Quali sono le due cifre finali del numero $\displaystyle \; 19+\sum_{h=0}^{19^{\tiny 3}} 19^{\tiny h} \;$ e perché?

(Bruno)

Sembrerebbe che le cifre finali siano proprio 1 e 9.
Comincio con l'osservare che ogni potenza ad esponente pari di 19
termina con 1 .Infatti:
$19 \equiv -1 (mod 10)$ da cui $19^{2k} \equiv 1 (mod 10)$
Ne segue che la somma di due potenze consecutive di 19
(di cui la prima ad esponente pari) termina con 20 perche' si ha:
$19^{2k}+19^{2k+1}=19^{2k}\cdot 20$
Pertanto la somma di 10 potenze consecutive di 19 ( di cui la prima
sempre con esponente pari ) terminera' con 00. Ora le potenze
consecutive di 19 dall'esponente 0 fino all'esponente 19^3 sono
in numero di 19^3+1=6860 e con esse si potranno formare,a partire da 19^0=1,
686 gruppi di 10 potenze consecutive di 19 la cui somma,come detto,termina
con 00.In definitiva la somma $\sum_{h=0}^{19^3}19^h$
terminera' anch'essa con 00 e cio' prova l'assunto (almeno spero!!).
Leandro

...

...come "almeno spero" ?
Credo proprio che il tuo ragionamento non faccia una grinza
BRAVO Leandro!

Altri metodi?

...

A me è venuta questa idea.
Innanzitutto ho determinato la somma indicata. Trattandosi di una
progressione geometrica, trovo ($\small 19^{\tiny 3}= 6859$):

$19+\sum_{h=0}^{19^{\tiny 3}} 19^{\tiny h} = 19+\frac{19^{\small 6860}-1}{18}$.

A questo punto ho cercato di vedere come si potesse esprimere
$\small 19^{\tiny 6860} \,$ in funzione di 18.
Poiché 19=18+1, qualsiasi potenza di 19 segue sempre di un'unità
un multiplo di 18, essendo in generale:

$\small (m\cdot a+s)(m \cdot b+s)=m\cdot [m\cdot ab+s\cdot(a+b)]+s^{\tiny 2}$,

il cui caso particolare $\small \, (18\cdot a+1)(18 \cdot b+1)=18\cdot [18\cdot ab+a+b]+1 \,$ verifica
immediatamente quanto detto.

(Grazie a questi semplici fatti, ho intrapreso una via alternativa rispetto
alle imbattibili congruenze e senza ricorrere direttamente allo sviluppo
binomiale di Newton.)

Quindi ho scoperto che ogni potenza del tipo $\, 19^{\small 10r} \,$ segue sempre
di un'unità un multiplo di 1800. Infatti, tenendo presenti le identità
appena scritte, abbiamo che:

$\small (18+1)^2 = 180\cdot 2+1 \\ (18+1)^4 = 180\cdot 2 \cdot(180\cdot 2+2)+1 \\ (18+1)^8 = 180\cdot 2\cdot (180\cdot 2+2)\cdot [180\cdot 2\cdot (180\cdot 2+2)+2]+1 = 180\cdot 2\cdot (180\cdot 2\cdot h+4)+1$

per un certo $\small \, h \,$.
Pertanto:

$\small (18+1)^{10} = (180\cdot 2+1)\cdot [180\cdot 2\cdot (180\cdot 2\cdot h+4)+1]=180\cdot 2\cdot [180\cdot 2\cdot (180\cdot 2\cdot h+4)+180\cdot2\cdot h +5]+1 = 180\cdot 2 \cdot 5\cdot k+1$

per un certo $\small \, k \,$. Nell'ultimo membro scritto, così, troviamo proprio un
multiplo di $\small \, 1800$.
Dunque, anche:

$19^{\small 10r}-1\,$ è un multiplo di $\, 1800$.

Ma allora:

$19+\frac{19^{\small 6860}-1}{18} = 19+100q$

e perciò termina proprio con 1 e 9.


Bruno