Lancette

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Pasquale
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Re: Lancette

Messaggio da Pasquale » mar gen 08, 2019 4:47 pm

Ciao Franco, grazie.
Finalmente un login che è antato in porto. Vedo la tua routine e mi riservo di studiarla, sperando nella sua comprensione (anni fa utilizzavo il più vecchio Quick Basic, sempre per scopi hobbistici, prima che Gianfranco, che saluto, mi convertisse al Decimal Basic, più pratico per qualche calcolo anche con numeri più lunghi).
Nel frattempo, ho individuato un errore nella mia al comando < LET y1 = SIN(b) > da correggere con SIN(a).
Dunque un saluto a tutti e buon 2019.
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panurgo
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Lancette

Messaggio da panurgo » mar gen 08, 2019 6:01 pm

Cari e ottimi, non è poi così difficile trovare una soluzione “esatta” per via analitica ma io preferisco l’approccio di Delfo.

Facendo finta di essere un Fisico, comincio con lo scegliere come riferimento un sistema di assi cartesiani con l’origine nel centro dell’orologio, l’asse delle ascisse solidale con la lancetta dei minuti e avente come unità di misura la lunghezza della lancetta dei minuti stessa.

In tal modo osserveremo che la lancetta dei minuti è ferma mentre la lancetta delle ore corre “all’indietro”, con un moto circolare uniforme. La velocità angolare rispetto all’orologio è

$\displaystyle\omega_1=-\frac{2\pi}{1\,\text{h}}$

per la lancetta di minuti e

$\displaystyle\omega_2=-\frac{\pi}{6\,\text{h}}$

per quella delle ore, il segno è meno perché il verso trigonometrico è opposto al verso orario: la velocità angolare della lancetta delle ore rispetto a quella dei minuti sarà

$\displaystyle\omega=\omega_2-\omega_1=\frac{11\pi}{6\,\text{h}}$

L’angolo spazzato dalla lancetta delle ore è $\vartheta=\omega t$; la velocità della punta della lancetta delle ore è un vettore perpendicolare alla lancetta stessa; la velocità di allungamento della distanza sarà la componente della velocità lungo la congiungente le due punte
lancette30_480x480.png
lancette30_480x480.png (18.14 KiB) Visto 1442 volte
Evidentemente, tale componente sarà massima quando la congiungente risulterà perpendicolare alla lancetta delle ore (ecco, Delfo, il tuo angolo retto): un triangolo rettangolo con un cateto la metà dell’altro è mezzo equilatero e l’angolo tra le due lancette è di $60°$
lancette60_480x480.png
lancette60_480x480.png (18.69 KiB) Visto 1442 volte
Infine, basta calcolare il tempo (in ore) corrispondente a tale angolo

$\displaystyle t=\frac\vartheta\omega=\frac\pi3\times\frac{6\,\text{h}}{11\pi}=\frac2{11}\,\text{h}=654,\overline{54}\,\text{s}$
Ultima modifica di panurgo il sab gen 19, 2019 1:12 pm, modificato 1 volta in totale.
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Re: Lancette

Messaggio da delfo52 » mar gen 08, 2019 10:41 pm

Grazie panurgo della citazione, che mi ha commosso. La presenza dell'angolo retto era una intuizione elegante; anche se non lo avevo posizionato al posto giusto...
Enrico

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Re: Lancette

Messaggio da franco » gio gen 10, 2019 2:12 pm

Bellissimo problema e elegantissima soluzione.
Ero sicuro che ci fosse un metodo più semplice rispetto al fare derivate su derivate di funzioni trigonometriche non proprio elementari ma non credo che ci sarei mai arrivato :)

Sono comunque contento di aver centrato il risultato sia con il metodo delle differenze finite che con la routine in Basic :D :D

ciao
Franco

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Re: Lancette

Messaggio da modulocomplicato » gio gen 10, 2019 3:24 pm

Ciao a tutti, sono stato via per un po... vi lascio un orologio con 2 lancette, un po' diverso dal solito, con cui giocare...

http://maruelli.com/TWO-HAND-CLOCK/MARU ... CK-ANI.gif

Buon Anno a tutti !
Ciao
Stefano

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Messaggio da panurgo » gio gen 10, 2019 6:09 pm

La soluzione analitica va così

lancette45_480x480.png
lancette45_480x480.png (11.48 KiB) Visto 1404 volte
Il teorema del coseno ci dice che la distanza tra le punte delle lancette vale

$\displaystyle l=\sqrt{l_1^2+l_2^2-2l_1 l_2\cos{\vartheta}}$

Avendo fissato il sistema di riferimento in modo che sia $l_1=1$, la distanza diventa

$\displaystyle l=\sqrt{\frac54-\cos{\vartheta}}$

La velocità di allungamento è

$ \displaystyle v=\frac{dl}{dt}=\frac{dl}{d\vartheta}\cdot\frac{d\vartheta}{dt}=\frac{\sin{\vartheta}}{2\sqrt{\frac54-\cos{\vartheta}}}\cdot\omega=\frac{\omega \sin{\vartheta}}{2l} $

Per trovare la velocità massima deriviamo di nuovo (sempre con lo stesso trucco)

$\displaystyle \frac{dv}{dt}=\frac{dv}{d\vartheta}\cdot\frac{d\vartheta}{dt}=\frac{\omega\cos{\vartheta}\cdot 2l-2\frac{dl}{d\vartheta}\cdot\omega \sin{\vartheta}}{4l^2}\cdot\omega=\frac{\omega\cos{\vartheta}\cdot 2l-2\frac{ \sin{\vartheta}}{2l} \cdot\omega \sin{\vartheta}}{4l^2}\cdot\omega=\frac{\omega^2}{8l^3}\left[\cos{\vartheta}\cdot 4l^2-2\sin^2{\vartheta}\right]$

ma $4l^2=5-4\cos{\vartheta}$ per cui

$\displaystyle \frac{dv}{dt}\propto 2\cos^2{\vartheta}-5\cos{\vartheta}+2=0$

da cui segue

$\displaystyle\cos{\vartheta_{1,2}}=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}4=\frac{5\pm3}4$

L’unica soluzione possibile è $\cos{\vartheta}=1/2$ che corrisponde a $\vartheta=\pm\pi/3$: poiché la velocità è proporzionale a $\sin{\vartheta}$, per avere il massimo bisogna prendere l’angolo positivo.

L’angolo negativo corrisponde alla massima velocità di accorciamento

lancette300_480x480.png
lancette300_480x480.png (13.83 KiB) Visto 1404 volte
:wink:
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Re: Lancette

Messaggio da Gianfranco » ven gen 11, 2019 10:43 pm

modulocomplicato ha scritto:
gio gen 10, 2019 3:24 pm
Ciao a tutti, sono stato via per un po... vi lascio un orologio con 2 lancette, un po' diverso dal solito, con cui giocare...

http://maruelli.com/TWO-HAND-CLOCK/MARU ... CK-ANI.gif

Buon Anno a tutti !
Ciao
Stefano
Ciao Stefano, bentornato, come stai?
Grazie per averci ricordato i tuoi originali orologi. Ricordo che per me erano un argomento difficile.
Buon anno anche a te e ai tuoi cari.

Bella la soluzione di Delfo-Panurgo.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Lancette

Messaggio da modulocomplicato » mar gen 15, 2019 6:25 pm

Bene, grazie, sono sopravvissuto a me stesso e al fatto che è inutile pensare di veder riconosciuto il proprio lavoro in patria ;-P

Oggi ho messo tutto al pubblico lubidrio, scusate l'inglese...

http://www.maruelli.com/TWO-HAND-CLOCK/ ... -Vol-1.pdf

http://www.maruelli.com/TWO-HAND-CLOCK/ ... l.2-10.pdf

...con buona pace di tutti quelli che ci han chiamati ignoranti perchè non capivamo le assurdità astratte che si son inventati nel corso di questi ultimi 50 anni....

...caro buon vecchio triangolo... chi da te si allontana, non sta certo facendo della bella matematica... e prima o poi la paga cara, oh se la pagherà... ;-P

Ciao a tutti, e dite ai vostri figli di ricordarsi di me quando cercheranno di dimenticarmi mettendo tutto sotto al tappeto...

Stefano

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