La stessa fine

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Admin
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Messaggio da Admin »

l'ho ridotto;
almeno è più digeribile da 0-!

Admin

P.S.: x 0-, sto lavorando alla possibilità di inserire il simbolo (come anche tanti altri simboli) nell'username, così, se vuoi, puoi cambiare l'username.
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net

Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Si, d'accordo Bruno per quanto riguarda la questione della divisibilità per 5, ma l'ho citato solo per completare il discorso con le cose dette.
Inoltre, volevo far notare a me stesso che anche dalla tua scomposizione n(n-1)(n+1)(n^2+1), meglio (n-1)n(n+1)(n^2+1), si vede che essendovi tre consecutivi, uno deve essere per forza pari.
Per quanto riguarda il disegno, puoi farlo solo tu (oltre l'Amministratore), attraverso il tasto "modifica": cancelli il disegno e ne metti un altro più piccolo, se vuoi.
Come inserire un disegno piccolo:
Fai il disegno grande, lo acquisisci su Word e lì puoi dimensionarlo come vuoi facendo scorrere l'angolino; quindi lo selezioni, lo copi, apri Paint, lo incolli lì e salvi l'immagine come .jpg o .gif secono i casi
In alternativa puoi inserire una miniatura, cliccando sulla quale si ottiene l'ingrandimento, come qui di seguito:
Immagine
Questa puoi ottenerla caricando il tuo disegno qui http://www.imageshack.us/ e poi copiandoti il codice della miniatura da inserire sul forum (devi copiare il codice in cui il tag IMG è messo sotto la forma [IMG]http.... e non sotto la forma [IMG=http...; scegli cioè la seconda riga dall'alto "thumbnail for forum (1))
Su imageshake, puoi scegliere di ridimensionare la tua immagine, prima di uploadarla, e di evitare sotto la miniatura l'indicazione delle dimensioni dell'immagine linkata (ci sono 2 apposite opzioni).
Comunque un'immagine piccola viene caricata prima nella pagina del forum, con minori tempi di attesa.
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Gianfranco
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Messaggio da Gianfranco »

Ciao a tutti,
complimenti a Bruno per la dimostrazione e per il gelato!

Stavo cercando una dimostrazione che svelasse il segreto di questa ciclicità chiedendomi:
che cosa succede se siamo in una base diversa dal 10?

La dimostrazione di Bruno permette di cominciare a generalizzare il problema.

Bruno ha dimostrato che:
$n^5 - n$ è divisibile per 10
ovvero che:
$n^5 - n = 0 (mod 10)$

Se ci mettiamo in base b, possiamo chiederci:
qual è il minimo x per cui $n^x - n$ è divisibile per b?

Si dimostra facilmente che:

base 2: $n^2 - n$ è divisibile per 2
base 3: $n^3 - n$ è divisibile per 3
base 5: $n^5 - n$ è divisibile per 5
base 7: $n^7 - n$ è divisibile per 7

A questo punto è inevitabile che venga in mente il teorema di Fermat che dice:
Per ogni p primo, $n^p - n$ è divisibile per p

E se x, ovvero la base, non è un numero primo, come ad esempio il 10?
Ad esempio:
base 6: $n^3 - n$ è divisibile per 6
base 15: $n^5 - n$ è divisibile per 15

Che cosa succede però in base 4, 8, 9, 12, ...?
Ad esempio, in base 4:
a) le potenze dei numeri che terminano per 1, terminano per 1
b) le potenze (>=2) dei numeri che terminano per 2, terminano per 0
Quindi non esiste un esponente x per cui n e $n^x$ terminano con la stessa cifra.

Per quali basi non funziona?
Perché non funziona?

Gianfranco

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