La sezione biaurea

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0-§
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La sezione biaurea

Messaggio da 0-§ » mer dic 21, 2005 4:59 pm

Ah,uno dei topic di cui vado più fiero.
Dato un numero n e tre numeri a,b,c tali che
a:b=b:c=c:n,
a+b+c=n e
a>b>c,
quanto valgono a/n,b/a,c/b?

Si era giunti alla conclusione che,se per la normale sezione aurea,a/n é radice di
x^2+x-1,qui é radice di x^3+x^2+x-1=0.E che in generale,se divido in k parti, a/n é radice di \displaystyle\sum_{i=k}^{1} x^i -1=x^k+x^{k-1}+x^{k-2}+...+x-1=0.
Nella fattispecie,per la divisione in due parti a/n è
D_2=0,618033989...,
per quella in tre é
D_3=0,543689012...
D_4=0,518790063...
D_5=0,508660391...
D_6=0,504138258...
D_7=0,502017055...
D_8=0,500994177...
(metodo di calcolo consigliatomi da Piero Vitelli e certo sig.Bellia,non sono andato avanti perché la mia calcolatrice ha rassegnato le dimissioni)
Si nota facilmente che i vari numeri si avvicinano sempre di più a 0,5 che é in effetti il valore di a/n quando divido in infiniti pezzi.
Per chi volesse saperlo,le varie soluzioni sono le radici di
k=\displaystyle\frac {log (\frac{x}{2x-1})}{log (1/x)}
dove k,come prima,é il numero di suddivisioni di n.C'é un modo di produrre tutte le radici automaticamente(formula vel programma informaticus)?
Sapete che ,nella serie di Fibonacci,il rapporto tra due termini consecutivi tende a 0,618033... ecc.ecc.?Beh,nella serie dove F_{n+2}=F_{n+1}+F_n,il rapporto tra termini tende a -rullo di tamburi- 0,543689012...!E lo stesso si può dire quando la ricorsiva é di quarto,quinto,...ennesimo grado.Chiaro?
E ora una domandina:per calcolare l'ennesimo termine della successione di Fibonacci c'é la formula di Binet.Qui come si calcola l'ennesimo termine?
E poi:esistono altri legami tra il numero aureo e questi numeri qui(chiamerei 0,543689012 il numero argenteo e gli altri i numeri di bronzo)?Ad esempio si può calcolare phi con
\sqrt (1+\sqrt(1+\sqrt(1+\sqrt(1+\sqrt(1+...
Per 0,543 e gli altri esiste qualcosa di simile?
Qualcuno ha trovato qualcos'altro?
Ciao a tutti!
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di \pi, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di \pi dovesse cambiare.

-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox

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