L'iperpartenone

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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0-§
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L'iperpartenone

Messaggio da 0-§ »

Torno dalle vacanze di Natale,Capodanno ed Epifania con gerloni carichi carichi di problemi che stanno per scadere assieme ad altri nuovi di trinca,come questo.
State visitando l'Iperacropoli Matematica,monumento celebre per avere estensione infinita.Potete considerarlo come una foresta di colonne di altezza uguale,diciamo alte più o meno quanto voi(volevano farle di sette metri ma poi sono finiti i fondi,già dovevano farne infinite...).Esse formano una griglia perfettamente regolare e sono distanziate di due metri l'una dall'altra.Voi siete sul capitello dell'unica colonna crollata di tutta l'acropoli,quindi occupate il posto di una colonna.Un dubbio vi assale:quante colonne riesco a vedere spaziando con lo sguardo e stando fermo nel punto in cui mi trovo?In teoria non dovreste vederle tutte,ma dovreste vederne comunque infinite.Sapete dimostrare questa affermazione?Qual'é la probabilità che riusciate a vedere una colonna in funzione della sua distanza D da voi?Se riuscite a vedere solo le colonne ad una distanza minore od uguale a R,quante colonne vedrete in funzione di R?Scegliendo un valore di R a caso,quale dovrebbe essere il numero medio di colonne sulla circonferenza con centro voi e raggio R?
Ora usciamo un attimo dal Regno Matematico e torniamo sulla terra,perché nella realtà non vedreste infinite colonne.Difatti,se l'angolo A formato da una colonna-voi-un'altra colonna é troppo piccolo vedrete una colonna sola,quella più vicina a voi.Quante colonne vedrete in funzione dell'angolo A o del numero N di diottrie mancanti?Quale sarà la distanza M della più lontana tra quelle visibili?Quale sarà la distanza S di quella più vicina tra quelle del perimetro del visibile?
E infine,cosa succede se alcune colonne sono state abbattute secondo uno schema regolare?
Scrivete,pensate,ideate,trovate estensioni,insomma ogni intervento é gradito.
Ciao!
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.

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delfo52
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Messaggio da delfo52 »

La formulazione del problema deve essere spiegata meglio (a mio parere); Le colonne hanno più di una dimensione? cioè:sono fili verticali virtuali (ma allora come fai a vederle?), o hanno un diametro? in questo caso la dimensione di questo diametro è fondamentale per la soluzione del problema.
Si può giungere al caso-limite di colonnone grasse grasse con diametro di 2 metri, e in questo caso l'orizzonte è completamente chiuso dalle otto colonne viciniori.
Nei casi intermedi, l'orizzonte circolare a 360° è ocupato da 4 colonne a distanza x ; da quattro colonne a distanza x*radicedi2 , otto colonne a distanza x*radicedi5 , otto a distanza x*radicedi10 , otto a distanza x*radicedi13....
esse occuperanno una parte di orizzonte progressivamente decrescente, e già dopo pochi "passaggi" cominceranno le coperture parziali...
Comunque, un valore per il diametro delle colonne deve essere dato (credo).
Enrico

0-§
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Messaggio da 0-§ »

Hm!Agli effetti del problema,le colonne si possono considerare senza diametro.
Se due colonne hanno i centri su una linea che passa per l'osservatore,ovviamente "quella dietro" rimane invisibile.Però non ci avevo pensato:come cambiano le risposte ai vari problemi se consideriamo il diametro delle colonne?
Dimenticavo:la condizione "le colonne sono alte come l'osservatore" implica che l'altezza delle colonne (per giunta nella realtà suscettibile di cambiamenti per la prospettiva) é da non considerare.
Come schema,dovete pensare di vedere dall'alto la foresta di colonne come una griglia regolare di puntini(di cerchi se consideriamo il diametro),con un punto O dove risiede l'osservatore.
Mi é venuto in mente che chi possiede ancora tutti i suoi decimi oltre ad essere molto invidiabile dovrebbe distinguere due punti alla distanza di un metro,quindi l'angolo A minimo per l'esssere umano é arctan(1/1000)=0,05729576°.Considerando sempre nullo il diametro delle colonne dell'iperpartenone,quante colonne dovrebbe vedere questa lince umana?
Vedo se riesco a trovare gli angoli minimi per i vari decimi mancanti.
Grazie per il messaggio,Delfo!
Bisogno di chiarimenti?
Salute e saluti,
zerinf
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0-§
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Messaggio da 0-§ »

Alò alò:secondo fonti riservate,sembra che anche ponendo il vincolo dell'angolo minimo tra le colonne(sempre senza diametro) vedrò infinite colonne.Per l'esattezza le colonne visibili formano un bel disegno a croce,su cui proverò ad indagare ancora.Ho pensato che esistesse una curva a forma di parabola (o meglio quattro curve,con simmetria centrale nel punto dell'osservatore) che delimitava le colonne visibili:se una colonna si trova al suo interno non posso vederla,altrimenti sì.La colonna ha equazione "arctan(y/x)-arctan((y-1)/x)>A".Io non ho saputo trarre da questa formula il proverbilae ragno dal buco,tanto meno renderla esplicita.Voi cosa ne pensate?
Scrivete che questo problema mi interessa molto.
Ciao a tutti![/tex]
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Messaggio da 0-§ »

Parola torna indietro:i miei calcoli erano del tutto sbagliati.I problemi che ho posto restano aperti.Sono più difficili del previsto.Come sempre,ogni contributo é assai gradito(evitare peli tratti dalla zuppa o bollette da pagare:lavori sulla serie di Fibonacci sono invece sempre molto graditi).
Salut!
o-esse
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delfo52
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Messaggio da delfo52 »

si tratta di un problema a cavalcioni tra geometria, trigonometria e oftalmologia.
Cerco di dare qualche spunto:
Il primo scolio deriva dal fatto che ci viene imposto di vedere delle entità prive di dimensione; ma noi siamo superiori...
Mi limito a considerare un ottavo della foresta di colonne virtuali; diciamo quelle che, in una rappresentazione "in panta" stanno tra "ore 12 e ore 1.30" rispetto all'osservatore che poniamo all'origine.
Le colonne (anche se non le possiamo vedere (!) sappiamo essere poste in tutti i punti del piano identificabili con (m;n) con n ed m interi positivi; limitandoci alla parte suindicata, poniamo anche il vincolo che n è uguale o maggiore di m.

Poniamoci in (0;0), anzi poniamoci in modo che l'occhio aperto, con pupilla puntiforme, sia in (0;0);
volgiamo lo sguardo verso "ore 12"
vedremo l'invisibile colonna A posta in (0;1) che nasconde un numero infinito di colonne dietro di lei, poste in (0;x)
Volgendo lo sguardo in senso orario di un "cincinino piccolo piccolo", sicuramente incontreremo una colonna B del tipo (1;x) posta ad una distanza minore della distanza minima di risoluzione dell'occhio (o di qualsiasi macchina, se è per questo).
La colonna C (1;x-1) sarà distanziata dalla precedente B di un archetto minore di quello che separava A da B; e progredendo verso il basso (1;x-2...1;x-3...) per un po' siamo a posto.
Passiamo adesso a considerare la colonna Z (1;1): anch'essa, pur incorporea, cela allo sguardo infinite gemelle del tipo (x;x)
In alto a destra, lontano lontano "ad ore 1-29'59" circa il nostro sguardo incontrerà la colonna Y (x-1;x)non distinguibile dalla Z.
Anche in questo caso la colonna X (x-2;x-1) sarà giocoforza non distinguibile dalla Y;
e così proseguendo lo stesso possiamo dire per le colonne del tipo (x-y;x-y+1), almeno per un certo numero di passi.
Ragionamenti dello stesso tipo possono farsi per molti altri settori....

concludendo, direi che il concetto stesso di "arco minimo di risoluzione" dell'occhio, esclude la possibilità di infinite colonne; il numero massimo non potrà eccedere il quoziente "circonferenza/archettominimo".
Resta da dimostrare, semmai, che la selva di colonne "da ogni parte il guardo escluda" (mi perdoni Jimmy Leo), sempre dato per accettato che uno steccato di stecche invisibili abbia potere oscurante....
Enrico

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Messaggio da 0-§ »

Ho posto il problema su un altro forum ed eccovi le considerazioni che ne sono seguite.
Poniamo un osservatore nell'origine di un piano cartesiano, ed immaginiamo che su ogni punto a coordinate intere (esclusa l'origine) sia appoggiata una colonna cilindrica di raggio $r$, con $01$, l'osservatore non potrà vederla, perché sarà coperta da una colonna di coordinate $(\frac{a}{d}; \frac{b}{d})$.

Sia $P$ il centro di una colonna di coordinate $(k;h)$ con $MCD(k;h)=1$.

Dimostriamo che se $r\geq\frac{1}{k}$, l'osservatore non potrà vederla.

Siano $A_1, A_2, ... , A_k$ i punti di coordinate $(1;0), (2;0), ... (k;0)$, e sia $O$ il nostro punto d'osservazione. Sia poi $P_i$ il punto in cui la perpendicolare all'asse x per $A_i$ interseca $OP$ (i, d'ora in avanti, va da 1 a k-1), e sia $T_i$ il punto le cui coordinate sono la parte intera di quelle di $P_i$.
Ora, è chiaro che i triangoli $OA_1P_1, ... , OA_KP$ sono tutti simili e che $A_iP_i=\frac{h\times i}{k}$; dunque $T_iP_i=\frac{t}{k}$, dove t è un intero minore di k.
Abbiamo quindi k-1 valori possibili per i $T_iP_i$. Se ve ne fossero due uguali, però (diciamo $T_aP_a$ e $T_bP_b$), le rette $T_aT_b$ e $OP$ sarebbero parallele. Ma allora $T_aT_b$ sarebbe l'ipotenusa di un triangolo rettangolo con lati paralleli agli assi e minori di h e k, con vertici a coordinate intere, simile ad $OA_kP$: quindi h e k non sarebbero primi fra loro, contraddizione.
Ne deduciamo che i $T_iP_i$ assumono tutti i diversi k-1 valori possibili. Tra di essi vi saranno dunque $\frac{1}{k}$ e $\frac{k-1}{k}$.
Questo significa che abbiamo due colonne la cui distanza dalla retta $OP$ è minore di $\frac{1}{k}$, cioè minore di r, e perciò queste due colonne c'impediranno di vedere la colonna in $(h;k)$.

Tutto ciò significa che, dato r, noi non vedremo sicuramente le colonne che hanno una coordinata maggiore di $\lceil\frac{1}{r}\rceil$. (L'ascissa come nella dimostrazione, o anche l'ordinata, per simmetria.)
Dunque la colonna più lontana che vediamo avrà coordinate al più uguali a $\lceil\frac{1}{r}\rceil-1$; ordinata e ascissa saranno distinte (altrimenti la colonna è coperta dalla $(1;1)$), e dunque l'altra coordinata sarà $\lceil\frac{1}{r}\rceil-2$.
Con il teorema di Pitagora otteniamo facilmente che la distanza fra $O$ e la nostra colonna è esattamente quella espressa nella formula data:

$\displaystyle \sqrt{2{\left\lceil \frac 1 r \right\rceil }^2-6\left\lceil \frac 1 r \right\rceil+5}$
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Messaggio da 0-§ »

Altra dimostrazione:
Lemma:
Dato $\alpha \in \mathbb{R}$, e detta $\{x\}$ la parte frazionaria di $x$, allora tra i $k-1$ numeri $\{\alpha\}$, $\{2\alpha\}$, ..., $\{(k-1)\alpha\}$ ve n'è almeno uno non compreso tra $\frac 1 k$ e $1-\frac 1 k$.
Dimostrazione:
Partizioniamo l'intervallo $[0,1]$ in $k$ intervalli uguali, e supponiamo per assurdo che nessuno dei $k-1$ numeri dati cada nel primo o nell'ultimo. Allora per il principio dei cassetti ve ne saranno due (che chiamiamo $\{a\alpha\}$ e $\{b\alpha\}$, con $1\leq a 2$ (e siccome $r<1/2$, questo vale sempre), allora le colonne più lontane potenzialmente visibili sono quelle immediatamente adiacenti, ovvero quella di coordinate $\left(k-1,k-2\right)$ e simmetriche. Usando Pitagora per calcolare la distanza centro-origine, si perviene alla formula data dal testo.

Per risolvere la bonus question in dimensione n, basta generalizzare il lemma. Ovvero, al posto del segmento $[0,1]$ basta considerare un ipercubo di dimensione n-1 e suddividerlo in $k^{n-1}$ ipercubetti, applicando il pigeonhole per dimostrare che prima o poi vi è un'intersezione con uno degli ipercubetti ai vertici.

Per dimostrare la stima $\displaystyle\sqrt{r^2+\frac 1 {r^2}}$, si può ricorrere al Teorema del corpo convesso di Minkowski.

Teorema: Ogni sottoinsieme di $\mathbb{R}^n$ convesso, simmetrico rispetto ad un punto di coordinate intere ed avente "area" maggiore di $2^n$, contiene almeno tre punti a coordinate intere.
Dim. Sia $X\subseteq \mathbb{R}^n$ un insieme che rispetta le ipotesi. Possiamo supporre senza perdere generalità che il punto rispetto a cui l'insieme è simmetrico sia l'origine (che è ovviamente un punto a coordinate intere). Per provare il teorema basterà quindi provare che tale insieme contiene almeno un altro punto a coordinate intere: poichè $X$ è simmetrico, conterrà allora anche il simmetrico di tale punto rispetto all'origine (che avrà sempre coordinate intere), per un totale di tre punti a coordinate intere.
Per chiarezza espositiva, esplicitiamo la dimostrazione nel caso di $n=2$: il caso generale può essere trattato allo stesso modo.
Consideriamo $\mathbb{R}^2$ diviso come una scacchiera in cui ogni quadrato ha lato 2, in modo che l'origine sia il centro di simmetria di uno di tali quadrati. Ovviamente $X$ non può essere contenuto interamente in tale quadrato (avendo area maggiore di 4); immaginiamo adesso di ritagliare dal piano tutti i quadrati che contengono che intersecano $X$ e di sovrapporli su di un unico quadrato.
Poichè abbiamo messo un'area di superficie maggiore di 4 in una di area 4, ci sarà almeno un punto di $X$ che si sovrappone sul quadrato appena ottenuto. Segnamo tale punto sui quadrati relativi (che saranno almeno 2) e rimettiamo al loro posto tutti i quadrati sul piano. Consideriamo 2 di questi punti, $V_1$ e $V_2$: per come sono stati costruiti, appartengo entrambi ad $X$ e le loro coordinate differiscono per un multiplo di 2. Inoltre, poichè $X$ è convesso, contiene il segmento $\overline{V_1 V_2}$. Allora $V_2 -V_1 = \left(2k, 2h\right)$ ($-V_1\in X$ poichè $X$ è simmetrico) e quindi $\frac{1}{2}\left(V_2 - V_1\right)=\left(k, h\right)$ è il punto cercato (siamo sicuri che non sia l'origine in quanto $V_2 \neq V_1$).


Consideriamo una retta $s$per l'origine, ed il rettangolo di lati $2r$ e $\frac 2 r$ centrato nell'origine, il cui lato lungo $\frac 2 r$ è parallelo a $s$. Siccome il rettangolo è convesso, ha area 4, ed è simmetrico rispetto all'origine, per il Teorema di Minkowski esso contiene 2 punti A e A' a coordinate intere simmetrici rispetto all'origine. Poiché $s$ dista al più $r$ da ogni punto del rettangolo, in particolare intersecherà le colonne centrate in A e A'. Così, al variare di $s$, la colonna con intersezione più lontana avrà centro al più in un vertice del rettangolo corrispondente, ovvero a distanza $\displaystyle\sqrt{r^2+\frac 1 {r^2}}$ dall'osservatore. Poiché le colonne distanti al più $\displaystyle\sqrt{r^2+\frac 1 {r^2}}$ sono in numero finito, a maggior ragione le colonne visibili saranno in numero finito.
Che ve ne pare?Io non ho capito granché,e voi?
Certo i risultati sono interessanti,e anche il Teorema di Minkowski non é da dimenticare.
A domani per gli sviluppi(gli altri risultati prodotti sono decisamente più comprensibili,non vi preoccupate)
Ciao gente!
GioMott
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_Bruno

Messaggio da _Bruno »

...
0-§ ha scritto:Io non ho capito granché,e voi?
...forse, ripeto forse, sarebbe meglio che tu chiedessi lumi agli abili solutori a cui ti sei
rivolto (mi sembra roba da "olimpiadi"!).
Per quanto mi riguarda, in questo momento non sono in grado di assorbire nemmeno
la metà dei testi che hai riportato, pur esprimendo la massima stima agli autori...

Ciao!

:wink:
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