La foresta intera

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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sixam
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La foresta intera

Messaggio da sixam » ven lug 12, 2019 4:07 pm

Data una foresta formata da n alberi (con n > 3), dimostrare che se presi 2 alberi a caso, la loro distanza è sempre un numero intero, allora tutti gli alberi sono sulla stessa retta.

Bye by SixaM 8-]

P.S. Il quesito non è mio, ma tratto da una raccolta cartacea che avevo anni fa. Ricordo vagamente la soluzione, che all'epoca mi lasciò abbastanza interdetto.
Bye by SixaM 8-]

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Bruno
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Re: La foresta intera

Messaggio da Bruno » ven lug 12, 2019 4:49 pm

Benvenuto, SixaM ;)

Temo (se non fraintendo) che il testo non sia corretto o comunque debba essere precisato.
Penso che questo veloce schema te lo possa dimostrare:

SixaM.jpg
SixaM.jpg (4.97 KiB) Visto 170 volte

dove i cinque alberi (punti) non sono sulla stessa retta...
Invisibile un vento
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sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
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Pasquale
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Re: La foresta intera

Messaggio da Pasquale » ven lug 12, 2019 7:47 pm

Già, occorreva precisare come condizione l'esclusione delle terne pitagoriche. Sarebbe stato quindi sufficiente formulare il quesito con una piccola variazione:

" data una foresta formata da n alberi (con n > 5), dimostrare che se presi 2 alberi a caso, la loro distanza è sempre un numero intero, allora tutti gli alberi sono sulla stessa retta.

Forse l'autore intendeva effettuare la suddetta precisazione e magari in una trascrizione si è scambiato il 5 con un 3.

In effetti, le simmetrie consentono distanze di misura intera fino a 5 punti opportunamente disposti, come ad esempio un rettangolo di lati 6 ed 8 con le diagonali tracciate.


(Così modificato e semplificato)
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Gianfranco
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Re: La foresta intera

Messaggio da Gianfranco » dom lug 14, 2019 4:22 pm

Benvenuto nel forum sixam!
sixam ha scritto:
ven lug 12, 2019 4:07 pm
Ricordo vagamente la soluzione, che all'epoca mi lasciò abbastanza interdetto.
Mi sembra che il seguente teorema di Anning-Erdos contraddica la congettura fatta nel problema:
Erdos_Anning.PNG
Erdos_Anning.PNG (13.75 KiB) Visto 145 volte
Se ne parla su BASE Cinque qui:
http://utenti.quipo.it/base5/erdos/Erdo ... tances.pdf
qui:
http://utenti.quipo.it/base5/geopiana/s ... st_int.htm
e in un'altra pagina non conclusa.
Qui sotto, per esempio, c'è una soluzione con sei punti.
ErdosAnning_6.gif
ErdosAnning_6.gif (11.06 KiB) Visto 145 volte
In conclusione, se la soluzione ti ha lasciato interdetto, eri nel vero, augh!

Sarebbe interessante ritrovare quella soluzione.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: La foresta intera

Messaggio da Bruno » lun lug 15, 2019 7:54 am

Bel colpo, Gianfranco :)
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Re: La foresta intera

Messaggio da sixam » lun lug 15, 2019 10:12 am

[x Pasquale] Hai ragione, mi sono accorto dopo che le terne pitagoriche dovevano essere escluse...

[x GianFranco] Non conoscevo il Teorema che hai citato. In effetti, il testo originale del problema (ripeto, l'ho letto anni fa) parlava di "...una foresta infinita...", ma pensavo fosse un'indicazione sostituibile con "n>3 alberi"...

Bye by SixaM 8-]

P.S. La soluzione originale, se non ricordo male, partiva considerando un fascio di iperboli...
Bye by SixaM 8-]

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Re: La foresta intera

Messaggio da Bruno » lun lug 15, 2019 11:02 am

Con le doverose precisazioni che hai appena fornito, SixaM, praticamente hai cambiato i connotati al problema iniziale - penso :wink:
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Re: La foresta intera

Messaggio da Gianfranco » lun lug 15, 2019 11:34 am

sixam ha scritto:
lun lug 15, 2019 10:12 am
...una foresta infinita...
Come ha notato Bruno, rientriamo correttamente nel teorema di Anning-Erdos, se si intende che la foresta contiene un numero infinito $\aleph_0$ di alberi.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: La foresta intera

Messaggio da sixam » lun lug 15, 2019 1:03 pm

Gianfranco ha scritto:
lun lug 15, 2019 11:34 am
[cut]
Come ha notato Bruno, rientriamo correttamente nel teorema di Anning-Erdos, se si intende che la foresta contiene un numero infinito $\aleph_0$ di alberi.
In effetti era questo il problema originale... ho scartabellato un po' in rete, e la dimostrazione usa le iperboli.
Col senno di poi, mi suona strano che come indovinello abbiano posto la dimostrazione di un teorema... un po' come se chiedessero "In un triangolo rettangolo, se i cateti sono 3 e 4, perchè l'ipotenusa è 5?"

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Re: La foresta intera

Messaggio da Gianfranco » lun lug 15, 2019 2:06 pm

Molti matematici, e Erdos è tra i primi in classifica, hanno risolto problemi che hanno il gusto della matematica ricreativa e che si possono riproporre "come nuovi". Sono sempre un ottimo esercizio per cercare nuove dimostrazioni, variazioni sul tema e collegamenti.
Se poi sono usati per dimostrare altri risultati matematici allora diventano teoremi "istituzionali" e magari ricevono un nome, tipo "il teorema di Pitagora".
Mi sembra riduttivo chiamrli "indovinelli".
Ogni problema di matematica è in realtà un teorema da dimostrare.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: La foresta intera

Messaggio da Bruno » lun lug 15, 2019 3:14 pm

Concordo pienamente con Gianfranco ;)
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