L'ultima cifra della quinta potenza

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Gianfranco
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L'ultima cifra della quinta potenza

Messaggio da Gianfranco »

Ecco alcuni numeri interi elevati alla quinta potenza.
$1^5=1 $
$2^5= 32 $
$3^5= 243$
$4^5= 1024$
$5^5= 3125$

Sia $n$ un numero intero.
Dimostrate che l'ultima cifra di $n$ è uguale all'ultima cifra di $n^5$.
---
Per "ultima cifra" si intende la cifra delle unità.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Bruno
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Re: L'ultima cifra della quinta potenza

Messaggio da Bruno »

D’emblée.
La questione può ricondursi a dimostrare che n·(n² - 1)·(n² + 1) è divisibile per 10, cioè sia per 2 che per 5.
Questa espressione, sicuramente, è divisibile per 2.
Ma vediamo che essa è anche divisibile per 5; infatti:
. se lo è n, non c'è niente da aggiungere;
. se n non lo è, invece, significa che n = 5·k ± 1 oppure n = 5·k ± 3: nel primo caso n² - 1 è un multiplo di 5, nell'altro caso lo è n² + 1.
(Bruno)

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Gianfranco
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Re: L'ultima cifra della quinta potenza

Messaggio da Gianfranco »

Bruno, esatto! :D
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Bruno
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Re: L'ultima cifra della quinta potenza

Messaggio da Bruno »

Similmente (e questa è una proprietà carina), si può pure dimostrare che nᵗ ed n terminano con la stessa cifra quando t = 4·h +1.
(Bruno)

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panurgo
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Re: L'ultima cifra della quinta potenza

Messaggio da panurgo »

Io partirei dal fatto che $n^k=\left(10q+r\right)^k=\sum_{i=0}^k \left(10q\right)^{n-k} r^k = 10Q +r^k$ e quindi $n^k\equiv r^k\;\left(\text{mod}\;10\right)$. Ciò detto, completiamo la tabella delle quinte potenze dei resti $\left(\text{mod}\;10\right)$

$\begin{array}{lC}
0^5=0 \\
1^5=1 \\
2^5=32 \\
3^5=243 \\
4^5=1024 \\
5^5=3125 \\
6^5=7776 \\
7^5=16807 \\
8^5=32768 \\
9^5=59049
\end{array}$

et voilà! :wink:
il panurgo

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Re: L'ultima cifra della quinta potenza

Messaggio da Admin »

Gianfranco ha scritto:
gio mar 05, 2020 3:19 pm
Sia n un numero intero.
Dimostrate che l'ultima cifra di $n$ è uguale all'ultima cifra di $n^5$.
L'ultima cifra di un intero $n$ ci è data dal resto della sua divisione per $10$.
Si tratta quindi di dimostrare che

$ n^5 \equiv n \pmod{10} \qquad\Rightarrow\qquad n^5 - n \equiv 0 \pmod{10} $

ossia che $n^5-n$ è divisibile sia per $2$ che per $5$.

Divisibilità per $2$
Possiamo notare che $n^5-n$, essendo differenza o di due pari, o di due dispari, è sempre un numero pari, ossia divisibile per $2$.

Divisibilità per $5$
Si tratta di dimostrare che

$ n^5 \equiv n \pmod{5} $

Cio' è vero per il piccolo teorema di Fermat, il quale ci dice proprio che $n^p \equiv n \pmod{p}$ se $p$ è primo.

Bruno ha scritto:
gio mar 05, 2020 4:28 pm
Similmente (e questa è una proprietà carina), si può pure dimostrare che nᵗ ed n terminano con la stessa cifra quando t = 4·h +1.
Analogamente al ragionamento fatto sopra, va dimostrato che

$n^t-n \equiv 0 \pmod{10}$

con $t = 4h+1$

Divisibilità per $2$
Come sopra.

Divisibilità per $5$
Si tratta di dimostrare che

$n^t-n \equiv 0 \pmod{5} \qquad\Rightarrow\qquad n^{4h+1}-n \equiv 0 \pmod{5} \qquad\Rightarrow\qquad n\cdot \left(\left(n^h\right)^4-1\right) \equiv 0 \pmod{5}$

Se $n$ è un multiplo di $5$ siamo a posto.
Se invece non lo è, allora dobbiamo dimostrare che almeno l'altro fattore lo sia. Dimostrare cioè che

$\left(n^h\right)^4-1 \equiv 0 \pmod{5} \qquad\Rightarrow\qquad \left(n^h\right)^4 \equiv 1 \pmod{5}$

Sempre il piccolo teorema di Fermat, nella sua formulazione meno generale, ci dice che $n^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ se $p$ è primo ed $n$ è coprimo con $p$.
Nel nostro caso abbiamo $p = 5$, quindi primo, e $n^h$ sempre coprimo con $p=5$, dal momento che abbiamo posto per ipotesi che $n$ non è multiplo di $5$.

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Re: L'ultima cifra della quinta potenza

Messaggio da Bruno »

Grande Pietro :D

Grazie infinite per tutti i miglioramenti che hai introdotto e per la tua assistenza :wink:
(Bruno)

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Re: L'ultima cifra della quinta potenza

Messaggio da Admin »

Bruno ha scritto:
lun apr 13, 2020 6:56 pm
Grande Pietro

Grazie infinite per tutti i miglioramenti che hai introdotto e per la tua assistenza
Normale amministrazione :wink:.

Saluti
Admin
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Re: L'ultima cifra della quinta potenza

Messaggio da Bruno »

Ottima amministrazione :D
(Bruno)

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