La moneta da un p

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La moneta da un p

Messaggio da panurgo » mar ott 16, 2018 3:18 pm

La probabilità di ottenere testa lanciando una certa moneta è $p$: calcolare la probabilità che, ad un certo punto, il numero delle teste uscite sia uguale a quello delle croci.
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Re: La moneta da un p

Messaggio da delfo52 » mar ott 16, 2018 4:55 pm

dopo millecentoundici lanci la probabilità è ZERO
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Re: La moneta da un p

Messaggio da franco » mar ott 16, 2018 7:24 pm

Se il numero n di lanci è dispari evidentemente non potranno mai essere tante teste quante croci.

Se invece n = 2k direi che la probabilità di ottenere lo stesso numero di teste e croci dovrebbe essere pari a:
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Re: La moneta da un p

Messaggio da panurgo » mer ott 17, 2018 6:17 am

Capisco che il testo del messaggio possa essere ambiguo: la probabilità richiesta è che il numero di teste e il numero di croci possano diventare uguali ad un certo punto, quindi una e una sola volta.
La risposta di Franco va sulla buona strada ma comprende anche sequenze di lanci che hanno già avuto un numero uguale di teste e di croci. Inoltre, il problema non specifica quale punto quindi la risposta non deve (più) dipendere da $k$.
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Re: La moneta da un p

Messaggio da franco » gio ott 18, 2018 7:18 am

Guido, non credo di aver capito :? ...
Ok il discorso di escludere dalla conta le sequenze che sono già passate per una parità, ma non riesco a capire questa parte:
il problema non specifica quale punto quindi la risposta non deve (più) dipendere da k
Mi verrebbe da dire che se tengo la moneta in tasca la probabilità che teste e croci siano uguali (e uguali a zero) è sempre del 100% ma mi sembra una freddura :D :D :D
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Re: La moneta da un p

Messaggio da panurgo » gio ott 18, 2018 3:29 pm

Meno male che indosso un pellicciotto di acrilico selvaggio :wink:. La moneta la devi lanciare: hai una probabilità di arrivare esattamente in due lanci, una di arrivare esattamente in quattro lanci, una di arrivare esattamente in sei lanci, una di arr...

Ciò che domando è la probabiltà di arrivare, non importa in quanti lanci.
:D
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Re: La moneta da un p

Messaggio da Gianfranco » ven ott 19, 2018 2:52 pm

Panurgo, vediamo se ho capito.
Visto che gli eventi "esattamente in 2 lanci", "esattamente in 4 lanci" etc. si ecludono a vicenda, si può applicare la somma delle probabilità.
Quindi il risultato sarà il limite di una somma infinita, che intutitivamente dovrebbe essere vicino a 1 NEL CASO CLASSICO della moneta con p=0.5.

Ho fatto una piccola simulazione che per p_testa=0.5 si arena stancamente su 0,965...
E' verosimile?
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: La moneta da un p

Messaggio da panurgo » ven ott 19, 2018 4:41 pm

Posso dire che, nel caso di $p = \frac12$ la probabilità totale è $1$.

In un caso come questo è difficile fare simulazioni: comunque è giusto il ragionamento e, sapendo la probabilità di una sequenza di lanci (la parte $p^k \left(1 - p\right)^k$, per interderci) quel che resta è a) contare quante sequenze di lanci arrivano per un dato $k$ e b) fare la somma.

Io la ho fatta fare a wolframalpha :roll:
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Re: La moneta da un p

Messaggio da Gianfranco » ven ott 19, 2018 6:00 pm

Grazie Panurgo, intuitivamente sospettavo che la somma tendesse a 1 (in quel caso) e la simulazione si è "arenata" vicino a 1 perché diventava sempre più lenta e alla fine l'ho interrotta.
Ho simulato le varie probabilità fino a circa 700 lanci.
Evidentemente devo lavorare per trovare l'espressione algebrica...
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: La moneta da un p

Messaggio da Pasquale » lun ott 22, 2018 4:12 am

Dalla simulazione che segue risulta che, dato un p qualsiasi compreso fra 2 e 100, riferito alla probabilità di sortita della "testa", la probabilità che si verifichi con x tiri la condizione testa=croce, corrisponde in misura diversa ad un qualsiasi numero pari compreso fra 2 e p.
Reiterando la simulazione quanto più possibile, si può notare che la probabilità cercata è più alta sui 2 tiri, con tendenza a diminuire col crescere dei tiri .
Traducendo in un grafico (che ometto) i risultati della simulazione, si può notare una curva molto regolare.
Credo che l'equazione di tale curva sia la soluzione richiesta, ma come diceva Martufello, "di più nin so".

La routine funziona così:
probtesta è il p di uscita "testa" (max 100)
La matrice "tiri" serve a stabilire casualmente quando su 100 tiri esce "testa" e quando "croce": il caso specifico prevede 61 teste e 39 croci (p=61%)
La routine va quindi ad individuare tutti i valori pari fra 1 e 61, in corrispondenza dei quali si verifica che testa=croce
Tali valori vengono memorizzati nella matrice "tabprob" e quindi conteggiati ed incrementati nelle reiterazioni che si intende effettuare (nell'esempio sono 5000, ma si può cambiare tale valore).

LET probtesta=61
DIM tiri(100)
LET reiterazioni=5000
DIM tabprob (reiterazioni)
RANDOMIZE

FOR v=1 TO reiterazioni
MAT tiri = ZER
LET testa=0
LET croce=0

FOR m=1 TO probtesta
10
LET x=1+INT(RND*100)
IF tiri(x)=1 THEN
GOTO 10
ELSE
LET tiri(x)=1
END IF
NEXT M

FOR n=1 TO 100
IF tiri(n)=1 THEN
LET testa=testa+1
ELSE
LET croce=croce+1
END IF
IF testa =croce THEN LET tabprob(n)=tabprob(n)+1
NEXT N
NEXT V

FOR m=2 TO probtesta STEP 2
PRINT "prob";m;"=";tabprob(m)
NEXT M

END
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\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

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Messaggio da panurgo » ven ott 26, 2018 4:12 pm

Vi arrendete? :shock:
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Re: La moneta da un p

Messaggio da Gianfranco » ven ott 26, 2018 8:44 pm

Per ora non ci arrendiamo.
Concedici almeno altri 864\cdot10^6 millisecondi
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: La moneta da un p

Messaggio da panurgo » ven ott 26, 2018 10:41 pm

Era una battuta... :wink:
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Re: La moneta da un p

Messaggio da Pasquale » dom ott 28, 2018 3:35 am

Gianfranco, confido nei tuoi 10 giorni, per una verifica o smentita delle mie elucubrazioni.
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Re: La moneta da un p

Messaggio da franco » dom ott 28, 2018 12:50 pm

Non riesco a trovare una formula "pulita" per calcolare la probabilità P richiesta ma ho fatto qualche simulazione con excel.

Ho la sensazione che per p<0,5 risulti P=2p e per p>0,5 risulti P=2(1-p)

Ne verrebbe fuori una spezzata più che una curva ...
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