La torre e i suoi ascensori

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franco
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La torre e i suoi ascensori

Messaggio da franco » gio lug 04, 2019 4:09 pm

In una torre con $N$ piani (compreso il piano terra) vi sono sette ascensori ognuno dei quali si ferma solo a sei livelli.
Nella torre è possibile spostarsi fra due livelli distinti qualunque prendendo un unico ascensore.

:?: Determinare il massimo valore di $N$ per cui queste condizioni sono rispettate.
:?: Per il valore di $N$ così determinato indicare a quali livelli si fermano i singoli ascensori.

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Pasquale
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Re: La torre e i suoi ascensori

Messaggio da Pasquale » sab lug 13, 2019 2:36 am

Ogni ascensore si ferma a 6 livelli, compreso il piano terra? Ovvero, tutti partono dal piano terra?
Relativamente ad ogni ascensore, I 6 livelli di ciascuno sono quelli da individuare? Così che.una volta assegnati i livelli raggiungibili da ciascun ascensore, si possa raggiungere qualsiasi piano, scegliendo l'ascensore giusto e solo quello?

Esempio:

ascensore 1, partendo dal piano terra T, può raggiungere altri 5 livelli (es: 1,2,3,4,5)
ascensore 2, partendo da T, può raggiungere i piani 6,7,8,9,10
ascensore 3, raggiunge i piani 11,12,13,14,15
ascensore 4 va ai piani 16,17,18,19,20
asc. 5 ai piani 21,22,23,24,25
asc. 6 ai paini 26,27,28,29,30
asc. 7 ai piani 31,32,33,34,35

Secondo questo schema, compreso il piano T, al massimo avremmo N=36
Oppure bisogna considerare anche la possibilità ad esempio che ci si voglia spostare dal piano 7 al 15 e che ciò sia possibile utilizzando solo l'ascensore X, che magari parte dal 7 e può raggiungere il piano 78, tanto per dire un numero, ammesso che sia compreso nella massimizzazione di N?
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Re: La torre e i suoi ascensori

Messaggio da franco » sab lug 13, 2019 6:12 am

Dans une tour de N niveaux, il y a sept ascenseurs qui s’arrêtent chacun à six niveaux seulement. Cependant, pour deux niveaux distincts il est toujours possible de les relier à l’aide d’un seul ascenseur. 
Déterminer la valeur maximale de N qui respecte cette condition et pour cette valeur donner un schéma de desserte des ascenseurs selon les niveaux.


Come vedi ho tradotto pedissequamente il problema dal solito sito francese quindi le interpretazioni aggiuntive direi che possiamo convenirle come meglio crediamo.

Io proporrei:
. la torre ha N livelli numerati da 0 a N-1 (compreso quindi il piano terra)
. ogni ascensore ha 6 pulsanti per selezionare il piano; non necessariamente uno di loro è lo 0
. è possibile andare da un qualsiasi piano X ad un qualsiasi piano Y con un unico ascensore
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Re: La torre e i suoi ascensori

Messaggio da franco » sab lug 13, 2019 8:03 am

Se considero distinte le generiche tratte X->Y e Y->X (per evitare di portarmi dietro un noioso "diviso due" nelle formule) ho che un ascensore con $P$ pulsanti consente di percorrere $P*(P-1)$ tratte distinte.
Nel nostro caso i pulsanti sono $6$ quindi ogni ascensore può percorrere $30$ tratte.
Se non ci fossero ripetizioni, con $7$ ascensori potrei raggiungere un massimo di $210$ tratte distinte.

Analogamente, nella torre di $N$ livelli posso fare $N*(N-1)$ spostamenti distinti.
Con pochi facili calcoli (o per tentativi come ho fatto io) si vede che per $N=15$ gli spostamenti distinti possibili sono proprio $210$.

Quindi possiamo dire con certezza che $N$ non può essere superiore a $15$.

Il difficile però viene adesso, a cercare di capire come combinare i pulsanti negli ascensori per non avere ripetizioni di tratte (o comunque minimizzarle accontentandoci di un $N<15$).

Io mi sono fermato a $N=7$ :D :D :D

ciao
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Re: La torre e i suoi ascensori

Messaggio da franco » sab lug 13, 2019 10:20 am

Con un po' di tentativi ragionati sono arrivato a individuare le combinazioni di pulsanti per arrivare a coprire $N=14$ livelli e mi sembra che non ci sia modo di andare oltre.
torre e ascensori.png
torre e ascensori.png (11.87 KiB) Visto 82 volte
... Però il problema è classificato con 3 stelle (su 5) su diophante.fr
La soluzione l'ho trovata molto facilmente (non gli darei nemmeno 2 stelle) quindi forse c'è anche un modo di coprire anche il 15° livello.
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