Questo al momento non so farlo e quindi vedete voi: bisognerebbe dimostrare che $\frac {(1987^2)!}{(1987!)^{1988}}$ è un intero (spero che sia vero).

Oh, finora ho visto empiricamente che per valori minori è sempre vero, cioè sarebbe sempre vero per ogni $\frac{a^2!}{a!^{a+1}}$, per cui diamoci da fare per abbordare una dimostrazione.

Bene, adesso so per certo che in $a^2!$ a è contenuto a+1 volte e se a è contenuto a+1 volte, quante volte sono contenuti a-1, a-2,...,2 ?

...

Mi dispiaceva lasciare che il quesito di Pasquale si allontanasse sempre più
dalla riva. Mi ha colpito sin dall'inizio per una sua certa immediatezza, che
comunque non sapevo giustificare.

Avrei voluto trovare prima una risposta ma, finora, nelle mie saltuarie e
troppo brevi considerazioni sull'argomento non sono riuscito a raggiungere
nulla che mi facesse pensare a una risoluzione.

Poi mi è venuta l'idea di tirar fuori la potenza al denominatore da una sequenza
di più prodotti. Idea semplice, sicuramente, ma finché non viene...
Bene, quest'idea mi ha portato davanti alla necessità di verificare la seguente
proprietà (probabilmente ben nota a qualcuno, anche se io non la ricordavo):

$\displaystyle {nk\choose k}\cdot \frac{1}{n}={nk-1\choose k-1} \, ,$

che naturalmente rappresenta un numero intero (considero n e k interi e positivi
e non entrambi unitari).
Si può dimostrare senza difficoltà così:

$\displaystyle {nk\choose k}\cdot \frac{1}{n}=\frac{(nk-k+1)\cdot \, \cdot\cdot\cdot \,\cdot (nk-1)\cdot nk}{n\cdot k!}=\frac{(nk-k+1)\cdot \, \cdot\cdot\cdot \,\cdot (nk-1)\cdot nk}{nk\cdot (k-1)!}=\frac{(nk-k+1)\cdot \, \cdot\cdot\cdot \,\cdot (nk-1)}{(k-1)!}={nk-1\choose k-1}.$

A questo punto ho scritto le seguenti uguaglianze:

$\displaystyle {nk\choose k}\cdot \frac{1}{n}=\frac{(nk)!}{n\cdot (nk-k)!\cdot k!}$

$\displaystyle {(n-1)k\choose k}\cdot \frac{1}{n-1}=\frac{(nk-k)!}{(n-1)\cdot (nk-2k)!\cdot k!}$

$\displaystyle {(n-2)k\choose k}\cdot \frac{1}{n-2}=\frac{(nk-2k)!}{(n-2)\cdot (nk-3k)!\cdot k!}$

$\displaystyle . \\ . \\ .$

$\displaystyle {3k\choose k}\cdot \frac{1}{3}=\frac{(3k)!}{3\cdot (2k)!\cdot k!}$

$\displaystyle {2k\choose k}\cdot \frac{1}{2}=\frac{(2k)!}{2\cdot k!\cdot k!}$

Quindi, moltiplicando membro e membro e facendo alcune immediate
semplificazioni, ho ottenuto:

$\displaystyle 1) \,\, \prod_{i=2}^n {ik\choose k}\cdot \frac{1}{i}=\frac{(nk)!}{n!\cdot (k!)^n}.$

Giunto qui, mi è bastato porre $\displaystyle {\text \footnotesize n=k=a}$ per ricavare la frazione proposta
da Pasquale, dimostrando così che corrisponde a un numero intero (se&o).

Dopo aver stabilito la (1), ho avuto l'impressione di aver già visto il membro
destro, ma per il momento non ricordo dove. (D'altra parte, devo dire che
non ho una particolare concoscenza del calcolo combinatorio.)
In ogni caso, è stato senz'altro utile rideterminarla, per quanto l'itinerario
seguito sia abbastanza ordinario.

A presto!


.........
Bruno

Sono senza parole: un inchino mi pare d'obbligo.

...

Nessun inchino, per carità...

Grazie comunque dell'apprezzamento.

(Bruno)

Da quel che ho capito il lavoro di Bruno mi sembra ottimo.Ma una parte necessita di spiegazioni.

Bruno ha scritto:A questo punto ho scritto le seguenti uguaglianze:

$\displaystyle {nk\choose k}\cdot \frac{1}{n}=\frac{(nk)!}{n\cdot (nk-k)!\cdot k!}$

$\displaystyle {(n-1)k\choose k}\cdot \frac{1}{n-1}=\frac{(nk-k)!}{(n-1)\cdot (nk-2k)!\cdot k!}$

$\displaystyle {(n-2)k\choose k}\cdot \frac{1}{n-2}=\frac{(nk-2k)!}{(n-2)\cdot (nk-3k)!\cdot k!}$

$\displaystyle . \\ . \\ .$

$\displaystyle {3k\choose k}\cdot \frac{1}{3}=\frac{(3k)!}{3\cdot (2k)!\cdot k!}$

$\displaystyle {2k\choose k}\cdot \frac{1}{2}=\frac{(2k)!}{2\cdot k!\cdot k!}$

E fin qui ci siamo(anche se non sono proprio immediate).
Poi però dici:

Bruno ha scritto:Quindi, moltiplicando membro e membro e facendo alcune immediate
semplificazioni, ho ottenuto:

$\displaystyle 1) \,\, \prod_{i=2}^n {ik\choose k}\cdot \frac{1}{i}=\frac{(nk)!}{n!\cdot (k!)^n}.$

Mi sono perso un pezzo.Tu hai moltiplicato tutti i membri destri delle precedenti identità?Come hai fatto a semplificare?Quel risultato iniziale di cui tu dici di esserti servito per risolvere il problema mi é chiaro,ma non capisco come lo hai usato.

Bruno ha scritto:Giunto qui, mi è bastato porre $\displaystyle {\text \footnotesize n=k=a}$ per ricavare la frazione proposta

Sì,questo é chiaro,é la parte di sopra che rimane oscura...
Bruno,illuminami,il tuo mi sembra davvero un bel lavoro e vorrei poterlo capire.
Che figuraccia con ZioGiò,lui che mi aveva fatto i complimenti per la mia conoscenza dei binomiali...sarà il lauto pranzo-e il relativo rintronamento postprandiale-che mi sono concesso...
Saluti!

...

Innanzitutto ti ringrazio, 0-§, per essertene interessato.
Cercherò di chiarire i punti che mi hai segnalato.
Allora...

Con $\displaystyle {\text \footnotesize {nk\choose k}\cdot \frac{1}{n}={nk-1\choose k-1}}$ ho messo in evidenza che il primo membro corrisponde
a un numero intero, essendolo $\displaystyle {\text \footnotesize {nk-1\choose k-1}}$ (per gli n e k considerati).

D'altra parte, risulta anche: $\displaystyle \; {\text \footnotesize {nk-1\choose k-1}=\frac{(nk-1)!}{(nk-k)!\cdot (k-1)!}}\,$.

Basandomi su questo, ho scritto quella serie di uguaglianze facendo
variare l'elemento ${\text \footnotesize n$.
Il prodotto dei rispettivi primi membri è:

$\displaystyle \[{nk\choose k}\cdot \frac{1}{n}\]\cdot \[{(n-1)k\choose k}\cdot \frac{1}{n-1}\]\cdot \[{(n-2)k\choose k}\cdot \frac{1}{n-2}\] \, \cdot \cdot \cdot \, \[{3k\choose k}\cdot \frac{1}{3}\]\cdot \[{2k\choose k}\cdot \frac{1}{2}\]$

e ciò equivale a un numero intero (per quello che abbiamo appena detto),
ma equivale anche al prodotto degli ultimi membri delle stesse relazioni:

$\displaystyle \[\frac{(nk)!}{n\cdot (nk-k)!\cdot k!}\]\cdot \[\frac{(nk-k)!}{(n-1)\cdot (nk-2k)!\cdot k!}\]\cdot \[\frac{(nk-2k)!}{(n-2)\cdot (nk-3k)!\cdot k!}\] \, \cdot \cdot \cdot \, \[\frac{(3k)!}{3\cdot (2k)!\cdot k!}\]\cdot \[\frac{(2k)!}{2\cdot k!\cdot k!}\] \; .$

Già guardando quest'ultima espressione, puoi vedere che alcuni termini
al numeratore e al denominatore delle frazioni contigue possono essere
semplificati.
Ne risulta una frazione che ha $\displaystyle {\text \footnotesize (nk)!}$ al numeratore (l'unico termine
sopravvissuto alla semplificazione), mentre al denominatore troviamo $\displaystyle {\text \footnotesize k!}$
ripetuto $\displaystyle {\text \footnotesize n}$ volte e il fattoriale $\displaystyle {\text \footnotesize n!}\,$, ossia abbiamo trovato il secondo membro
della relazione (1) del mio precedente messaggio.

Spero che tu possa capire meglio, ora, quello che ho pensato.
Se però non fosse così, mi raccomando, chiedimi pure!

E non preoccuparti delle "figuracce"! Peraltro, tu sai sicuramente più
cose di quelle che sapevo io alla tua età.

Ciao!

(Bruno)

Oh,wow!Perfetto Bruno,tutto chiaro,grazie per la spiegazione e complimenti per il lavoro!Ottimo!
Saludos barbudos,
Zeronf

...

In un vecchio numero di una rivista di matematica ricreativa, ho trovato (finalmente)
un articolo contenente una formula simile a quella che ho scritto più sopra.
In quel contesto, veniva utilizzata dall'autore per calcolare il numero delle distribuzioni
n a n di mxn elementi .

Questo è un caso trattato:
In quanti modi si possono distribuire 10 oggetti diversi fra 5 persone, dando 2 oggetti
a ciascuna?
La risposta fornita è: $\displaystyle \;{\text \footnotesize \{10\\2\}=\frac{10!}{5!\cdot 2!^5}=945}$,
dove al primo membro compare una notazione adottata per indicare il numero delle
distribuzioni cercate.

E così abbiamo anche un significato pratico per la frazione proposta da Pasquale.


(Bruno)

Ciao Bruno,
mi sembra che il risultato a:

"In quanti modi si possono distribuire 10 oggetti diversi fra 5 persone, dando 2 oggetti
a ciascuna? "

non sia 945.
Quella formula, secondo me non va bene.

Mi spiego:

Innanzitutto sappiamo che le combinazioni di 10 oggetti in classe 2 (presi a due a due) è:
${10\choose 2}=\frac{10!}{2!8!}=45$
Quindi coi 10 oggetti possiamo avere 45 diverse coppie.
Ora cominciamo a distribuire.
Dando ogni volta una coppia diversa alla 1° persona otteniamo già un minimo di 45 diversi modi di distribuire.

Poi ogni volta che diamo una coppia alla 1° persona, restano 8 oggetti che dobbiamo distribuire alle restanti 4 persone;
ora le possibili coppie che possiamo ottenere con 8 oggetti sono:
${8\choose 2}=\frac{8!}{2!6!}=28$
Dando ogni volta una coppia diversa delle 28, alla 2° persona, otteniamo già un minimo di 28 diversi modi di distribuire 8 oggetti tra 4 persone, a due a due.

Continuando, ogni volta che diamo una coppia alla 2° persona, restano 6 oggetti che dobbiamo distribuire alle restanti 3 persone;
ora le possibili coppie che possiamo ottenere con 6 oggetti sono:
${6\choose 2}=\frac{6!}{2!4!}=15$
Dando ogni volta una coppia diversa delle 15, alla 3° persona, otteniamo già un minimo di 15 diversi modi di distribuire 6 oggetti tra 3 persone, a due a due.

Infine, ogni volta che diamo una coppia alla 3° persona, restano 4 oggetti che dobbiamo distribuire alle restanti 2 persone;
ora le possibili coppie che possiamo ottenere con 4 oggetti sono:
${4\choose 2}=\frac{4!}{2!2!}=6$
Dando ogni volta una coppia diversa delle 6, alla 3° persona, otteniamo 6 diversi modi di distribuire 4 oggetti tra 2 persone, a due a due.
All'ultima persona è chiaro che vanno ogni volta i 2 oggetti che rimangono.

Per cui facendo i prodotti dei termini parziali ricavati si ha,

che il numero di modi in cui è possibile distribuire 10 oggetti tra 5 persone dandone 2 a ciascuna è:

${10\choose 2}\cdot {8\choose 2} \cdot {6\choose 2} \cdot {4\choose 2}=\frac{10!}{2!8!}\cdot\frac{8!}{2!6!}\cdot\frac{6!}{2!4!}\cdot\frac{4!}{2!2!}=45\cdot 28 \cdot 15 \cdot 6=113400$

Se&o

P.S.: Indicando con o1,o2,o3,o4,1P,2P,C1e C2, rispettivamente, 1°,2°,3° e 4° oggetto, 1° e 2° persona, e 1° e 2° distribuzione:

***______1P________2P
C1_____o1,o2______o3,o4
C2_____o3,o4______o1,o2

ho considerato diverse due distribuzioni come quelle nello schema qui sopra.

In ogni caso, anche volendo considerare uguali distribuzioni con le stesse coppie , ma distribuite in diverso ordine alle 5 persone, si ha un risultato diverso da 945.

Admin

...

Ops...

Ciao Pietro!
Sinceramente non ho messo in discussione il 945 e soprattutto la formula utilizzata,
in quanto li ho presi pari pari da un articolo pubblicato in un vecchissimo numero
del "Supplemento al Periodico di Matematica" (dove normalmente si trattavano
questioni di matematica ricreativa, e a proporle erano degli insegnanti).
Devo andare a controllare, ma devo innanzitutto vedere se da qualche parte
viene spiegato perché hanno utilizzato tale formula per rispondere a quel tipo di quesito.
E stasera cerco di leggere anche il tuo messaggio (ora me lo stampo).
Intanto grazie!
A presto,

Bruno

...

Pietro, non ho ancora avuto l'occasione di ragionare bene sulle tue osservazioni.
In compenso, però, sono finalmente riuscito a trovare una spiegazione relativa
all'origine della formula e alla sua utilizzazione, fornita dallo stesso autore del
quesito sulle distribuzioni dei dieci oggetti. Lo studioso è un certo Cardoso-Laynes,
un docente che scriveva all'inizio del secolo scorso sul "Supplemento al Periodico
di Matematica".
Vorrei approfondire l'argomento, ma ora non riesco proprio a farlo
Spero comunque che le immagini che ti allego siano di qualche aiuto (peraltro ho
fatto una bella fatica a renderle "allegabili", ma questo è un problema che riguarda
la mia scarsa destrezza informatica...)
Per adesso, ciao.
A presto,

Bruno


(Seguono due immagini "gif" allegate)

Belli questi allegati!
Grazie Bruno

in effetti lCardoso-Laynes dice:



e poi spiega il metodo che è uguale al mio, con la differenza che lui tratta il caso generale e lo spiega meglio.

Poi dice:



io invece avevo detto:

Admin ha scritto:In ogni caso, anche volendo considerare uguali distribuzioni con le stesse coppie , ma distribuite in diverso ordine alle 5 persone, si ha un risultato diverso da 945.

Mi sbagliavo!
infatti non tenendo conto dell'ordine dei gruppi, ovvero considerando uguali gruppi di 5 coppie uguali indipendentemente dalla disposizione delle coppie, si ottiene propio 945.
Lo stesso si verifica dividendo il valore da me trovato 113400 per 5!

$\frac {113400}{ 5!}=945$

Admin

P.S.: ma dove prendi tutti questi scritti datati? sono piuttosto rari, o possono essere reperiti?

...

Sono davvero contento che tu sia riuscito a persuaderti del risultato e soprattutto
del fatto che, con il tuo ragionamento, tu gli sia andato vicinissimo

Quando ho affrontato la questione di Pasquale non pensavo che potesse essere
collegata a quella di Cardoso-Laynes (che peraltro non avevo presente).
Una volta scritta la formula finale, mi sono accorto di averla già vista da qualche
parte e così ho trovato dove.

Conservo alcune decine di numeri del "Supplemento al Periodico di Matematica",
pubblicati fra l'Ottocento e il Novecento. Le ho comprate parecchi anni fa da uno
di quei signori che va per cantine a cercare cose antiche (o semplicemente vecchie)
da vendere.
Se non ricordo male, ho pagato questi fascicoli poche migliaia lire!
Incredibile, no?
Considerato che mi sono divertito molto a leggerli, già questo li rende infinitamente
più preziosi!

Penso che si possano reperire nelle biblioteche delle facoltà scientifiche (almeno
qui a Bologna si trovano).

E dopo tutto questo, un bel grazie a Pasquale per il suo quesito


(Bruno)