La fine di una lunghissima storia durata 382 anni

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La fine di una lunghissima storia durata 382 anni

Messaggio da modulocomplicato » mar set 17, 2019 6:56 pm

Nel mio solito stile sono lieto di anticiparvi una figura che mi ha richiesto anni di lavoro.

In pratica ho riscritto il teorema in una forma simmetrica, l'ho appiccicata su un piano cartesiano sotto la curva Y=2X^n e ne ho studiato la derivata prima in ottica di verificare se davvero esistesse un Delta+/- intero dispari... E ovviamente questo accade solo per n=2...

Immagine

Credo sia inutile fare dei commenti, se non che se la comprenderete a fondo sarà anche chiaro il motivo per cui a partire da n=3 non sono più possibilli soluzioni negli interi.

Ho camminato sul filo del rasoio per tanto tempo per cercare di tenere insieme famiglia lavoro e notti in bianco su sta roba... ora è giusto mettere la parola fine...


ciao
Stefano

Gianfranco
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Re: La fine di una lunghissima storia durata 382 anni

Messaggio da Gianfranco » mar set 17, 2019 8:21 pm

Ciao Stefano,
ti ringrazio per aver condiviso il tuo lungo lavoro in questo Forum.
Ogni tanto andavo a dare un'occhiata anche nella pagina http://www.maruelli.com/PRIME_STUDY.htm.
modulocomplicato ha scritto:
mar set 17, 2019 6:56 pm
Credo sia inutile fare dei commenti, se non che se la comprenderete a fondo sarà anche chiaro il motivo per cui a partire da n=3 non sono più possibilli soluzioni negli interi.
Ora è giusto riposarsi, ma quando ti sarai riposato, secondo me, qualche spiegazione in più servirebbe. Se hai già publlicato qualcosa, potresti inviarci i link, per favore?
Credo però che questo argomento sia al di sopra delle mie possibilità.
Buon riposo, per ora!
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

modulocomplicato
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Re: La fine di una lunghissima storia durata 382 anni

Messaggio da modulocomplicato » mar set 17, 2019 9:58 pm

Ciao Gianfranco,

In realtà, purtroppo, come sai una volta raggiunta la meta, cioè risolto il problema .... iniziano i guai... perchè per pubblicare serve un altro sacco di lavoro... ma dai il più è fatto...

La spiegazione è credo comprensibile a chiunque conosca un minimo di nozioni di calcolo, cioè cosa sia una derivata e come si faccia a "quadrare un'area sotto ad una curva con un integrale, o semplicemente con un rettangolo avente un'altezza media tale per cui il prodotto Base x Altezza restituisce la stessa area racchiusa sotto la curva.

Il punto di partenza è sempre la rivisitazione dell’ultimo Teorema di Fermat in forma simmetrica:

$C^n=A^n + B^n$

per la proprietà telescopica delle curve del tipo $Y=X^n$ possiamo anche scrivere:

$\sum_{1}^{C}(X^n-(X-1)^n)=\sum_{1}^{A}(X^n-(X-1)^n)+\sum_{1}^{B}(X^n-(X-1)^n)$

da cui raccogliendo A^n o B^n abbiamo:

$C^n=2 \sum_{1}^{A}(X^n-(X-1)^n)+\sum_{A+1}^{B}(X^n-(X-1)^n)$

$C^n=2 \sum_{1}^{B}(X^n-(X-1)^n)-\sum_{A+1}^{B}(X^n-(X-1)^n)$

Quindi chiamiamo:

$\Delta=\sum_{A+1}^{B}(X^n-(X-1)^n)$

Avendo usato X come indice anzichè il muto "i" è facile appendere tutto su un piano cartesiano...

Dove tracciamo la curva Y=2X^n, su cui sicuramente troveremo:

- in corrispondenza di $X=A$ l'altezza $2A^n$

- in corrispondenza di $X=B$ l'altezza $2B^n$

E per l'equazione di partenza a metà fra $2A^n$ e $2B^n$ troveremo l'altezza che ho chiamato $Y_F$ di Fermat, che sulla curva individua il punto di Fermat di coordinate (X_F,Y_F).

Ora è evidente la prima condizione: se $Y_F=C^n$ con $C\in\mathbb{N}$ allora necessariamente:

$X_F= \frac{C}{2^{1/n}}$

A questo punto la trappola è scattata.

Tracciamo la derivata di Y=2X^n (in figura per n=2)

E andiamo a vedere chi sono le due aree corrispondenti alle differenze di altezza di valore $\Delta$ distinguendo

$\Delta = \Delta+ = \Delta-$

Con semplici considerazioni sulla parità

$\Delta = \Delta+ = \Delta- = Dispari $

In particolare (dalla figura)

$\Delta+$ ha una base pari a $(\frac{C}{2^{1/n}}-A)$

e

$\Delta-$ ha una base pari a $(B - \frac{C}{2^{1/n}})$

Che se A,B,C sono interi sono sicuramente due valori irrazionali.

L'integrale fra i punti dati ci conferma che non abbiamo sbagliato nulla... ma nulla ci dice di più su chi sia in realtà $\Delta$ in quanto l'integrale non ha problemi a trattare gli irrazionali.

Ma con una semplice considerazione sappiamo anche che l'area di $\Delta+$ e $\Delta-$ sarà uguale a quella dei rettangoli aventi stesse Basi note e un certa altezza media $X_{m+}$ e $X_{m-}$

Quindi l'Altezza Media $X_{m+}$ della derivata prima di $Y=2X^n$ fra $A$ e $\frac{C}{2^{1/n}})$ deve essere tale per cui

IL PRODOTTO BASE X ALTEZZA SI RAZIONALIZZA RESTITUENDO L'INTERO DISPARI $\Delta$

La magia è fatta: per $n=2$ la derivata prima è rettilinea e l'Altezza media si trova a metà della base e produce (con opportuni A,B,C) esattamente il termine irrazionale che serve a razionalizzare il prodotto...

Quindi:

The solution of the equation: $ \Delta^+ = \Delta^- $ comes since we can also write $\Delta+$ as the rectangle having:

For $\Delta^+$

\[\tag{12} Base_{\Delta+}= \frac{C}{2^{1/2}} - A \]

and medium height equal to:

\[\tag{13} h = 2*n*X_{m+} ^{n-1} \]

\[\tag{14} X_{m+} = X_{MP+} =\left(\frac{C}{2^{1/2}} + A\right ) / 2 \]

In similar way for $\Delta^-$


And we discover is not necessary to solve the equation $\Delta+=\Delta-$, but just to check if the Area $\Delta$ defined in this way is an integer or not. We can for so write $\Delta+$ as the rectangle:

\[\tag{15} \Delta= Base* height \]

so from the (12) and (13) we immediately have:

\[\tag{16} \Delta^+= \left(\frac{C}{2^{1/2}} - A\right )* 2*n* { \left(\frac{C}{2^{1/2}} + A\right ) / 2 } \]


where we can see that the Product RAZIONALIZE the Area of $\Delta^+$


In the picture the example $A=3$, $B=4$, $C=5$ :

\[ \tag{17} \Delta^+= [(5/\sqrt2) - 3] 2*2* [(5/\sqrt2) + 3) / 2] = [(5/\sqrt2) - 3] 2* [(5/\sqrt2) + 3) ] \]


\[ \tag{17a} \Delta^+ = 25 -\frac{15}{\sqrt2} -18 + \frac{15}{\sqrt2} = 7 \]

And in the same way:

\[\tag{18} \Delta^-= \left(B - \frac{C}{2^{1/2}}\right ) * n* \left( B + \frac{C}{2^{1/2}} \right ) \]


\[\tag{18a} \Delta^-= 32 + \frac{20}{\sqrt2}- 25-\frac{20}{\sqrt2} = 7 \]

Ora, se $n=3$ il porblema è esattamente sistemato allo stesso sul piano Cartesiano, con la sola differenza che la Derivata prima di $Y=2X^n$ è $Y'=6X^2$ che è una curva.

Quindi sappiamo solo che la sua altezza media sarà un punto sulla derivata avente ordinata $Y=h_{m+}=6X_{m+}^2$

MA, fregatura, o meglio sorpresa...

La base questa volta è:

$\Delta+$ ha una base pari a $(\frac{C}{2^{1/3}}-A)$

e

$\Delta-$ ha una base pari a $(B - \frac{C}{2^{1/3}})$

E QUINDI AVENDO A DISPOSIZIONE SOLO UN ALTRO TERMINE PER RAZIONALIZZARE

ED ESSENDO QUESTO UN BINOMIO DIPENDENTE DAL QUADRATO

NON E' POSSIBILE CHE POSSA RAZIONALIZZARE IL PRIMO TERMINE A CAUSA DEI PRODOTTI MISTI GENERATI DURANTE LO SVILUPPO DEL QUADRATO DEL BINOMIO...

More in general we can write:

\[ \Delta+ = \Delta- \in\mathbb{N^+} = Odd \]

with:

\[ \left(\left(\frac{C}{2^{1/n}}\right) - A\right) * 2 n *X_{m+}^{n-1} =\Delta+ \]


And:

\[ \left(B- \left(\frac{C}{2^{1/n}}\right) \right) * 2 n *X_{m-}^{n-1} =\Delta- \]

Quindi all'equazione:

\[ \left(\left(\frac{C}{2^{1/n}}\right) - A\right) * 2 n *X_{m+}^{n-1} = \left(B- \left(\frac{C}{2^{1/n}}\right) \right) * 2 n *X_{m-}^{n-1} \]

per n>2 succederà sempre che spariscono i termini $(2C^n-2A^n-2B^n)$ e resteranno da ambo i lati prodotti misti con coefficienti irrazionali di vario grado,

QUINDI NON RAZONALIZZABILI

E se proprio ancora volessimo cavillare sostituiamo ad esempio X a C e grazie al noto teorema chiudiamo la dimostrazione...

Semplicemente meravigliosa... sepolta sotto tutto quello che Fermat ci ha insegnato...

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Re: La fine di una lunghissima storia durata 382 anni

Messaggio da modulocomplicato » lun set 30, 2019 2:23 pm

Speravo in qualche commento... pazienza...

La soluzione finale richiede ancora un paio di forumulette se a qualcuno interessano vedrò di completare il post,

Grazie
Ciao !

Bruno
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Re: La fine di una lunghissima storia durata 382 anni

Messaggio da Bruno » lun set 30, 2019 3:08 pm

Stefano, buon pomeriggio.

Sto leggendo, fra gruppi di fb e forum, parecchi tuoi interventi su questo tuo studio, si vede che l'argomento ti sta a cuore.

Hai provato a scrivere a qualche rivista matematica? O a creare un articolo per arxiv o simili siti?
Così magari inserisci il link al documento completo e ognuno si muove come riesce.

Frammentare l'esposizione di un argomento (o ritagliarne alcune parti) può non agevolarne la comprensione, secondo me.

Inoltre, per raggiungere il cuore di certe trattazioni serve tempo, a volte molto tempo.

Buon lavoro.
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
(Biagio Marin)

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Re: La fine di una lunghissima storia durata 382 anni

Messaggio da modulocomplicato » mer ott 02, 2019 5:27 pm

Ciao,

Arxiv chiede l'endorsement, sto stalkerando alcuni amici prof. del Politecnico di Torino...

Come puoi immaginare credere che il signor nessuno possa aver risolto una grana così grossa... è dura... Vedrem... Intanto rilleggo, correggo e studio...

Quì sotto la conclusione corretta per n=3:

Immagine

Immagine

Immagine

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Now we have just to see if the equality:

\[\tag{30} X_{m+} = X_{m,F} \]

will hold, or not. To be short, keeping the equation already written:

\[\tag{31} 3X_{m+}^2 = 3X_{m,F}^2 \]

\[\tag{31a} \frac{C^2+2^{1/3}AC+2^{2/3}A^2 }{2^{2/3}} =? {2^{1/3}}(C^2+2^{2/3}A^2+2^{1/3}AC) \]

\[\tag{31b} \frac{C^2+2^{1/3}AC+2^{2/3}A^2 }{2^{2/3}} ={2^{1/3}}C^2+2A^2+2^{2/3}AC) \]

\[\tag{31c} C^2+{2^{1/3}}AC+A^2 =? {2}C^2+2^{5/3}A^2+2^{4/3}AC \]

\[\tag{31d} -C^2 =? A^2(2^{5/3}- 1) +2AC \]

That is clearly FALSE for any $C>A>0$ so Fermat is Right, since for higher $n$ the curved derivate will continue to produce the same result: $X_{m+} \neq X_{m,F} $

In the same way one can perform the check on $\Delta-$.

We finally note that on a numerical example we can see that:

\[ \frac{7} {2^{1/3}} > X_{F,(A=5,B=6)} \]

so that $\frac{C}{2^{1/n}}$ is too big to satisfy FLT equation from $n=3$.

Se qulcuno ha voglia di controllare...

Thanks
Ciao
Stefano

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