La potenza delle somme
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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La potenza delle somme
...
Esprimere la potenza naturale $\; a^m\;$ mediante la somma di $\; k\;$numeri
interi e positivi in progressione aritmetica.
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Invisibile un vento / l'ha apena sfioragia / sospension d'un momento; /
e la bola iridessente gera 'ndagia. (Biagio Marin)
Esprimere la potenza naturale $\; a^m\;$ mediante la somma di $\; k\;$numeri
interi e positivi in progressione aritmetica.
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Invisibile un vento / l'ha apena sfioragia / sospension d'un momento; /
e la bola iridessente gera 'ndagia. (Biagio Marin)
parto con una serie di considerazioni, di cui non ho la più pallida idea se contengano o meno un briciolo di verità.
in una progressione aritmetica, cioè con intervalli uguali, quello che conta è l'elemento mediano (nel caso di k dispari, o la coppia di elementi centrali se gli elementi della progressione sono in numero pari); tutto il resto è per definizione simmetrico.
Il numero che deve essere espresso come somma, nel problema proposto è una potenza (a^m), ma la cosa può anche non interessarci; quello che conta è che dobbiamo smontarlo in un certo numero (k) di pezzi "interi".
Il valore "medio" di questi pezzi è pertanto uguale al numero "grosso" diviso per k
Ora, se il numero degli elementi è dispari, quello centrale, oltre ad essere "mediano", è anche la "media"; e deve corrispondere al quoziente tra i termini suindicati
La cosa va bene se e solo se il quoziente non dà resto, e se il quoziente stesso non è troppo piccolo, altrimenti si rischia che non ci siano abbastanza elementi interi e positivi.
per ora basta
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Enrico
(E' la divergenza di opinioni che rende possibili, e interessanti, le corse di cavalli-M.Twain)
in una progressione aritmetica, cioè con intervalli uguali, quello che conta è l'elemento mediano (nel caso di k dispari, o la coppia di elementi centrali se gli elementi della progressione sono in numero pari); tutto il resto è per definizione simmetrico.
Il numero che deve essere espresso come somma, nel problema proposto è una potenza (a^m), ma la cosa può anche non interessarci; quello che conta è che dobbiamo smontarlo in un certo numero (k) di pezzi "interi".
Il valore "medio" di questi pezzi è pertanto uguale al numero "grosso" diviso per k
Ora, se il numero degli elementi è dispari, quello centrale, oltre ad essere "mediano", è anche la "media"; e deve corrispondere al quoziente tra i termini suindicati
La cosa va bene se e solo se il quoziente non dà resto, e se il quoziente stesso non è troppo piccolo, altrimenti si rischia che non ci siano abbastanza elementi interi e positivi.
per ora basta
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Enrico
(E' la divergenza di opinioni che rende possibili, e interessanti, le corse di cavalli-M.Twain)
c'è un altra cosa da scoprire:
i puntini di sospensione iniziali sono:
- un vezzo
- un mistero
- un enigma
- una parte del problema
- un errore
- un verso "ermetico" , ma ermetico-ermetico (che più ermetico non si può)
.............(puntini di sospensione normali)
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Enrico
(E' la divergenza di opinioni che rende possibili, e interessanti, le corse di cavalli-M.Twain)
i puntini di sospensione iniziali sono:
- un vezzo
- un mistero
- un enigma
- una parte del problema
- un errore
- un verso "ermetico" , ma ermetico-ermetico (che più ermetico non si può)
.............(puntini di sospensione normali)
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Enrico
(E' la divergenza di opinioni che rende possibili, e interessanti, le corse di cavalli-M.Twain)
...ecco, bisognerebbe vedere come devono essere k, m ed a perchéDaniela ha scritto:ma k e' arbitrario ?
si possa rispondere al quesito.
Probabilmente può servire cominciare a ragionare su casi particolari.
Il problema non è semplice, in effetti, ma può essere ricondotto a un certo
numero di possibilità.
...(li ho rifatti!) forse sono un errore enigmatico e misterioso, decisamenteEnrico ha scritto:c'è un altra cosa da scoprire:
i puntini di sospensione iniziali sono:
- un vezzo
- un mistero
- un enigma
- una parte del problema
- un errore
- un verso "ermetico" , ma ermetico-ermetico (che più ermetico non si può)
ermetico... (un'altra volta!)
Ma hanno pure a che fare con l'hint di Daniela: in quest'ultimo caso sono
riferiti ai contributi ben più importanti che quasi sempre precedono i miei
interventi.
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Invisibile un vento / l'ha apena sfioragia / sospension d'un momento; /
e la bola iridessente gera 'ndagia. (Biagio Marin)
Penso che a e/o m dovrebbero essere espressi in funzione di k; ad esempio potrebbe essere m=2k o m=2k+1 di modo che:
$a^{2k} = (a^2)^k = (a^k)^2$
$a^{2k+1} = a\cdot a^{2k}= a\cdot(a^2)^k = a\cdot(a^k)^2$
......può darsi che ci si faccia qualcosa: per esempio, a^2 è la somma dei primi a dispari.....boh, non so se serve, non mi viene altro...
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.....è la somma che fa il totale (Totò)
Ciao
$a^{2k} = (a^2)^k = (a^k)^2$
$a^{2k+1} = a\cdot a^{2k}= a\cdot(a^2)^k = a\cdot(a^k)^2$
......può darsi che ci si faccia qualcosa: per esempio, a^2 è la somma dei primi a dispari.....boh, non so se serve, non mi viene altro...
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.....è la somma che fa il totale (Totò)
Ciao
Ciao a tutti,
Pasquale, buona la tua osservazione: la somma dei primi n numeri dispari è uguale a n^2.
Partiamo dagli interi positivi.
a) ogni quadrato è la somma di una progressione aritmetica (i primi n numeri dispari)
b) ogni potenza pari è un quadrato, perciò ricadiamo nel caso a)
c) ogni potenza dispari è una potenza pari moltiplicata (o divisa per la base), perciò ricadiamo nel caso b)
Basta infatti moltiplicare (o dividere) tutti i temini della successione per la base della potenza.
Esempio:
$2^6 = 8^2 = 1+3+5+7+9+11+13+15$
$2^7 = 2*2^6 = 2+6+10+14+18+26+30$
d) la proprietà si può estendere alle potenze a base razionale perché ogni razionale è un rapporto di due interi (?)
e) si potrà estendere alle basi reali?
f) e se l'esponente non è intero?
Ciao
Gianfranco Bo
Pasquale, buona la tua osservazione: la somma dei primi n numeri dispari è uguale a n^2.
Partiamo dagli interi positivi.
a) ogni quadrato è la somma di una progressione aritmetica (i primi n numeri dispari)
b) ogni potenza pari è un quadrato, perciò ricadiamo nel caso a)
c) ogni potenza dispari è una potenza pari moltiplicata (o divisa per la base), perciò ricadiamo nel caso b)
Basta infatti moltiplicare (o dividere) tutti i temini della successione per la base della potenza.
Esempio:
$2^6 = 8^2 = 1+3+5+7+9+11+13+15$
$2^7 = 2*2^6 = 2+6+10+14+18+26+30$
d) la proprietà si può estendere alle potenze a base razionale perché ogni razionale è un rapporto di due interi (?)
e) si potrà estendere alle basi reali?
f) e se l'esponente non è intero?
Ciao
Gianfranco Bo
il problema, come lo affronta Gianfranco, pare risolto...
ma nella sua interpretazione , k non è un numero predefinito, ma "discende" dai termini della potenza da esprimere.
Insomma, il problema diventa qualcosa del tipo:
qualsiasi potenza è esprimibile come somma di addendi equidistanti tra loro
Che il problema debba essere letto così, forse lo potevo capire prima: in forma troppo allargata e generica, è manifestamente impossibile............
(metto i puntini, per dare agio a qualcuno di riallacciarsi alle puntate precedenti)
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Enrico
(E' la divergenza di opinioni che rende possibili, e interessanti, le corse di cavalli-M.Twain)
ma nella sua interpretazione , k non è un numero predefinito, ma "discende" dai termini della potenza da esprimere.
Insomma, il problema diventa qualcosa del tipo:
qualsiasi potenza è esprimibile come somma di addendi equidistanti tra loro
Che il problema debba essere letto così, forse lo potevo capire prima: in forma troppo allargata e generica, è manifestamente impossibile............
(metto i puntini, per dare agio a qualcuno di riallacciarsi alle puntate precedenti)
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Enrico
(E' la divergenza di opinioni che rende possibili, e interessanti, le corse di cavalli-M.Twain)
Chiedo scusa, Enrico, in effetti, nel mio ultimo post non ho scritto e non intendevo "interi".
Però possiamo riformulare il problema in forma più allargata......
Bruno, nel problema originale che cosa è k: un numero assegnato o un numero da trovare in funzione di a, m?
...o si intende: per ogni m esiste un k tale che...
Ciao
Gianfranco
Però possiamo riformulare il problema in forma più allargata......
Bruno, nel problema originale che cosa è k: un numero assegnato o un numero da trovare in funzione di a, m?
...o si intende: per ogni m esiste un k tale che...
Ciao
Gianfranco
Faccio le seguenti considerazioni (non so quante valide).
Sian x e d il primo termine e la ragione della progressione da individuare.
Per note formule deve essere:
$a^m=\left(\frac{x+x+d(k-1)}{2} \right )k$
da cui si ricava:
$x=\frac{a^m}{k}-\frac{1}{2}d(k-1)$
Ne deriva che affinche' il problema sia possibile non tutti i dati possono
essere arbitrari.In particolare occorre che sia:
$k \geq 3, \frac{k}{2}d(k-1)<a^m$ ed inoltre $k|a,2|d(k-1)$
Per esempio se si sceglie : a=8,m=3,d=6,k=4 risulta x=119 e dunque:
$8^3=119+125+131+137$
Certo in questo modo il problema si particolarizza ma personalmente non
vedo sbocchi migliori.
Leandro
Sian x e d il primo termine e la ragione della progressione da individuare.
Per note formule deve essere:
$a^m=\left(\frac{x+x+d(k-1)}{2} \right )k$
da cui si ricava:
$x=\frac{a^m}{k}-\frac{1}{2}d(k-1)$
Ne deriva che affinche' il problema sia possibile non tutti i dati possono
essere arbitrari.In particolare occorre che sia:
$k \geq 3, \frac{k}{2}d(k-1)<a^m$ ed inoltre $k|a,2|d(k-1)$
Per esempio se si sceglie : a=8,m=3,d=6,k=4 risulta x=119 e dunque:
$8^3=119+125+131+137$
Certo in questo modo il problema si particolarizza ma personalmente non
vedo sbocchi migliori.
Leandro
...
Secondo me, Leandro, non sei affatto lontano da un inquadramento più
generale del problema.
Penso che per questa via non si particolarizzi la questione, anzi: è forse
possibile definirne i confini.
Naturalmente, questo è solo il mio punto di vista...
(Mi dispiace aver perso l'intervento inviato da Gianfranco prima del
recente 'guasto' al forum: sarà possibile reinserirlo qui?)
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Secondo me, Leandro, non sei affatto lontano da un inquadramento più
generale del problema.
Penso che per questa via non si particolarizzi la questione, anzi: è forse
possibile definirne i confini.
Naturalmente, questo è solo il mio punto di vista...
(Mi dispiace aver perso l'intervento inviato da Gianfranco prima del
recente 'guasto' al forum: sarà possibile reinserirlo qui?)
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Ho reinserito anche gli interventi di Gianfranco;
purtroppo per far ciò ho dovuto inserire gli ultimi due interventi, di Leandro e Bruno, sotto forma di recupero.
x Bruno
con Peppe sul forum, non si perde niente!
Fine recupero.
purtroppo per far ciò ho dovuto inserire gli ultimi due interventi, di Leandro e Bruno, sotto forma di recupero.
x Bruno
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Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net
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