Lancette

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panurgo
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Lancette

Messaggio da panurgo » lun dic 31, 2018 6:23 pm

Un orologio ha la lancetta dei minuti lunga il doppio di quella dei secondi: in quale orario la velocità con cui aumenta la distanza tra le punte delle lancette è massima?
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Re: Lancette

Messaggio da delfo52 » mar gen 01, 2019 4:41 pm

intendi la differenza di distanza in termini assoluti ? o in proporzione rispetto alla posizione di partenza? Mi spiego: se in un certo periodo di tempo y la distanza passa da 1 a 3, l'incremento è di 2 /y
Se in un altro periodo y passa da 10 a 15, l'aumento è di 5/y
Però nel primo caso potremmo dire che la distanza è triplicata; mentre nel secondo è cresciuta solo del 50%
Comunque, bel problema; che non so risolvere
Enrico

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Re: Lancette

Messaggio da panurgo » mar gen 01, 2019 7:36 pm

La distanza tra le punte è minima quando le lancette formano un angolo di 0°, massima quando è di 180°; prima aumenta e poi diminuisce quindi velocità con cui cresce (diminuisce) deve variare: ad un certo punto il valore della velocità sarà massimo (minimo).

In quale istante?
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Re: Lancette

Messaggio da delfo52 » mar gen 01, 2019 7:59 pm

credo si tratti di esaminare tutti i triangoli con due lati (di lunghezza 1 e 2) incernierati al centro.
Ma possiamo considerarli in generale.
Aumentando l'angolo da 1 a 180, il terzo lato (che è la distanza tra le punte delle lancette) varia.
Per "ovvie ragioni di simmetria" mi piace pensare che la velocità di allungamento maggiore si abbia con un angolo al centro di 90°.
Per dimostrarlo, basta creare un materiale metacromatico sensibile all'allungamento e costruire con questo uno spago da posizionare tra le punte delle lancette. tale spago cambierà colore progressivamente in modo noto. Con una telecamera computerizzata ad alta velocità si filma il movimento e la variazione di colore. Un apposito software di decifrazione ci dà la risposta.
Enrico

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Re: Lancette

Messaggio da Pasquale » gio gen 03, 2019 6:58 pm

Quesito: il movimento delle lancette è del tipo a scatti, oppure bisogna intenderlo continuo, o è ininfluente?
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Re: Lancette

Messaggio da panurgo » gio gen 03, 2019 10:19 pm

La seconda descrizione del problema è fondata su un moto continuo; il caso del moto "istantaneo" da un minuto all'altro è solo più complicato e conviene risolvere il caso continuo: il secondo caso si risolve prendendo il minuto in cui la velocità è massima (anche se fosse minore delle velocità comprese tra un minuto e l'altro).
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Re: Lancette

Messaggio da franco » ven gen 04, 2019 4:45 pm

Utilizzo come unità di misura la lunghezza della lancetta delle ore.

La distanza Y fra le estremità delle due lancette dipende dal tempo X (in ore, a partire dalla mezzanotte) secondo questa equazione:
lancette1.png
lancette
lancette1.png (21.35 KiB) Visto 606 volte
Basta cercare lo zero della derivata seconda ( :D ) e abbiamo la soluzione al problema.

Siccome però derivare (due volte) l'equazione è una roba un po' tosta, mi sono affidato a excel per fare una valutazione approssimata al secondo.

Risulta che la velocità massima di incremento della distanza si ha alle 00h10'55"

Il tutto naturalmente salvo errori!


P.S. L'equazione ha un andamento periodico, quindi la velocità massima si ripete dopo un po' (sempre 655 secondi dopo che le lancette sono tornate a sovrapporsi)
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Re: Lancette

Messaggio da Pasquale » sab gen 05, 2019 1:18 am

A me, sempre salvo errori , risultano 28 minuti e 46 secondi, rispetto ad un'approssimazione alla 14^ cifra decimale nel calcolo dei vari incrementi per ogni secondo trascorso.
Tutto è stato realizzato in modo "stupido", ovvero tramite il solito Decimal Basic. :(

Occorre tuttavia precisare, considerato che il Decimal Basic non accetta la doppia precisione sulle funzioni trigonometriche, che non mi è stato concesso di verificare un maggiore incremento rispetto a quanto sopra indicato, registrato invece come uguale in corrispondenza di tempi successivi ai 28' e 46".

!'Riporto qui di seguito l'algoritmo:

OPTION ANGLE DEGREES
!'La lancetta dei secondi è lunga 1 unità e quella dei minuti 2 unità
!'Ogni secondo la lancetta dei secondi ruota di 6 gradi, mentre contemporaneamente quella dei minuti ruota di 1/10 di grado.
!'incr = incremento della distanza fra le punte rispetto a quella del secondo precedente

!'inizializzazioni:
LET incrmax=0 !' massimo incremento registrato
LET a=0 !'angolo iniziale lancetta secondi rispetto alla mezzanotte
LET b=0 !'angolo iniziale lancetta minuti rispetto alla mezzanotte
LET d1=1 !'distanza iniziale fra le punte delle 2 lancette

!'calcolo dell'incremento maggiore al tempo 's'
FOR s=1 TO 86400
LET a=a+6
LET a=MOD(a,360)
LET b=b+1/10
LET b=MOD(b,360)
!'coordinate delle punte delle lancette sul piano cartesiano
LET x1=COS(a)
LET y1=SIN(b)
LET x2=2*COS(b)
LET y2=2*SIN(b)
LET d2=SQR((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)!'distanza fra le punte al tempo 's'
LET incr=d2-d1
IF incr>incrmax THEN !'registra il massimo incremento del momento ed il tempo trascorso
LET incrmax=incr
LET t=s
END IF
LET d1=d2
NEXT S
PRINT
PRINT "Massimo incremento registrato nell'unità di tempo, pari a";incrmax
PRINT "dopo";t;"secondi dalla mezzanotte"

END
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Re: Lancette

Messaggio da franco » sab gen 05, 2019 9:54 am

mah1

Ho provato a riguardare i miei conti ma non trovo errori.

Sempre con excel ho tracciato i grafici con la distanza in funzione del tempo e le derivate prima e seconda (*).
lancette2.png
lancette2.png (57.56 KiB) Visto 587 volte
Continuo a vedere la massima velocità di allontanamento attorno al 655° secondo.

(*) in realtà sono rapporti di differenze finite ma non sottilizziamo :D ... per poterle rappresentare in un unico grafico sono moltiplicate rispettivamente per 1000 e 1000000.
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Re: Lancette

Messaggio da franco » sab gen 05, 2019 10:09 am

Qui sotto un altro grafico di dettaglio sul punto di azzeramento della derivata seconda.
lancette3.png
lancette3.png (38.07 KiB) Visto 587 volte
Gli incrementi utilizzati ai fini dei calcoli sono di 1/100 di secondo (e la scala sulle ordinate è ulteriormente ampliata per migliorare la visualizzazione).

Lo zero si posiziona nei pressi del punto di ascissa 654,55s
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Re: Lancette

Messaggio da franco » sab gen 05, 2019 11:01 am

654,54545454..... secondi corrispondono a 2/11 di ora.

Considerando che il movimento reciproco delle lancette si ripete con un periodo pari a 12/11 di ora mi sentirei di "congetturare" che non si tratti di un caso!
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Re: Lancette

Messaggio da Pasquale » sab gen 05, 2019 11:03 pm

Bene Franco, certamente è come tu dici. Purtroppo negli anni ho perduto memoria e cognizione sui procedimenti di analisi matematica e dunque non sono in grado di seguirti.
Quindi, quando è possibile cerco di divertirmi, anche se con procedimenti di basso livello, come nello spirito di Base5.
Tornando al dunque, se l'algoritmo di cui sopra non fosse errato da un punto di vista concettuale, i risultati dovrebbero essere similari nella loro diversità, ma capisco che i rilevamenti effetuuati (1 al secondo) possono essere considerati troppo distanti fra loro, ovvero senza continuità, generando così risultati poco veritieri.
Dunque, lasciando l'algoritmo così com'è da un punto di vista concettuale, ho ridotto i rilevamenti al millesimo secondo, col risultato che nell'arco di un'ora viene registrata la maggiore variazione cercata dopo 59' 15", discostando così ancora di più fra loro i risultati di cui trattasi, in assurda quantità, come se la lancetta dei minuti viaggiasse più velocemente di quanto non dovrebbe.
Evidentemente da qualche parte c'è qualche errore nell'impostazione dell'algoritmo che non mi riesce di individuare ed anche se l'argomento "calcolo stupido" può risultare di scarso interesse, non mi dispiacerebbe che qualcuno mi aiutasse ad individuare l'errore o gli errori, perché se tutto fosse stato impostato in modo giusto, i risultati non avrebbero dovuto discostarsi così tanto.

A tale scopo riporto di seguito il nuovo algoritmo, modificato nella distanza fra i rilevamenti (da 1 ogni secondo ad 1 ogni millesimo di secondo), senza cambiare l'impostazione concettuale dello stesso (magari è proprio in quest'ultima il bandolo della matassa).

OPTION ANGLE DEGREES
!'La lancetta dei secondi è lunga 1 unità e quella dei minuti 2 unità
!'Ogni millisecondo la lancetta dei secondi ruota di 6/1000 di grado,
!'mentre contemporaneamente quella dei minuti ruota di 1/10000 di grado.
!'incr = incremento della distanza fra le punte rispetto a quella del secondo precedente

!'inizializzazioni:
LET incrmax=0 !' massimo incremento registrato
LET a=0 !'angolo iniziale lancetta secondi rispetto alla mezzanotte
LET b=0 !'angolo iniziale lancetta minuti rispetto alla mezzanotte
LET d1=1 !'distanza iniziale fra le punte delle 2 lancette

!'calcolo dell'incremento maggiore al tempo 's'
FOR s=1 TO 3600000 !'millesimi di secondo (1 ora)
LET a=a+6/1000
LET a=MOD(a,360)
LET b=b+1/10000
LET b=MOD(b,360)
!'coordinate delle punte delle lancette sul piano cartesiano
LET x1=COS(a)
LET y1=SIN(b)
LET x2=2*COS(b)
LET y2=2*SIN(b)
LET d2=SQR((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)!'distanza fra le punte al tempo 's'
LET incr=d2-d1
IF incr>incrmax THEN !'registra il massimo incremento del momento ed il tempo trascorso
LET incrmax=incr
LET t=s
END IF
LET d1=d2
NEXT S
PRINT
PRINT "Massimo incremento registrato nell'unità di tempo, pari a";incrmax
PRINT "dopo";t;"millesimi di secondo dalla mezzanotte"

END
Ultima modifica di Pasquale il dom gen 06, 2019 12:04 am, modificato 1 volta in totale.
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Re: Lancette

Messaggio da Pasquale » dom gen 06, 2019 12:01 am

OK, l'errore certamente c'è e sarà qualcosa di stupido che mi sfugge: ho potuto accertare che il risultato cambia al mutare dell'impostazione del periodo di osservazione. Infatti, dai 28' 46" registrati su 24 ore, il valore è cresciuto fino a 59' 15" con un'osservazione di 1 ora, con rilevamenti però al millisecondo, ma scende a soli 15" con un'osservazione di 2 minuti, sempre con rilevamenti al millisecondo. Troppa instabilità...tutto da rivedere.

Ancora:
continuo a non trovare l'errore e nel frattempo, nell'arco di 10 minuti espressi in centomilesimi di secondo, che si avvicinano di più ad una simulazione della continuità del movimento delle lancette, si osserva un incremento massimo della distanza fra le punte delle lancette a 15 secondi dopo la mezzanotte, ma se si amplia il campo di osservazione a 30 minuti, il maggiore incremento nell'unità di tempo (1/100.000 s) viene registrato dopo 28' 45" (ritorna cioè il valore trovato inizialmente). :? :?:
Non c'è quindi stabilità nei risultati. Può darsi che allargando il campo orario di osservazione venga fuori un risultato che in un campo più ristretto non compare, ma al momento non so cos'altro dire sull'uso e sull'affidabilità di uno strumento come questo, a parte la possibile esistenza di un errore che ancora non trovo.
Magari proverò con una scansione al microsecondo.
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Re: Lancette

Messaggio da Pasquale » dom gen 06, 2019 12:59 pm

Dunque, oggi 6/1/2019, il P.C. è stato posto al lavoro con il sudetto algoritmo, variato nei valori necessari, affinché il risultato finale sia funzione delle misurazioni effettuate ogni microsecondo nell'arco di 30 minuti a partire dalla mezzanotte.

Se tanto mi tanto, mi aspetto che la variazione dell'intervallo temporale di osservazione, che comporta una variazione del posizionamento relativo delle due lancette ed una maggiore quantità di confronti fra gli incrementi delle distanze, sia per l'ampiezza del tempo di osservazione, quanto per la distanza nel tempo fra le misurazioni (ogni microsecondo), rilevi nuovamente un maggiore incremento intorno ai 28 minuti e 45 secondi o 46 che siano, ammenocché la rilevazione non vada a cadere in un punto precedentemente non rilevato.
Vediamo la Befana cosa tirerà fuori dal sacco dello spazio-tempo :?: , ma solo a titolo di curiosità.

In realtà quello che accade è che il calcolo con la derivata assicura la continuità delle rilevazioni, mentre le scansioni dell'algoritmo no, per quanto possano essere ravvicinati gli intervalli di tempo fra le rilevazioni di incrementi delle distanze, che non assicurano quindi la rilevazione della massima variazione in un tempo certo e definito.

In effetti, ripescando nella memoria i vecchi studi di molti anni fa e facendo lo slalom fra le sinapsi spezzate, solo adesso capisco che la discontinuità delle misurazioni, per quanto in tempi sempre più ristretti, non assicura di aver pescato il risultato giusto rispetto al calcolo effettuato nel tempo con continuità, che trova il massimo nel tempo indicato da Franco (manca con l'algoritmo il limite portato a zero degli intervallini di tempo). D'altra parte anche Panurgo mi aveva dato una dritta.

Questo spiega perché, l'algoritmo trova incrementi sempre maggiori in tempi più lunghi e mai il maggiore, se si considera anche che è difficile definirlo, considerate le approssimazioni dovute al calcolo col radicale.
In realtà con l'utilizzo dell'algoritmo a scansione (che a questo punto penso che nella sua peculiarità non sia nemmeno errato, ma non adatto al caso), poiché ad ogni trascorrere del tempo si spostano ambedue le lancette in modo diverso, accade che le posizioni relative, nel loro mutare col trascorrere del tempo vadano ad individuare situazioni che si ripetono, ma anche nuove situazioni con incrementi maggiori di quelli precedentemente non individuati.
Tutto questo spiega (a me stesso o a chi vi abbia interesse) il perché della diversità così eclatante dei risultati al variare del tempo totale di rilevazione e dei tempi di scansione con lo stesso combinati. Più si allunga il tempo totale delle scansioni, più è possibile reperire un incremento maggiore della distanza lancette, senza considerare che il maggiore poteva essere trovato in un tempo molto più breve tramite più appropriato calcolo.

Forse, se avrò altro tempo da perdere, proverò a studiare un diverso algoritmo che possa tener conto di questa realtà, allo scopo di trovare un risultato vicino a quello certo, cioè nei dintorni del massimo.

A questo punto della vicenda, vado a stoppare l'attuale inutile lavoro dell'algoritmo. :| :D

Buona Befana a tutti
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Re: Lancette

Messaggio da franco » lun gen 07, 2019 12:34 pm

Pasquale,

Ho scritto anche io una routine in Basic (io uso Visual Basic, un po' diverso come sintassi dal Decimal Basic ma credo comunque comprensibile.
Sub calcolo_incrementi_velocita()

' tempi indicati in secondi
inizio = 0
fine = 4000
' il ciclo si ripete ogni 12/11 di ora pari a circa 3927 secondi
intervallo = 0.01

Const pigreco = 3.14159265
Dim ora As Double
istante = inizio
maxincremento = 0
istantemaxincremento = inizio

Do While istante < fine
ora = istante / 3600
distanza1 = ((Sin(pigreco * ora / 6) - 2 * Sin(2 * pigreco * ora)) ^ 2 + (Cos(pigreco * ora / 6) - 2 * Cos(2 * pigreco * ora)) ^ 2) ^ 0.5
istante = istante + intervallo
ora = istante / 3600
distanza2 = ((Sin(pigreco * ora / 6) - 2 * Sin(2 * pigreco * ora)) ^ 2 + (Cos(pigreco * ora / 6) - 2 * Cos(2 * pigreco * ora)) ^ 2) ^ 0.5
incremento = distanza2 - distanza1
If incremento > maxincremento Then
maxincremento = incremento
istantemaxincremento = istante
End If
Loop

MsgBox (istantemaxincremento)

End Sub
Il risultato è pari a circa 655 secondi

ciao

Franco
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