L'icosaedro

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
franco
Livello 7
Livello 7
Messaggi: 905
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

L'icosaedro

Messaggio da franco » ven feb 01, 2019 5:11 pm

Scriviamo un numero intero ≥ 0 su ogni faccia di un icosaedro regolare in modo che la somma di tutti i numeri scritti sia uguale a 39.
Dimostrare che ci sono almeno due facce con un vertice in comune sulle quali è scritto lo stesso numero.
icosaedro.png
icosaedro.png (10.73 KiB) Visto 809 volte
diophante.fr D.361
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1375
Iscritto il: mer mag 25, 2005 3:19 pm
Località: bologna

Re: L'icosaedro

Messaggio da delfo52 » ven feb 01, 2019 5:39 pm

prendiamo un vertice a caso . vi convergono cinque facce.
La somma 39 può essere composta da varie combinazioni di numeri diversi da zero.
ce ne sono con cinque numeri diversi?
sì, anche con sei numeri diversi (con sette non mi è riuscito di trovarne)
in tutti i casi i numeri diversi da 1 appaiono una volta sola, al massimo due (due volte il 2, o due volte il 6...)
e comunque, una volta sistemato un vertice, per gli altri rimane un plebiscito di 1, per cui non c'è scampo
Più approssimativa di così, non saprei come fare...
Enrico

franco
Livello 7
Livello 7
Messaggi: 905
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Re: L'icosaedro

Messaggio da franco » ven feb 01, 2019 5:55 pm

Considerando che è ammesso anche lo zero, in teoria è possibile raggiungere la somma 39 anche con 9 numeri diversi.
Intuitivamente sembra evidente che almeno due facce col vertice in comune debbano essere uguali ma credo che dimostrarlo non sia banale.

Premetto che non conosco la risposta a questo problema che ho trovato sul sito francese su cui vado a curiosare di tanto in tanto ma ho anche il dubbio che il numero 39 scelto per il problema non sia casuale.
Forse, se la somma fosse 40 ci sarebbe una configurazione senza facce uguali col vertice in comune.

Vediamo se nel fine settimana riesco a dedicarci un po' di tempo...
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

giobimbo
Livello 5
Livello 5
Messaggi: 238
Iscritto il: sab nov 19, 2005 5:14 pm
Località: Biella

Re: L'icosaedro

Messaggio da giobimbo » sab feb 02, 2019 6:52 am

Forse ho capito male, ma mi sembra che la numerazione della figura sotto contraddica i termini del problema...
Base5 icosaedro.png
Base5 icosaedro.png (42.31 KiB) Visto 787 volte

Gianfranco
Supervisore del sito
Supervisore del sito
Messaggi: 925
Iscritto il: ven mag 20, 2005 8:51 pm
Località: Sestri Levante
Contatta:

Re: L'icosaedro

Messaggio da Gianfranco » sab feb 02, 2019 11:21 am

(edit) Credevo di non aver trovato la soluzione, invece credo di averla trovata.
delfo52 ha scritto:
ven feb 01, 2019 5:39 pm
Prendiamo un vertice a caso. Vi convergono cinque facce.
La somma 39 può essere composta da varie combinazioni di numeri diversi da zero.
ce ne sono con cinque numeri diversi?
...
E' giusto, ma in questo caso bisogna anche tener conto che ogni faccia ha tre vertici, il che complica le cose.
Propongo di partire dalla mappa piana dell'icosaedro.
Ho colorato una faccia di giallo.
Immagino di scrivere un numero a in quella faccia.
Coloro di blu tutte le facce in cui non posso più scrivere il numero a.
mappa_icosaedro_col1.png
mappa_icosaedro_col1.png (16.57 KiB) Visto 783 volte
Coloro poi un'altra faccia di giallo tra quelle rimaste, vi scrivo il numero a e procedo come prima fino ad aver colorato tutte le facce di blu o giallo.
mappa_icosaedro_col2.png
mappa_icosaedro_col2.png (17.72 KiB) Visto 783 volte
Osservo che un dato numero si può scrivere al massimo in 4 facce.

Per sapere se si possono scrivere, con questo criterio, dei numeri la cui somma è 39 devo considerare le partitizioni intere di 39 (più lo zero).
O meglio, le partizioni formate da 20 addendi perché l'icosaedro ha 20 facce.
Devo trovare se esiste una partizione formata da numeri ripetuti NON PIU' di 4 volte.

a) se considero soltanto le partizioni intere (numeri >0) posso verificare che NON ESISTE una partizione di 20 addendi che soddisfa le condizioni.

b) se scrivo il numero 0 su quattro facce, allora posso considerare le partizioni intere formate da 20-4=16 numeri.
Ecco, non esiste neppure in questo caso (ricerca esaustiva col computer).

c) Se invece la somma fosse 40, questa è la soluzione unica, come accennato da Franco:
0,0,0,0,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4

(edit) d) Se vogliamo ottenere 39, dobbiamo diminuire di una unità uno dei numeri, il che ci porta ad avere 5 numeri uguali.

Quindi nell'icosaedro avremo 2 numeri uguali su due facce che si toccano per un vertice.
Principio dei cassetti.


Ecco un disegno bianco per fare delle prove.
mappa_icosaedro.png
mappa_icosaedro.png (15.69 KiB) Visto 783 volte
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

franco
Livello 7
Livello 7
Messaggi: 905
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Re: L'icosaedro

Messaggio da franco » sab feb 02, 2019 3:35 pm

Gianfranco ha scritto:
sab feb 02, 2019 11:21 am
(edit) Credevo di non aver trovato la soluzione, invece credo di averla trovata.
Gianfranco,
Mi sembra tutto corretto.
Ero arrivato anch'io a costruire l'icosaedro "a somma 40" anche se partendo da uno sviluppo del solido molto meno bello :)
icosaedro1.png
icosaedro1.png (81.02 KiB) Visto 778 volte
... ma non aggiungo altro visto che la tua spiegazione è già inappuntabile.

ciao
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

panurgo
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1153
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Re: L'icosaedro

Messaggio da panurgo » sab feb 02, 2019 4:41 pm

Gianfranco ha scritto:
sab feb 02, 2019 11:21 am
(edit) Credevo di non aver trovato la soluzione, invece credo di averla trovata.
Baciamo le mani...
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1375
Iscritto il: mer mag 25, 2005 3:19 pm
Località: bologna

Re: L'icosaedro

Messaggio da delfo52 » lun feb 04, 2019 9:32 am

scusate; avevo letto male sulla possibilità dello zero. La vista vacilla...
Enrico

Rispondi