L'area del triangolo rettangolo

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Bruno
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L'area del triangolo rettangolo

Messaggio da Bruno »

...

In quale modo calcolereste l'area di un triangolo rettangolo, conoscendone i lati,
senza ricorrere alla trigonometria ed escludendo questi metodi:

1) cateto x cateto : 2

2) ipotenusa x altezza relativa : 2

3) raggio della circonferenza inscritta x semiperimetro

4) formula di Erone

5) formula di Guadalupi (ved. qui)

e altre procedure che si possano normalmente trovare nei manuali scolastici
di geometria.
Questa piccola ricerca che propongo, naturalmente, non intende arrivare a
qualcosa di "nuovo" (anche perché forse non è facile verificare che lo sia), ma
vorrebbe stimolare qualche considerazione di fronte a un argomento che
sembra completamente esplorato.

A presto!

(Bruno)
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Edmund
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Messaggio da Edmund »

Se non ricordo male, nel vecchio forum era stato esposto un quesito (mi pare da Pasquale) sul dimostrare che: in un triangolo rettangolo esiste un segmento che unisce il vertice opposto all'ipotenusa ad un punto sull'ipotenusa, il cui quadrato è pari all'area del triangolo. Questo segmento è inoltre tangente a due circonferenze inscritte nel triangolo.
La dimostrazione si basava sul Teorema di Stewart.

Se trovo la pagina la ripropongo.

Ciao.

Bruno
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Messaggio da Bruno »

Interessante, Edmund!
Non mi ricordavo proprio di questa cosa...
Attendo tue notizie :wink:
(Bruno)

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mathmum
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Messaggio da mathmum »

Potremmo "grigliarlo" ed usare il Teo di Pick
http://utenti.quipo.it/base5/geopiana/pickteor.htm
.......
mathmum

...la vita è complessa: ha componenti reali ed immaginarie...

Daniela
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Messaggio da Daniela »

Una variante alla risposta di matemamma e' il metodo di montecarlo.
Daniela
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Edmund
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Messaggio da Edmund »

Ecco il testo del post di Pasquale con relativa mia risposta di allora:




Date Posted: 8/02/05 1:26
Author: Pasquale
Subject: Dimostrazione

Ecco di nuovo Giovanni:

Sia ABC un triangolo rettangolo in C.
Sul lato AB si prenda un punto D, in modo che CD=k ed i raggi delle circunferenze inscritte nei triangoli ADC e CDB siano uguali.
Dimostrare che l'area del triangolo ABC è uguale a k^2.


Ciao

Replies:

[> Re: Dimostrazione -- Edmund, 9/02/05 19:39 [1]

La dimostrazione viene fatta applicando il teorema di Stewart (una generalizzazione del teorema di Apollonio), ed uguagliando le espressioni dei raggi dei due cerchi inscritti; dopo vari passaggi (noiosi)
sostituzioni etc. si ottiene la formula finale:

k^2=(a+b+c)*(a+b-c)/4

valida per qualsiasi triangolo.

Nel nostro caso, essendo il triangolo rettangolo, sviluppando il prodotto di sopra ed applicando il teorema di Pitagora si arriva alla

k^2=a*b/2=AREA

Se ci tenete, in seguito scriverò tutti i passaggi. Scusatemi per la pigrizia.
Ciao

Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Non mi ricordavo di questo problema, che chissà dove avevo trovato: la validità di quel teorema la si può visivamente accertare nel caso particolare di un triangolo rettangolo isoscele, ove il segmento cercato è l'altezza rispetto all'ipotenusa.
Allungando un cateto, appare evidente che aumenta l'area e quindi deve aumentare la lunghezza del segmento, che deve avere un valore compreso fra quelli dei due cateti (mi domando se non sia sufficiente prolungare la precedente altezza fino all'ipotenusa, per realizzare la condizione cercata).
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

Graziemille, Edmund, per il prezioso recupero che hai fatto!
Bello!
Traducendo quello che hai scritto in una "passeggiata" (come
quella che ho immaginato qui $\right$ per il metodo di Guadalupi),
in altre parole potremmo esprimere il risultato anche così $\right$.
Può essere?

Direi molto interessanti anche le proposte di Mathmum e Daniela!
Inventando un esempio per capire bene, come potrebbero essere
applicati questi metodi al triangolo rettangolo ($\displaystyle {\text \footnotesize \sqr{3},\,4,\,\sqr{19}}$)?

Per Pasquale:
La settimana scorsa ti ho lasciato un messaggio in MP, ma ancora me
lo trovo in "Posta in uscita" e questo mi dice che non è partito....
Spero che il meccanismo non sia sempre così tempestivo!
Intanto ciao e a presto.

(Bruno)
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Daniela
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Messaggio da Daniela »

Carissimo Bruno,
prendiamo ad esempio il quadrato 4x4 che ha area 16 e ci infiliamo il tuo triangolo. Dopodiche' per il metodo di montecarlo generiamo dei punti a caso dentro il quadrato, verifichiamo mediante disequazioni opportune se il punto di coordinate casuali sta dentro o fuori, e si ha che per n grande il limite qua sotto (denotato con "=" perche' sono malvagia :twisted: ) converge
(n. punti dentro) / (n. punti fuori)= (area triangolo) / (area quadrato - area triangolo)
Per il metodo di matemamma generiamo un reticolo e lo facciamo sui punti del reticolo.
Ciao
Daniela
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Bruno
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Messaggio da Bruno »

Daniela, grazie :D
Altre idee?
(Bruno)

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delfo52
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Messaggio da delfo52 »

ripropongo una mia idea, affiorata tempo fa non ricordo in quale trattazione.
Avendo a disposizione una bilancia di precisione, e della carta, o cartoncino di grammatura nota, si ritaglia da un foglio di superficie e peso noti, un triangolo con i lati delle dimensioni richieste, e si completa l'equivalenza.

In mancanza di bilancia precisa, si usano un numero maggiore di fogli sovrapposti (in questo caso è necessaria una "taglierina" professionale , facilmente reperibile in una cartoleria o da un amico rilegatore, o in un laboratorio di stampa).
Enrico

panurgo
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Messaggio da panurgo »

delfo52 ha scritto:ripropongo una mia idea, affiorata tempo fa non ricordo in quale trattazione.
Avendo a disposizione una bilancia di precisione, e della carta, o cartoncino di grammatura nota, si ritaglia da un foglio di superficie e peso noti, un triangolo con i lati delle dimensioni richieste, e si completa l'equivalenza.

In mancanza di bilancia precisa, si usano un numero maggiore di fogli sovrapposti (in questo caso è necessaria una "taglierina" professionale , facilmente reperibile in una cartoleria o da un amico rilegatore, o in un laboratorio di stampa).
Nota di chimica: il metodo del cartoncino veniva utilizzato nelle analisi cromatografiche per determinare l'area di picchi nell'epoca pre-computeristica (sembra la preistoria ma si tratta di una trentina di anni fa).

Nota di teoria della misura: tagliando molti cartoncini si determina un valore dell'area che risente sia dell'imprecisione della bilancia sia di quella del ritaglio; di conseguenza, una bilancia molto accurata non serve a nulla senza un taglio preciso e viceversa!
il panurgo

Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Bruno
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Messaggio da Bruno »

Wow, Panurgo!
Sono contento di ritrovarti qui :wink:
Ne approfitto per chiederti una cosa (scusami l'OT).
Ieri l'altro stavo dando un'occhiata ad alcuni topic vecchi è mi è capitato
di vedere questo: Divisione di un segmento, aperto circa due mesi fa
da Alex e terminante con una proposta risolutiva di CID. Data l'ampiezza
delle considerazioni con cui hai partecipato a quella discussione, mi
piacerebbe sapere se hai avuto l'occasione di leggere l'intervento di CID.
A presto!

Bruno
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panurgo
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Messaggio da panurgo »

Ciao Bruno. Sì, ho letto l'intervento di CID e non ho ancora avuto modo di rispondere... :roll:
il panurgo

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delfo52
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Messaggio da delfo52 »

Probabilità che il primo intervallo sia il più lungo tra i primi 1 intervalli = 1
Probabilità che il secondo intervallo sia il più lungo tra i primi 2 intervalli = 1/2
Probabilità che il terzo intervallo sia il più lungo tra i primi 3 intervalli = 1/3

così scrive CID, ma non ne sono convinto, a meno che, come spesso accade, non abbia frainteso qualcosa.
Se abbiamo un segmento diviso in due, la probabilità di "scegliere" il maggiore non è 1/2, o meglio lo è solo se la divisione casca perfettamente alla metà; in ogni altro caso, la probabilità è proporzionale alla (ignota) lunghezza dei due sub-segmenti; facendo una media, il punto di divisione casca al 25/75, per cui la probabilità di scegliere il segmento maggiore è di 3/4.
E' un interessante paradosso, quello di dire: scegli un punto a caso sul segmento. Primo ragionamento: il punto starà tra un estremo e l'altro, per cui, in media, al 50/50 . Secondo ragionamento: il punto scelto deve per forza stare tra il mezzo e un estremo, perciò starà, mediamente al 25/75.
Il trucco è banale, perchè in realtà ci sono due 25/75...
Enrico

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