Intermezzi (quasi soprappensiero).

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

Intermezzi (quasi soprappensiero).

Messaggioda Bruno » gio nov 08, 2018 3:11 pm

a) Abbiamo le cifre da 1 a 9, in quest'ordine. Cambiare il posto a due di esse per formare un multiplo di 11.

b) Consideriamo il numero composto da 3333 cifre decimali uguali a 3. Che resto si ottiene dividendolo per 101?

c) Se $\;\frac{\Large \sqrt{44\cdot n^2+1} + 1}{\Large 2}\;$ è intero, allora è un quadrato perfetto.

d) Trovare tutte le coppie di interi positivi $\,(x,y)\,$ che soddisfano l’equazione $\,2\cdot x\cdot y + 7\cdot x - 5\cdot y - 1 = 0$.

e) Questi numeri 0, 3, 20, 33, 47, 66, 117, 146, 174, 209, 294, 339, 381, ... hanno una proprietà che li lega a 175². Qual è?

f) Arcibaldo, giocherellando con riga e compasso, ha realizzato la seguente figura geometrica.

a.jpg

Il triangolo evidenziato, secondo l'autore del disegno, è equilatero.
Cosa ne dite?

---------

Le considerazioni a monte del risultato sono più importanti del risultato stesso.
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Primo Intermezzo (non proprio soprappensiero).

Messaggioda panurgo » gio nov 08, 2018 6:03 pm

Perché un numero sia divisibile per $11$ occorre che la differenza tra la somma delle cifre pari e quella delle cifre dispari sia un multiplo di $11$.
Il numero $123456789$ ha i primi cinque numeri dispari in posizione dispari, totale $25$, e i primi quattro numeri pari in posizione pari, totale $20$.
Dobbiamo trovare due numeri $a$ e $b$, con $a\in\left\{1,3,5,7,9\right\}$ e $b\in\left\{2,4,6,8\right\}$, tali che

$\displaystyle \left(25-a+b\right)-\left(20-b+a\right)=11k$

ovvero

$\displaystyle b-a=\frac{11k-5}2$

Evidentemente $k$ deve essere dispari e non può che essere $1$ perché con $k=3$ avremmo $b-a=14$: deve perciò essere

$\displaystyle b-a=3$

cioè

$\displaystyle\left\{\begin{array}{lC}
\left\{1,4\right\}\quad\to\quad 423156789=11\times 38468799\\
\left\{3,6\right\}\quad\to\quad 126453789=11\times 11495799\\
\left\{5,8\right\}\quad\to\quad 123486759=11\times 11226069
\end{array}\right.$
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Secondo Intermezzo (soprappensiero?).

Messaggioda panurgo » gio nov 08, 2018 11:07 pm

Osservo che $303$ è divisibile per $101$ così come $3030$: la loro somma, $3333$, è anch'essa divisibile. Altrettando divisibili sono $33330000$, $333300000000$ ecc.

Osservo inoltre che il numero di cifre diviso $4$ da resto $1$ quindi il resto della divisione è $3$ (risultato confermato da wolframalpha)
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Quarto Intermezzo (soprappensiero, il giorno dopo...).

Messaggioda panurgo » ven nov 09, 2018 12:12 pm

Esprimiamo $x$ in funzione di $y$

$\displaystyle x=\frac{5y+1}{2y+7}$

Per $y=0$ è $x=\frac17$ ed è

$\displaystyle \lim_{y\to\infty}x=\frac52$

quindi $x$ può valere $1$ o $2$: il primo valore si ha per $y=2$ mentre il secondo si ha per $y=13$ e le coppie sono $\left(1,2\right)$ e $\left(2,13\right)$ :wink:
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Re: Intermezzi (quasi soprappensiero).

Messaggioda Bruno » ven nov 09, 2018 4:24 pm

Impeccabile :D

Mi hanno fatto molto ridere, Guido, le tue variazioni del titolo :wink:

Naturalmente, ci possono essere altri approcci.

Riguardo al punto d, ho preferito invece fermarmi su questa uguaglianza: (2·x - 5)·y = 1 - 7·x.
Poiché x e y sono positivi, anche il membro sinistro deve essere negativo, perciò è immediato
concludere che x possa solo assumere i valori 1 e 2.

Due parole anche sul punto b.
Si dimostra facilmente che se scriviamo n cifre uguali a 1, dividendo il numero ottenuto per 101
si possono avere i seguenti resti: 0 (per n ≡ 0 mod 4), 1 (per n ≡ 1 mod 4), 11 (per n ≡ 2 mod 4)
e 10 (per n ≡ 3 mod 4). Pertanto, quando il numero delle cifre è di tipo 4∙k+1 il resto è sempre 1
se consideriamo i numeri 11...11, 2 per 22...22, 3 per 33...33 etc. Nel nostro caso troviamo 3
proprio perché 3333 = 4∙833+1.
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Sesto Intermezzo (guidando soprappensiero: pensavo all'intermezzo).

Messaggioda panurgo » ven nov 09, 2018 4:51 pm

Ciascuna delle quattro figura blu è inscritta in un quadrante con il centro che giace su una bisettrice, data la loro simmetria. Se il raggio del cerchio grande è unitario allora il raggio dei cerchi piccoli vale $\sqrt2-1$, la base del triangolo vale $4-2\sqrt2$, la sua altezza vale $1$ e il lato vale $\sqrt{7-4\sqrt2}\neq 4-2\sqrt2$: il triangolo non è equilatero...
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Re: Intermezzi (quasi soprappensiero).

Messaggioda Bruno » sab nov 10, 2018 7:28 pm

È così :D

La questione è comunque interessante perché si tratta di un triangolo isoscele con angoli interni molto prossimi a 60°.
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