L'area è uguale al perimetro

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
Pasquale
Livello 11
Livello 11
Messaggi: 2334
Iscritto il: mer mag 25, 2005 1:14 am

L'area è uguale al perimetro

Messaggio da Pasquale » lun dic 26, 2005 2:45 am

Trovare tutti i triangoli rettangoli con lati interi, la cui area è uguale al perimetro.
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

mathmum
Livello 5
Livello 5
Messaggi: 337
Iscritto il: sab nov 19, 2005 5:39 pm
Località: World (Wide Web) - IT

Messaggio da mathmum » lun dic 26, 2005 11:59 am

Considero un triangolo rettangolo con cateti a,b e ipotenusa (x Pitagora) lunga\sqrt[{}]{{a^2  + b^2 }}.

Poichè l'area è uguale al perimetro: \frac{{ab}}{2} = a + b + \sqrt[{}]{{a^2  + b^2 }}

denominatore comune 2, isolo la radice, elevo al quadrato entrambi i membri:ab\left( {8 + ab - 4a - 4b} \right) = 0

eliminate le soluzioni nulle per a,b risolvo ad esempio rispetto a b: b = \frac{{4a - 8}}{{a - 4}} = 4 + \frac{8}{{a - 4}}

Puff. ci siamo. Stiamo cercando triangoli con cateti interi, quindi se b è intero, allora 8 deve essere divisibile per (a-4) e quindi (a-4) può essere solo 1,2,4,8.

Risolvo le uguaglianze ed ottengo a=5, 6, 8, 12
da cui b=12,8,6,5

I triangoli sono 2, che corrispondono alle coppie (a,b) del tipo (5,12) e (6,8).
mathmum

...la vita è complessa: ha componenti reali ed immaginarie...

mathmum
Livello 5
Livello 5
Messaggi: 337
Iscritto il: sab nov 19, 2005 5:39 pm
Località: World (Wide Web) - IT

Messaggio da mathmum » lun dic 26, 2005 12:00 pm

naaaah. non avevo disabilitato i folletti natalini! sotto al pupazzatto c'è un 8 !!!
ciao ciao
mathmum

...la vita è complessa: ha componenti reali ed immaginarie...

Ospite

Messaggio da Ospite » lun dic 26, 2005 12:33 pm

Io invece sono partito dalle terne pitagoriche:
m^2-n^2,2mn,m^2+n^2 con m>n.
Deve essere:
2m^2+2mn=mn(m^2-n^2)
Od anche:
2m(m+n)=mn(m+n)(m-n) e coie' dividendo per m(m+n) che
non puo' essere nullo:
2=n(m-n)
Da qui',dato che si tratta di interi,risulta:
[n=1,m-n=2] oppure [n=2,m-n=1] con le due soluzioni
[m=3,n=1] e [m=3,n=2] a cui corrispondono i triangoli :
(6,8,10) ;(5,12,13).
Buon Anno nuovo a tutti.

Pasquale
Livello 11
Livello 11
Messaggi: 2334
Iscritto il: mer mag 25, 2005 1:14 am

Messaggio da Pasquale » lun dic 26, 2005 3:16 pm

OK ragazzi: auguri e buon anno.
Per mammina: l'8 con parentesi genera un emoticon (non sempre smile, perché qualcuno sembra incavolato); per evitarlo non è necessario disabiltarlo, essendo sufficiente aggiungere uno spazio fra l'8 e la parentesi. Ciao, ciao
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Rispondi