di q.
E così via. Per il momento devo proprio fermarmi :wink:


Ispirato da Peppe, approfitto di questa occasione per proporre
altre forme aritmetiche carine.

Per esempio questa, tipo "scomponi & ricomponi":

\displaystyle (87+29)\cdot 18361 = 8729\cdot (183+61)

oppure questa, a parentesi "mobili":

\displaystyle (21+16)\cdot 41+56 = 21+16\cdot (41+56)

o anche queste, forse più curiose:

\displaystyle \frac{38}{5}+\frac{111}{15} = \begin{vmatrix}38 & 111 \\ 5 & 15 \end{vmatrix}

\displaystyle (26+51)\cdot 1419 \equiv 2651\cdot (14+19) \;\; (26+51+14+19)

--- Un saluto a tutti!


Bruno
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Messaggio da delfo52 » mar feb 21, 2006 6:58 pm

senza aver avuto il tempo e la pazienza di studiarmi la risposta di Bruno, mi chiedo se il fatto che gli esempi di "frazioni matte" che si possono semplificare elidendo "a capocchia" i 6 ed i 9 , ha un significato . O se ne esistono anche conn cifre diverse
Enrico

Bruno
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Messaggio da Bruno » mer feb 22, 2006 11:20 am

...

Mi sono interrogato anch'io sul significato di queste frazioni, Enrico, poi ho
pensato che son matte, quindi...
Comunque, da una delle graffe che ho riportato sopra, per esempio, salta
fuori questa (in più modi semplificabile): \displaystyle {\text \footnotesize \frac{742}{4240}=\frac{7}{40}}.

:wink:
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Messaggio da peppe » mer feb 22, 2006 8:00 pm

Grazie Bruno.
La soluzione che conosco io consiste nel trovare i valori di a e b partendo dalla frazione:
(1) \frac{10a+b}{10b+c}=\frac{a}{c}.
Risolvendo rispetto alla c si ottiene:
(2) c=\frac{10ab}{9a+b}
Si tratta ora di trovare quei valori (interi e compresi fra 1 e 9) di a e b,che forniscono anche per c un valore intero compreso fra 1 e 9.

Esempio:
se a=1 e b=6 per la (2),avremo c=4 e la frazione matta per la (1) sarà:
\frac{16}{64}=\frac{1}{4}.

Ecco alcune frazioni matte:
\frac{19}{95}=\frac{1}{5}

\frac{26}{65}=\frac{2}{5}

\frac{49}{98}=\frac{4}{8}

\frac{166}{664}=\frac{1}{4}

\frac{199}{995}=\frac{1}{5}

\frac{266}{665}=\frac{2}{5}.
«Un uomo è come una frazione il cui numeratore è quello che è, e il cui denominatore quello che pensa di sé.
Più grande è il denominatore, minore la frazione.» Lev Nikolàevič Tolstòj(1828-1910).

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Messaggio da 0-§ » mar gen 16, 2007 9:28 pm

Ho "riesumato" questo topic dalle abissali profondità delle ultime pagine del forum dove era stato a lungo abbandonato(quasi un anno!E' da tanto tempo che rompo le scatole su B5?) per proporvi dopo tanto tempo un giochino interessante coi numeri complessi fornitomi dall'ottimo Martin Gardner,inventato sembra nientepopodimeno che da George Gamow,quello di Mr.Tompkins per capirci.Ecco qua:
"Su un'antica mappa é indicato il modo per trovare il tesoro sepolto dai pirati su un'isola deserta.Sull'isola ci sono due alberi A e B e un forca O.Le istruzioni sono:
1)Partendo da O,raggiungere A(in linea retta naturalmente!) misurando la distanza coperta;
2)Giunti ad A,voltare a destra di 90° e proseguire per una distanza pari a quella misurata tra O ed A;
3)Piantare un picchetto nel punto così raggiunto;
4)Tornare ad O e ripetere la stessa operazione con B,ma voltando a sinistra anziché a destra;
5)Trovare il punto medio tra i due picchetti piantati e scavare:li c'é il tesoro.
Bramosi di mettere le mani sul forziere dei dobloni,partite immantinente per l'isola armati di mappa,picchetti,strumenti di misura e vanga per scavare,ma con vostro grande disappunto scoprite che la forca é crollata e che non ne é rimasta traccia nel punto dove sorgeva.Senza sapere dove si trovasse la forca,come potete trovare il forziere dei dobloni?"

Il tutto si può risolvere con la geometria, sintetica o analitica:ma le due maniere veramente interessanti sono quella di "pensiero laterale" e appunto la strada che passa per il mondo dei complessi...si accettano soluzioni :wink:

Ho altri problemi in fresco da proporvi a tempo debito;per intanto saluti,
Zerinf
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Messaggio da franco » mer gen 17, 2007 9:25 am

Il tesoro si trova immediatamente provando a pasticciare un attimo in un foglio a quadretti, però sono curioso di vedere come si riesce ad arrivarci con la strada dei numeri complessi.
Io non ci provo neppure perchè esulano totalmente dalle mie irrisorie competenze ma resto in fiduciosa attesa :)
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Messaggio da franco » mer gen 17, 2007 10:12 am

In allegato la mappa del tesoro:

Acc! dopo aver fatto il disegno mi sono accorto di aver scambiato la destra con la sinistra!
Prima di scavare sino al centro della terra facciamo che l'albero A è quello in alto sul foglio e il B quello in basso :oops: :oops: :oops:
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