La formica

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Pasquale
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La formica

Messaggio da Pasquale » ven dic 23, 2005 4:26 pm

Una formica parte da un punto P del bordo inferiore di un cilindro di raggio R ed altezza H e deve compiere n giri completi intorno alla superficie del cilindro, per terminare la sua corsa all'altezza del bordo superiore, sulla verticale del punto di partenza, superando quindi un dislivello H.
Mostrare e dimostrare il percorso più breve possibile.
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Messaggio da delfo52 » ven dic 23, 2005 8:01 pm

n= zero
percorso verticale

per n diversi da zero, si raccomanda di camminare sulla superficie interna del cilindro, sperando che lo spessore delle pareti sia prossimo al semiraggio del cilindro stesso
Enrico

Pasquale
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Messaggio da Pasquale » sab dic 24, 2005 12:06 am

Enrì, penso che si voglia n diverso da 0, altrimenti che problema sarebbe?
In sostanza dovrebbe essere un percorso elicoidale: potrebbe essere un cerchio più l'altezza, oppure un'elica più o meno equidistribuita lungo l'altezza.
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delfo52
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Messaggio da delfo52 » sab dic 24, 2005 12:24 am

non vedo come potrebbe essere altrimenti;
immagino di tagliare il cilindro e di spianarlo in modo da ridurre la superficie (interna!) ad un rettangolo; facendo per comodità, coincidere il punto di partenza con vertice e quello d'arrivo ad un vertice adiacente. Il problema è collegare i due punti con una linea, o meglio una serie di linee corrispondenti ai giri compiuti dalla formica.
Di strategie possibili , a occhio, se ne possono ipotizzare due:
tutti i giri con uguale "pendenza", che siglnifica sommare n ipotenuse di n triangoli rettangoli con base uguale al perimetro del cilindro e altezza pari all'altezza/n ;
oppure (n-1) volte la base del rettangolo (= perimetro del cilindro) e una diagonalona (ipotenusa del triangolo avente base e altezza come cateti).
Da poche verifiche fatte a campione, risulta sempre vincente la strategia di equidistribuzione; il che è coerente ed intuitivo, collegandosi al concetto-teorema che in un triangolo un lato è sempre minore della somma degli altri due, e soprattutto all'esperienza di qualunque ciclista o podista della domenica che ben sa che il modo migliore di superare un dislivello èe quello di distribuire nel modo più equo il dislivello stesso.
Enrico

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Messaggio da Pasquale » sab dic 24, 2005 1:41 pm

D'accordo. Quindi: \sqrt {4\pi^2R^2+H^2}
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panurgo
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Messaggio da panurgo » sab dic 24, 2005 2:04 pm

Sembra che la disuguaglianza triangolare metta la parola fine sulla questione del percorso minimo, e invece ci sono ben 2^n percorsi minimi... :twisted:


P.S.: che la festa sia con voi!
il panurgo

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Ospite

Messaggio da Ospite » dom dic 25, 2005 10:34 pm

Vai avanti Pan, please.

Pasquale
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Messaggio da Pasquale » lun dic 26, 2005 7:23 pm

Cioè 2^n percorsi uguali? n quanto vale?
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Messaggio da panurgo » lun dic 26, 2005 8:09 pm

Scusatemi, ma le feste natalizie mi hanno portato in un luogo sconnesso e non ho potuto praticare il Foro.

Consideriamo lo sviluppo della superficie laterale del cilindro: un rettangolo. Il percorso della formica diviene una retta che congiunge vertici opposti del rettangolo

Immagine

Chiaramente, qualunque percorso diverso, sia esso una curva o una spezzata, è più lungo di quello rettilineo


Immagine

ma, nulla vieta di considerare il percorso a spirale nel verso opposto (l’altra diagonale del rettangolo)

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Prendiamo, per esempio, n = 4: ad ogni giro siamo liberi di scegliere quale delle due spirali seguire!

Immagine

Quindi, vi sono 2^n percorsi minimi, ciascuno lungo \sqrt {n^2 \left (2 \pi r \right )^2 + h^2}.

Al crescere di n la distanza percorsa tende a 2 n \pi r
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