La bilancia senza pesi

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fabtor
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La bilancia senza pesi

Messaggio da fabtor » ven set 23, 2016 7:53 am

Vi propongo questo problema classico perché l'ho trovato esposto più volte per la rete, ma se pur corrette mai con una soluzione soddisfacente (almeno per le mie limitate capacità matematiche), infatti le soluzioni proposte davano sempre il risultato dimostrando a posteriori che erano corrette, ma senza mai dire come si arriva a tale soluzione (io l'ho trovata per tentativi con un metodo mooolto poco rigoroso).

Eccolo:
Questa volta avete invece a disposizione una tradizionale bilancia a due
piatti, ma ... vi mancano i pesi. Avete solo una sbarra metallica
omogenea, con sezione costante, di cui conoscete il peso (40 grammi) e
una sega.

La sbarra deve essere suddivisa in quattro parti con tre tagli in modo
che tali parti, combinate fra loro in maniera opportuna sui piatti della
bilancia, permettano di utilizzare la bilancia stessa per pesare qualunque
oggetto con la precisione del grammo fino alla portata massima di 40 g.
Siete in grado di stabilire con quale criterio devono essere eseguiti i tre
tagli ?

Grazie per l'aiuto.
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: |e^{-i\pi}|...

Pongo y = x^{2} quindi y=\frac {x^{2}}{pongo}
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Alessandro
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Re: La bilancia senza pesi

Messaggio da Alessandro » sab set 24, 2016 9:01 am

Traccia di una soluzione

Per ognuna delle 4 parti della sbarra ci sono 3 casi possibili:
la metto sul primo piatto della bilancia, la metto sul secondo piatto, non la metto in nessuno dei due piatti.

Considerato chei casi limiti sono:
tutti i 4 pezzi sullo stesso piatto dell'oggetto da pesare = - 40 grammi
tutti i 4 pezzi sull'altro piatto dell'oggetto da pesare = + 40 grammi
tutti i 4 pezzi fuori dai piatti della bilancia = 0 grammi

Totale = 81 casi possibili e considerando che 3^4 = 81 ................... .....e considerata la numerazione in base 3

( Notare che: 1+3+9+27=40 )

panurgo
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Re: La bilancia senza pesi

Messaggio da panurgo » sab set 24, 2016 10:37 am

Alessandro ha scritto:Totale = 81 casi possibili e considerando che 3^4 = 81 ................... .....e considerata la numerazione in base 3

( Notare che: 1+3+9+27=40 )
Il problema matematico è quello di rappresentare i numeri da $1$ a $40$ come somma o differenza di al più quattro numeri.
Da un punto di vista teorico, la scelta di una base numerica è invintante: in $\text{base }2$ quattro numeri non sono sufficienti quindi rappresentiamo i numeri in $\text{base }3$

$\begin{array}{rrrr|rC}
27 & 9 & 3 & 1 & n \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 2 & 5 \\
0 & 0 & 2 & 0 & 6 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 7 \\
0 & 0 & 2 & 2 & 8 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & 1 & 40 \\
1 & 1 & 1 & 2 & 41
\end{array}$

Ma noi abbiamo un solo esemplare per ciascun peso quindi, procedendo da destra verso sinistra, se in una riga incontriamo un $2$ lo sostituiamo con un $-1$ (cioè mettiamo il peso sull'altro piatto) e sommiamo $1$ alla colonna successiva; tale colonna conterrà adesso $1$, $2$ o $3$: se è $1$ bene così, se è $2$ fare come sopra e se è $3$ scrivere $0$ e aggiungere $1$ alla colonna successiva.

La nostra tabella diventa

$\begin{array}{rrrr|rC}
27 & 9 & 3 & 1 & n \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 4 \\
0 & 1 & -1 & -1 & 5 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 6 \\
0 & 1 & -1 & 1 & 7 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 8 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & 1 & 40 \\
\cdots -1 & -1 & -1 & -1 & 41
\end{array}$

Evidentemente $41$ necessita del peso da $81$ e $40$ (la somma dei quattro pesi) è il valore massimo.

Suddivido la tabella in modo da rendere evidente il meccanismo

$\begin{array}{rrrr|rC}
27 & 9 & 3 & 1 & n \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\hline
0 & 0 & 1 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 4 \\
\hline \\ \hline
0 & 1 & -1 & -1 & 5 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 6 \\
0 & 1 & -1 & 1 & 7 \\
\hline
0 & 1 & 0 & -1 & 8 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 9 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 10 \\
\hline
0 & 1 & 1 & -1 & 11 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 12 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 13 \\
\hline \\ \hline
1 & -1 & -1 & -1 & 14 \\
1 & -1 & -1 & 0 & 15 \\
1 & -1 & -1 & 1 & 16 \\
\hline
1 & -1 & 0 & -1 & 17 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & 1 & 40 \\
\end{array}$

Per poter fare lo stesso scherzo in $\text{base }5$ dovremmo consentire due esemplari per ciascun peso :wink:
Ultima modifica di panurgo il sab set 24, 2016 10:56 am, modificato 1 volta in totale.
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Re: La bilancia senza pesi

Messaggio da fabtor » sab set 24, 2016 10:56 am

Alessandro, Il mio problema è come arrivare giustificare l'utilizzo delle potenze di 3 una volta messo in chiaro che le parti da tagliare devono essere proporzionali tra loro (cosa deducibile dal testo del problema: Intuitivamente avevo notato che 3^0 + 3^1 +3^2 + 3^3 = 40 e usandolo come dato ho risolto il problema.

Il fatto che come giustificazione non ho trovato nulla di meglio che fare una tabella dove prima sommavo 4 numeri a proporzionalità doppia l'uno rispetto all'altra partendo dall'unità (visto che la sensibilità doveva essere al grammo) poi sono passato alla tripla e alla quadrupla mettendo in evidenza che alcune somme maggioravano il 40 (anche prima del quarto addendo) ed altre non lo raggiungevano così da dimostrare che una proporzionalità lineare non era quella cercata.

Quindi sono passato ad una proporzionalità "ordinata mista" (il secondo doppio del primo, il terzo triplo del secondo etc) ma questo è stato barare perchè sapendo cosa dovevo trovare (le potenze di 3) ho aggiunto una sequenza tra quelle lineari e quelle esponenziali che sapevo essere "intermedia".

Infine sono passato agli esponenziali del 1 (banale) del 2 e del 3 trovando ciò che sapevo che avrei trovato. A quel punto il gioco è stato facile ... ma fa schifo!!!

E vorrei "fare a meno" della mia intuizione iniziale trovando una procedura rigorosa e non quella boiata che ho improvvisato per "tentativi a posteriori" che fa acqua da tutte le parti, altrimenti il problema rimane risolvibile o per intuizione o per preconoscenza del fatto che il peso della sbarra era guarda caso pari alla somma delle prime 4 potenze di 3 che "sempre guarda caso" corrisponde al numero delle parti in cui tagliare la sbarra, altrimenti cambiando i numeri tanti saluti...
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Re: La bilancia senza pesi

Messaggio da panurgo » sab set 24, 2016 11:06 am

Nel frattempo ho lievemente modificato la mia risposta.

La scelta di una base numerica per rappresentare i numeri viene naturale: serve a questo.

La $\text{base }3$ può essere usata con i coefficienti $\left\{0,1,2\right\}$ o $\left\{-1,0,1\right\}$ (due modi di considerare il resto modulo $3$): nel primo caso, con quattro cifre, rappresentiamo i numeri da $0$ a $80$, nel secondo rappresentiamo i numeri da $-40$ a $40$.
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Re: La bilancia senza pesi

Messaggio da fabtor » sab set 24, 2016 11:14 am

Panurgo, grazie mille, tuttavia c'è sempre quel "dal punto di vista teorico è invitante"... che trovo difficile giustificare in una scuola media (il problema "l'hanno venduto" come "ricreazione matematica" per elementari e medie, ma quando ho verificato il risultato ho dovuto constatare che nelle soluzioni veniva sempre data per scontata che la somma 1 +3 +9 + 27 = 40 e ciò mi piace poco, anzi non mi piace affatto.
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Re: La bilancia senza pesi

Messaggio da panurgo » sab set 24, 2016 11:47 am

Questo problema si trova anche in uno dei libri di Martin Gardner. Potrebbe essere abbinato ad una unità didattica sulle basi numeriche.

Considera anche che il sistema inglese delle libbre e delle once (1 lb = 16 oz, per saperne di più vedere qui) è fatto per essere usato in con una bilancia a due piatti in modo binario
AntiqueCastIronGrocersScalesAndWeights_512x400.jpg
AntiqueCastIronGrocersScalesAndWeights_512x400.jpg (39.23 KiB) Visto 1801 volte
cosa che offre la possibilità di interessanti collegamenti.
Ultima modifica di panurgo il sab set 24, 2016 4:24 pm, modificato 1 volta in totale.
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Re: La bilancia senza pesi

Messaggio da fabtor » sab set 24, 2016 1:25 pm

Ci penserò su, ma prima vorrei riuscire a generalizzarlo senza far piovere dall'alto le potenze di 3 e senza scomodare la combinatoria. ;)
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Pasquale
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Re: La bilancia senza pesi

Messaggio da Pasquale » mer set 28, 2016 5:45 pm

Mi pare che non vi sia altra soluzione puramente matematica, ma da un punto di vista pratico il quesito mette a disposizione solo una sbarra metallica da 40 gr. ed una sega.
I problemi sono due: come arrivare alla soluzione matematica, come a quella "artigianale".
Per la parte "artigianale", occorre osservare che la limatura generata col taglio della sbarra rappresenta un elemento di imprecisione nelle pesate e di questo fattore vorrei approfittare, poiché nulla si dice a tal proposito.
Visto che i 4 pezzetti di sbarra devono servire a misurare il peso (approssimativo) di qualsiasi oggetto da 1 a 40 gr., il problema si risolve nella possibilità di riuscire a segare in prima battuta un pezzetto di sbarra "approssimativamente" da 1gr. Fatto questo, gli altri pezzi da 3, 9 e 27 gr. si ottengono per confronto con il pezzo da 1 gr. e successivamente con i pezzi di misura maggiore.
E' evidente che se tutto deve servire a pesare qualcosa, prima di tutto vado a pesare quello che mi pare ed in particolare una riga millimetrata fatta di materiale più leggero della sbarra metallica, in modo che risulti più lunga di questa.
Non importa quanto risulti pesante la riga, ma la pesata mi serve per metterla in gioco: una volta pesata, ne dispongo e sarei stupido se non la usassi.
Poniamo ora ad esempio che la sbarra sia lunga 200mm, allora con la mia riga e con la sega vado a segare 200/40 = 5mm di sbarra, pari a 1 gr. Successivamente taglio a 15mm e ottengo 3gr.; poi a 45mm per ottenere un pezzo da 9gr. e quello che resta sarà lungo 135mm con un peso di 27 gr.
Appare evidente che se la sbarra fosse stata lunga ad esempio 220mm, un pezzo di sbarra da 1grammo sarebbe stato lungo 5,5 mm, e la precisione ne avrebbe sofferto di più.
Questo per restare nel campo concreto e non teorico, altrimenti non vedo come si possa giungere alla soluzione pratica del problema.
Occorre individuare un sistema per tagliare un pezzo di sbarra da 1 gr. e penso che nel quesito abbiano dimenticato di mettere a disposizione un idoneo strumento di misura, oltre la bilancia.
Per la parte matematica è stato già detto e....bisognava pensarci.
Il quesito avrebbe potuto essere "come ottenere tutti i numeri da 1 a 40, utilizzando 4 numeri, tutti o in parte, presi ciascuno una sola volta per ogni operazione, essendo ammesse solo somme e/o sottrazioni".
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Re: La bilancia senza pesi

Messaggio da infinito » gio ott 06, 2016 6:07 am

Io ragionerei (ho ragionato) così (che è poi quello suggerito da Pasquale nella sua ultima frase):
se devo pesare un corpo da 1 grammo, ho bisogno o di un pezzo di sbarra da 1 g, oppure di due la cui differenza è 1g.
“Ovviamente” opto per 1 pezzo da 1g (è ovvio anche per le scuole medie).

Dopo di che, se devo pesare un corpo da 2 g. posso operare in diversi modi:
- ho anche un altro pezzo da 1g, e ne faccio la somma (li metto sullo stesso piatto),
- ho un pezzo da 2 g,
- ho un pezzo da 3g e ne faccio la differenza (li metto su due piatti diversi),
- altre alternative non interessanti.
Anche qui mi pare ovvio (se voglio avere pochi pezzi) che la scelta non può che cadere sul pezzo di 3g.
Per ora arrivo ai seguenti pesi: 1g, 2g (3-1), 3g, 4g (3+1).
Con ragionamento analogo capisco che per avere pochi pezzi, cerco di avere i pezzi più pesi, per cui il prossimo pezzo da avere è quello con cui misuro per differenza.
Cioè devo pesare anche un corpo di 5g, avendo già a disposizione 4g, per cui ho bisogno di un pezzo che pesa 5g+4g=9g.
Con questo ottengo di misurare pesi di 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g, 10g, 11g, 12g, 13g (9+3+1).
Per misurare il prossimo , cioè 14g, avrei bisogno di un pezzo da 27g=14g+13g (la somma dei pesi che già ho), ed è proprio quello che resterebbe dalla sbarra, se non fosse vero quello che ha detto Pasquale.

Spero che questo sia quello che chiedeva fabtor.




Per Pasquale (ricambio il saluto dell’altro post)
È vero che la limatura di ferro fa diminuire il peso (medio) delle varie parti, ma potrebbe essere una risorsa in più, basterebbe poterne disporre, cioè potrei avere le quattro parti della sbarra E IN PIÙ la limatura di ferro (o meglio “di metallo”, poché non si dice di che metallo è fatta la sbarra).
Purtroppo il testo richiede che la sbarra sia divisa in solo 4 parti, per cui non è lecito operare così.

Allora io opterei per questa soluzione:
supponiamo che la sega sia una troncatrice, che abbia il disco con i denti in Widia, che questi abbiano una larghezza nota, che il taglio sia “perfetto” e che possa raccogliere tutta la limatura e la “polvere” che si genera dal taglio (cioè che non si perda niente per consumo); inoltre supponiamo che la precisione di tutte le operazioni sia almeno dell’ordine del decimo di grammo (per ottenere una precisione finale dell’ordine del grammo).
Allora si farà il primo taglio a 1/40 della lunghezza della sbarra, includendo la parte mangiata dalla lama nella dei 39/40 (cioè, se, per esempio, la lama fosse larga 2mm, allora il pezzo più lungo sarebbe 39/40 della lunghezza, meno 2 mm).
Il secondo taglio porterebbe ad un pezzo effettivamente lungo ¾ della lunghezza, ed il terzo taglio a due pezzi, uno lungo 9/40 e l’altro lungo “27/40 la lunghezza iniziale della sbarra meno 3 volte la larghezza della lama”.

E le 4 parti in cui si è suddivisa la lama saranno quindi:
un pezzo di sbarra lungo 1/40 della lunghezza iniziale,
un pezzo di sbarra lungo 3/40 della lunghezza iniziale,
un pezzo di sbarra lungo 9/40 della lunghezza iniziale,
una parte costituita da un pezzo di sbarra e dalla limatura “di ferro” prodotta dalla sega.

Credo che per proporre questo problema sarebbe opportuno o dire che la limatura di ferro è prodotta in quantità trascurabile (cosa che in pratica non è vera),
oppure cambiare leggermente il testo, da
«Avete solo una sbarra metallica omogenea, con sezione costante, di cui conoscete il peso (40 grammi) e una sega»
a
«Avete solo un nastro (omogeneo) di ferro, con sezione costante, di cui conoscete il peso (40 grammi) e una cesoia (o “delle forbici”), che non produce residui».
Gaspero

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