La pentapizza

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La pentapizza

Messaggio da 0-§ » lun lug 11, 2016 10:06 pm

Un seguito ideale al problema del quadriformaggio :mrgreen:

La pentapizza è un'altra delle famose ricette di Gennaro Gennargentu, cuoco della corrente sperimental-molecolar-sarda:
come suggerisce il nome, è una pizza margherita a forma di pentagono regolare, guarnita con qualche cappero.

Prima di servire la pentapizza in tavola, Gennaro la taglia a metà lungo un segmento rettilineo. Anziché usare una normale
rotella, però, Gennaro preferisce usare un sottile raggio laser, che a suo dire consente un taglio preciso e senza sprechi,
mantenendo intatto il sapore.

Il problema è dato dai capperi, che se si trovano lungo la linea di passaggio del laser si bruciacchiano. Supponiamo che il
taglio sia fatto casualmente, ossia lungo un qualunque segmento che divide la pizza in due metà di area uguale. Quali sono
le zone dove non mettere il cappero, ossia, quali sono le zone dove più probabilmente passerà il taglio al laser? Sapreste
quantificare il rischio, sotto forma di una distribuzione di probabilità nel pentagono?

Saluti,
Zerinf
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pentapizza.png
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Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di \pi, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di \pi dovesse cambiare.

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Re: La pentapizza

Messaggio da delfo52 » lun lug 11, 2016 10:37 pm

immagino che ogni cappero sia circolare, con raggio r inferiore al raggio del cerchio inscritto.
se la distanza tra il centro del cappero e quello del pentagono è inferiore al raggio r del cappero stesso, qualsiasi taglio lo va a colpire.
se il cappero è tangente internamente al perimetro, la probabilità che il taglio lo colpisca è uguale (o proporzionale) al rapporto tra il diametro del cappero e i perimetro di una pizza pentagonale più piccola della pizza data (apotema più corto di una quantità pari a r-raggio del cappero). Questa probabilità va raddoppiata, perché il cappero può essere colpito in partenza, ma anche in uscita.
La posizione esterna tangente internamente al perimetro è (a occhio, ma non solo) la posizione più favorevole all'integrità capperina.
Così come la posizione centrale era la peggiore.
Da ciò discende che...meglio mettere i capperi più esternamente possibile
SE&O
Enrico

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Re: La pentapizza

Messaggio da 0-§ » mar lug 12, 2016 8:56 am

Nella definizione originale del problema (avrei dovuto dirlo esplicitamente) i capperi sono puntiformi, ma la generalizzazione
a capperi generici di raggio r sembra interessante
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di \pi, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di \pi dovesse cambiare.

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Re: La pentapizza

Messaggio da delfo52 » mar lug 12, 2016 10:22 am

se i capperi sono puntiformi, quello al centro sarà "tagliato" ogni volta. Ma come si taglia o si bruciacchia un cappero puntiforme?
Se è sul perimetro, essendo puntiforme, il rapporto tra la sua estensione e il perimetro è zero ( o tende a zero?). Mannaggia all'infinito e agli infinitesimi ! Ci vuole il caro vecchio Cantor
Enrico

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Re: La pentapizza

Messaggio da franco » mar lug 12, 2016 10:49 am

Immagino che Gennaro, pignolo com'è, non si accontenti di tagliare le pizze "più o meno a metà" ma vorrà delle metà perfette: le linee di taglio passano tutte per il centro della pentapizza o no?
Assodato intuitivamente che è meglio mettere i capperi sul bordo, ci sarà differenza se li mettiamo ai vertici, al centro dei lati o in altre posizioni intermedie?

ciao

Franco
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Re: La pentapizza

Messaggio da 0-§ » mer lug 13, 2016 10:37 am

Non è detto che ci debba essere un cappero al centro della pizza, che anzi è un luogo piuttosto "rischioso". Però non è affatto
detto che un taglio che divide la pizza in due metà di area uguale debba passare per il centro! Nella figura che ho allegato
al primo post, ad esempio, non è così.
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di \pi, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di \pi dovesse cambiare.

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Re: La pentapizza

Messaggio da Gianfranco » gio lug 14, 2016 8:05 am

pentapizza1a.png
pentapizza1a.png (16.76 KiB) Visto 2120 volte
ATTENZIONE: ho corretto alcuni errori!
1) Se AB taglia a metà la pizza, allora le aree dei triangoli CDO e ABO sono uguali.

2) Perciò OB * AE = OD * DC

3) Poniamo:
OB = x
AO = y
CD = 1
ovviamente α = 36° = 2π/10

4) Allora:
\Large x \cdot y = \frac {\cos (\pi/10)}{\sin ^3 (\pi/10)} ERRATA!

\Large x \cdot y = \frac {\cos (2\pi/10)}{\sin ^2 (2\pi/10)} ESATTA!

Stento a crederci (ancora più semplice!).
Comunque, se l'equazione è esatta, si può utilizzarla per creare al computer un disegno con "tutti" i tagli possibili.
Guardando tale disegno si scoprirà se ci sono zone in cui la densità dei tagli è maggiore. Evitare di mettere i capperi in quelle zone.
---
Concordo con quanto già detto che la zona centrale della pizza sia alquanto pericolosa per i poveri capperi che potrebbero non cavarsela bene come James Bond nel film "Missione Goldfinger".
Propongo una mia soluzione.
a) disegnare la circonferenza inscritta nel pentagono;
b) fissare un punto di origine su tale circonferenza;
c) posizionare metà dei capperi su metà della circonferenza in posizioni arbitrarie;
d) posizionare l'altra metà dei capperi sull'altra metà della circonferenza in posizioni tali che l'eventuale taglio che passa per ogni cappero non passi per nessuno dei capperi posti sulla prima metà della circonferenza.
In questo modo, ogni taglio dovrebbe "bruciare" al massimo un cappero (forse).
Se vogliamo essere più "raffinati" possiamo dividere la circonferenza in 5 settori in base alla simmetria del pentagono...
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: La pentapizza

Messaggio da Gianfranco » gio lug 14, 2016 10:24 am

Un metodo migliore di quello che ho postato poco fa.
Si basa sulla seguente congettura:
Congettura: esistono "molti" punti della pizza per cui passa un solo taglio a metà, esiste un metodo costruttivo per trovarli e conosciamo tale metodo.
Ecco allora come posizionare "molti" capperi;
a) posizioniamo il primo cappero in un punto per cui passa un solo taglio;
b) tracciamo idealmente il segmento che corrisponde al taglio.
c) posizioniamo il cappero successivo in un punto per cui passa un solo taglio che non appartenga a nessuno dei segmenti già tracciati.
d) torniamo al punto b) fino a quando abbiamo esaurito i capperi.

Per motivi estetici, applicheremo l'algoritmo precedente cercando di distribuire equamente i capperi su tutta la superficie della pizza.

In questo modo non più di un cappero sarà tagliato e la probabilità di tagliarlo è comunque praticamente nulla.
SAC
( significa "Stento A Crederci" e sostituisce l'onnipotente CVD o l'ossequioso CDD o il professionale tombstone)
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: La pentapizza

Messaggio da Gianfranco » ven lug 15, 2016 12:36 am

Ho utilizzato l'equazione postata in precedenza per costruire un programmino forse troppo contorto per rappresentare "molti" possibili tagli.
Si notano facilmete le zone che hanno una maggiore densità di tagli.
Ecco due disegni.

pentapizza2.PNG
pentapizza2.PNG (21.11 KiB) Visto 2146 volte
pentapizza3.PNG
pentapizza3.PNG (27.75 KiB) Visto 2146 volte
pentapizza4.PNG
pentapizza4.PNG (83.09 KiB) Visto 2146 volte

Incredibile!

Per chi vuol fare esperimenti, ecco il programmino.

Codice: Seleziona tutto

LET a = 2*PI/10
LET CD = 1
LET lato = 2*CD*TAN(a/2)
LET r = lato/(2*SIN(a))
LET apo = r*COS(a)
LET OD = CD/TAN(a)
LET lix = OD
LET lsx = OD + lato/2
!'PRINT lix;lsx

LET l=0.6
SET WINDOW -l,l,-l,l
!'Disegna pentagono
PLOT LINES:0,r;0,r;
FOR i = 0 TO 5
   LET t=i*(2*PI/5)+PI/2
   LET x = r*COS(t)
   LET y = r*SIN(t)
   PLOT LINES:x,y;    
NEXT i
PLOT LINES:x,y

!'Traslazione centro pentagono
LET tx = OD
LET ty = -apo

'Disegna tagli
SET LINE COLOR 10
FOR x = lix TO lsx STEP (lsx-lix)/10
   LET y = COS(a)/(x*(SIN(a))^2)
   !'PRINT x;y;x*y
   LET Ax = -y*COS(a)+tx
   LET Ay = y*SIN(a)+ty
   LET Bx = -x+tx
   LET By = 0+ty
   !'PRINT Ax;Ay
   PLOT LINES: Ax,Ay;Bx,By
   !'Simmetrico rispetto a CD
   LET Axs = -(-y*COS(a)+2*OD)+tx
   LET Ays = y*SIN(a)+ty
   LET Bxs = -(-x+2*OD)+tx
   LET Bys = 0+ty
   PLOT LINES: Axs,Ays;Bxs,Bys
   !'Ruotato di 72 gradi
   LET f=2*PI/5
   LET Axr = Ax*COS(f)-Ay*SIN(f)
   LET Ayr = Ax*SIN(f)+Ay*COS(f)
   LET Bxr = Bx*COS(f)-By*SIN(f)
   LET Byr = Bx*SIN(f)+By*COS(f)
   PLOT LINES: Axr,Ayr;Bxr,Byr
   LET Axsr = Axs*COS(f)-Ays*SIN(f)
   LET Aysr = Axs*SIN(f)+Ays*COS(f)
   LET Bxsr = Bxs*COS(f)-Bys*SIN(f)
   LET Bysr = Bxs*SIN(f)+Bys*COS(f)
   PLOT LINES: Axsr,Aysr;Bxsr,Bysr
   !'Ruotato ancora
   LET f=4*PI/5
   LET Axr = Ax*COS(f)-Ay*SIN(f)
   LET Ayr = Ax*SIN(f)+Ay*COS(f)
   LET Bxr = Bx*COS(f)-By*SIN(f)
   LET Byr = Bx*SIN(f)+By*COS(f)
   PLOT LINES: Axr,Ayr;Bxr,Byr    
NEXT x

END
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Gianfranco

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Re: La pentapizza

Messaggio da Gianfranco » ven lug 15, 2016 8:41 am

Per posizionare capperi grandi pò essere utile il concetto di ombra di un cappero nell'insieme di tutti i tagli possibili.
pentapizza5.PNG
pentapizza5.PNG (15.1 KiB) Visto 2142 volte
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Re: La pentapizza

Messaggio da delfo52 » ven lug 15, 2016 8:57 am

E rimane il fatto che, considerando i capperi puntiformi, anche in una zona ad apparente altissima densità di bisettrici (verde scuro), anche in una area determinata e piccolissima, potremmo deporre un numero infinito di capperi ! Fa quasi più impressione dell'albergo di Hillbert ! La vertigine dell'infinito è davvero inquietante; si comprende come Cantor sia uscito di senno...
Enrico

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Re: La pentapizza

Messaggio da Gianfranco » ven lug 15, 2016 10:19 am

Enrico, è vero, sono rimasto stupito e meravigliato anch'io dei risultati.
Si può depositare fino a un insieme infinito-numerabile (e quindi discreto) di punti e la probabilità che un taglio scelto a caso fra quelli possibili passi per uno dei punti è zero! Vero o falso?
Chiedo conferma ai guru di teoria della probabilità, che non mancano in questo forum.

---
P.S. Spero che la Matematica abbia avuto un ruolo positivo nella malattia psicologica di Cantor. Magari era il suo modo di tirar fuori i problemi, ciè di curarsi. Per me, le mie rozze meditazioni matematiche sono una efficace terapia anti-stress, un modo per comunicare con l'inconscio cognitivo, e un divertimento: altrimenti che sesno avrebbe fare matematica?
Sarebbe interessante approfondire questo argomento medico-matematico... :?
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: La pentapizza

Messaggio da delfo52 » ven lug 15, 2016 11:51 am

Qualcosa ho letto, riguardo la salute mentale di cantor, Godel, e altri mostri sacri. Ma è difficile dire se erano pazzi per colpa della matematica, o se si sono dedicati alla matematica, e in particolare a certi aspetti di essa, perché già disturbati... L'infinito, o meglio gli infiniti, sono per definizione paradossali. Se metto cento, mille, mille miliardi di capperi puntiformi sul bordo, essi occuperanno una parte infinitesima del perimetro, per cui nessuna bisettrice ne prenderà mai nemmeno uno ! E se questo è difficile da digerire, figuriamoci se spostiamo ogni cappero verso il centro...
Enrico

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Re: La pentapizza

Messaggio da delfo52 » ven lug 15, 2016 3:27 pm

le belle immagini proposte da Gianfranco, sono (?) una risposta alla domanda iniziale, ovvero la distribuzione della probabilità. In modo analogico invece che formale, ma danno l'informazione richiesta.
Enrico

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Re: La pentapizza

Messaggio da Gianfranco » ven lug 15, 2016 9:21 pm

Caro Enrico, ti ringrazio :D ...
Zerinf ha scritto:
Sapreste quantificare il rischio, sotto forma di una distribuzione di probabilità nel pentagono?
In effetti, non ho idea di come si potrebbe arrivare a scrivere tale distribuzione, spero che arrivi qualche suggerimento...
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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