L'estetica in matematica - Può dare dimostrazioni convincenti?

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L'estetica in matematica - Può dare dimostrazioni convincenti?

Messaggio da infinito » sab mar 06, 2010 12:30 am

Salve, oggi durante le lezioni mi sono venute alcune cose nuove, ed una in particolare mi ha lasciato molto pensieroso.

Parlandone poi con una mia alunna, le ho detto che di questi argomenti non posso mai parlarne con nessuno, e in particolare mi “scandalizza” che non interessi abbastanza nemmeno ai miei colleghi di matematica.

Poi ci ho ripensato ed ho detto che probabilmente potevo trovare qualcuno a cui interessava … ed eccomi qui.


Forse non rientra del tutto nella “matematica dilettevole”, che è l'argomento di questo sito, ma forse anche sì, perché questo problema può davvero “dilettare”.






Per arrivare al “problema” devo fare un lunga introduzione, che però spero risulti interessantissima.






Introduzione

Io penso che comunemente nella scuola (italiana) non si insegni matematica, ma quasi esclusivamente “a fare i calcoli”;
e in particolare che non si coltivi l'intuizione e l'aspetto della simmetria.


Anche per questo, in geometria, curo molto l'estetica, sia nel formalismo, sia nei concetti, nelle dimostrazioni, ecc. (nonostante generalmente, laddove “ci si capisce” uso e lascio usare anche il vernacolo …).

Qui sotto, anche a scopo di esempio, riporto alcune definizioni, convenzioni, ecc.







Definizioni e notazioni e criteri di congruenza (che qui non dimostro)

Definizione di «triangolo (non degenere)»:
dati 3 punti A, B, C, non allineati, si definisce «triangolo ABC» l'intersezione dei tre semipiani AB cui non appartiene C, BC cui non appartiene A, e CA cui non appartiene B.


Notazione per ogni triangolo
Dato il triangolo ABC, salvo diversa specificazione, chiamiamo i lati (cioè i segmenti) AB, BC e CA con il nome del solo punto (fra A, B e C) che non vi appartiene, cioè, rispettivamente, C, A e B (comunemente però non si indicano con la lettera maiuscola, ma con la minuscola).
Inoltre chiamiamo gli angoli del triangolo ABC (cioè gli angoli) CAB, ABC e BCA con il nome del solo vertice, cioè, rispettivamente, con A, B e C (comunemente però si non indicano con le lettere latine, ma con quelle greche).


Definizione di «triangolo isoscele»:
il triangolo ABC, è «isoscele» sse i lati A e C sono congruenti.
Attenzione all'ordine: da questa definizione segue che se “il triangolo ABC, è isoscele” allora l'ipotenusa è necessariamente il lato B.


Notazione per due triangoli in relazione:
Dicendo che due triangoli ABC e DEF sono congruenti, intendiamo che lo sono i lati e gli angoli delle coppie (A, D), (B, E) e (C, F).
Analogamente per indicare che i lati (o gli angoli ) A e D sono congruenti, possiamo dire semplicemente dire che i due triangolo hanno congruenti i lati (o gli angoli ) A; analogamente per B e C.




1° criterio di congruenza dei triangoli (in seguito 1CCT):
«Se due triangoli ABC e DEF hanno congruenti i lati A e B e l'angolo C, allora sono congruenti»
Notare la terna (A, B, C).


2° criterio di congruenza dei triangoli (in seguito 2CCT):
«Se due triangoli ABC e DEF hanno congruenti gli angoli A e B e il lato C, allora sono congruenti»
Notare anche qui la terna (A, B, C).


3° criterio di congruenza dei triangoli (in seguito 3CCT):
«Se due triangoli ABC e DEF hanno congruenti i lati A, B e C, allora sono congruenti»
Notare anche qui la terna (A, B, C).


4° criterio di congruenza dei triangoli (in seguito 4CCT):
«Se due triangoli ABC e DEF hanno congruenti i lati A e B, l'angolo A, e gli angoli B ed E sono della stessa specie (cioè entrambi acuti, o entrambi retti o entrambi ottusi), allora sono congruenti»
Notare che qui non c'è la terna (A, B, C), ma c'è ancora una “specie di simmetria”: A e B per i lati, e poi ancora A e B (seppur asimmetricamente) per gli angoli.





Teoremi

Mi paiono molto belle queste dimostrazioni di teoremi arcinoti, nel senso che mi sembrano molto più sintetiche, in particolare la seconda.


Teorema: «Se ABC è un triangolo isoscele, allora gli angoli A e B sono congruenti»
HP: «I lati A e C sono congruenti». Th: «Gli angoli A e C sono congruenti».
Dim: I triangoli ABC e CBA sono congruenti per il 1CCT, poiché hanno i lati A e B congruenti per ipotesi, e l'angolo B in comune.
Nota. Il concetto principale della dimostrazione è la simmetria: ho semplicemente “ribaltato” il triangolo ABC su suo asse di simmetria.

Teorema: «Se ABC è un triangolo in cui gli angoli A e B sono congruenti, allora è isoscele»
HP: «Gli angoli A e C sono congruenti». Th: «I lati A e C sono congruenti».
Dim: I triangoli ABC e CBA sono congruenti per il 2CCT, poiché hanno gli angoli A e B congruenti per ipotesi, e il lato B in comune.





La lezione di oggi

Oggi ho introdotto la similitudine, e dopo aver rispolverato i criteri di congruenza sopra riportati ho dato quelli di similitudine:



1° criterio di similitudine dei triangoli:
«Se due triangoli ABC e DEF hanno congruenti gli angoli A e B, allora sono simili»
Notare che non c'è la terna (A, B, C), ma anche che avere congruenti gli angoli A e B è equivalente ad avere congruenti gli angoli A, B e C, quindi la terna.


2° criterio di similitudine dei triangoli (in seguito 2CST):
«Se due triangoli ABC e DEF hanno congruenti gli angoli A, e in proporzione i lati B e C, allora sono simili»
Notare che qui c'è ancora la terna (A, B, C).


3° criterio di similitudine dei triangoli:
«Se due triangoli ABC e DEF hanno in proporzione i lati A, B e C, allora sono simili»
Notare ancora la terna (A, B, C).


Il “caso”

Parlando con la classe ho fatto notare queste simmetrie, ma escludendo il caso del 2CST perché non lo conoscevo (come sapete sono molto ignorante). Però ho analizzato la situazione e, per “simmetria” ed “analogia”, ho fatto la supposizione che dovesse valere il 2CST. Quasi subito un'alunna mi ha detto che “valeva”, e che era riportato sul testo.

Io però mi sono accorto che “non ci credevo”, perché dovevo ancora dimostrarlo (la cosa per me è abbastanza normale: tutto quello che dichiaro vero me lo devo dimostrare).



Cioè: la dimostrazione “per simmetria formale” (cioè legata all'estetica delle formule) non mi soddisfaceva: perché?

Eppure la curo da sempre, so che è “potenzialmente potentissima”, permette di trattare intere teorie come semplici enti matematici su cui lavorare, ecc.; inoltre mi aveva portato ad enunciare con precisione il teorema e a “sapere” che il teorema era vero, ma tutto questo non mi è stato sufficiente per “credere” che lo fosse davvero.




Non so se mi sono spiegato, ma questo è il mio “problema”:
come posso impostare il tutto per poter avere la stessa convinzione di una dimostrazione “classica” (ma con tutta l'incredibile potenzialità derivante dall'estetica)?


Voi che cosa ne pensate: senza conoscere il 2CST, solo per quanto dimostrato sopra, credereste che vale, lo dareste per probabile, per improbabile o che altro?
Gaspero

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