La bacchetta spezzata

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franco
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La bacchetta spezzata

Messaggio da franco »

Problema "a 4 stelle", per chi si vuole cimentare:

Una bacchetta di lunghezza unitaria si è rotta accidentalmente in 4 pezzi (i punti di rottura sono distribuiti sulla lunghezza in modo totalmente casuale).

a) Qual è la probabilità di poter formare un quadrilatero con i 4 pezzi?
b) Qual è la probabilità di poter formare un triangolo con 3 pezzi presi a caso?
c) Qual è la probabilità di poter formare un triangolo se invece i 3 pezzi li scegliamo bene?
d) Generalizzare la soluzione alla prima domanda per rottura della bacchetta in N pezzi e formazione di un poligono di N lati.

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Franco

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Pasquale
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Re: La bacchetta spezzata

Messaggio da Pasquale »

Per il quesito b), la simulation dice 50% , mentre per il quesito a) sale al 75%, ma al crescere di n decresce la percentuale : 68,8 per il pentagono, 62,5 per l'esagono, 50,5 per il dodecagono, poco più del 50% per 16 lati...un andamento decrescente al rallentatore, di natura molto probabilmente asintotica. Il tutto, salvo errori di impostazione delle simulazioni.
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panurgo
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Re: La bacchetta spezzata

Messaggio da panurgo »

Ho come l'impressione che abbiamo già parlato di qualcosa di simile. Comunque,

Una bacchetta di lunghezza unitaria si è rotta accidentalmente in $n$ pezzi (i punti di rottura sono distribuiti sulla lunghezza in modo totalmente casuale)

va letto come

Sono dati $n$ numeri reali tali che $\sum_i x_i = 1$: assegnare una probabilità alla proposizione $\text{A}\equiv\text{"Gli }n\text{ numeri reali sono le lunghezze dei lati di un poligono"}$.

Messa in questo modo non ci sono dubbi: tutti gli $n$ numeri devono essere considerati equivalenti e l'unica cosa che sappiamo per certo è che ognuno di essi è positivo e minore di $1$. Assegniamo dunque una distribuzione indipendente e uniforme tra $0$ e $1$ a ciascuno dei numeri in base al Principio di Indifferenza.

La condizione per cui i numeri possano essere le lunghezze dei lati di un poligono è che nessun numero sia maggiore della somma di tutti gli altri; viceversa, se un numero (e, ovviamente, uno solo) è maggiore della somma di tutti gli altri allora i numeri non possono essere le lunghezze dei lati di un poligono: se cioè $x_k>\sum_{i\neq k} x_i=1-x_k\quad\Longrightarrow\quad x_k>\frac12$

Gli $n$ numeri reali possono essere visti come le coordinate di un punto in uno spazio $n$-dimensionale; il vincolo $\sum_i x_i = 1$ implica che il punto sta in un sottospazio $\left(n-1\right)$-dimensionale poiché solo $n-1$ coordinate possono variare indipendentemente: il volume del sottospazio che contiene il punto è quella parte del sottospazio stesso per cui tutte le coordinate sono positive.

Per chiarirci consideriamo il caso $n=3$: dato che sono solo tre, chiameremo le coordinate $x$, $y$ e $z$. Il sottospazio che ci interessa è il piano che passa per i punti $\left(1,0,0\right)$, $\left(0,1,0\right)$ e $\left(0,0,1\right)$
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e il volume che ci interessa è l'area (un volume bidimensionale) del triangolo equilatero in figura.

Il piano $x=\frac12$ divide il sottospazio in due parti: nella parte dietro il piano è $x<\frac12$, in quella davanti al piano è $x>\frac12$

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un risultato analogo producono, per la $y$, il piano $y=\frac12$
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e, per la $z$, il piano $z=\frac12$
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Riassumendo, ognuna delle regioni del sottospazio in cui una delle coordinate è maggiore di $\frac12$
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ha tutte le dimensioni che sono metà di quelle del sottospazio totale quindi il suo volume è $\left(\frac12\right)^{n-1}$: di queste regioni ve ne sono evidentemente una per ogni dimensione, quindi $n$. Ne consegue che il volume del sottospazio nel quale gli $n$ numeri reali non sono le lunghezze di un poligono è $\frac{n}{2^{n-1}}$ del volume totale.

Assegneremo dunque la probabilità $\Pr\left(\text{A}\middle|n\land\top\right)=1-\frac{n}{2^{n-1}}$, e questo risponde alla domanda d). Per a) basta porre $n=4$ e $\Pr\left(\text{A}\middle|n=4\land\top\right)=1-\frac{4}{2^3}=\frac12$; per b), scegliere tre pezzi a caso è come scartare un pezzo a caso e ci ritroviamo con una bacchetta più corta che si è rotta accidentalmente in tre pezzi, cioè $n=3$ e $\Pr\left(\text{A}\middle|n=3\land\top\right)=1-\frac{3}{2^2}=\frac14$.

La domanda che alza il numero nelle stelle oltre l'uno è c): ci penso un po' su... :wink:
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

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