Integrale di 1/x per parti

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Laido

Integrale di 1/x per parti

Messaggio da Laido » sab dic 24, 2005 2:12 pm

Ciao a tutti!

Immagino sia un quesito stranoto, ma, cio nonostante, non ho trovato una soluzione:

Dov'è l'errore nel calcolare per parti l'integrale indefinito di 1/x?
\int\frac{1}{x}dx = \int{D(x)\frac{1}{x}}dx = x\frac{1}{x} -\int{xD(\frac{1}{x})dx = 1 +\int\frac{1}{x}dx;

Seguirebbe che 0 = 1... (brrr.)

Grazie e Buone Feste!

Laido
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P.S. Anche il forum nuovo! Ma l'username è rimasto o bisogna reiscriversi? Io ho latitato per qualche mese...

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Messaggio da Admin » sab dic 24, 2005 4:15 pm

OT:

Ho controllato nella lista utenti e, se il tuo username vecchio era Laido, non ci sei;
per cui penso tu ti debba reiscrivere.

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Tino
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Messaggio da Tino » sab dic 24, 2005 7:33 pm

Rieccomi sul forum! Era da un po' che non scrivevo.

Beh, la questione è alle soglie del filosofico. Si potrebbe sbrogliare così: di primitive una funzione non ne ha solo una, ma infinite; prese due primitive qualsiasi esse differiscono per una costante, viceversa per ogni numero reale c ci sono due primitive che differiscono di c.

Due funzioni F e G che sono primitive di una stessa funzione f hanno la caratteristica (caratterizzante) che F'=G'=f.

Ora, non si può negare che se F(x) è una primitiva di 1/x anche F(x)+1 è una primitiva di 1/x.

Oppure: di solito quando si integra per parti si mettono anche gli estremi di integrazione, se gli estremi sono a e b si ha

\displaystyle\int_a^b\frac{dx}{x}=1|_a^b+\int_a^b\frac{dx}{x}=1-1+\int_a^b\frac{dx}{x}=\int_a^b\frac{dx}{x}.

Oppure: da \int\frac{dx}{x}=1+\int\frac{dx}{x} segue che \int \frac{dx}{x}-\int\frac{dx}{x}=1, ovvero \int(\frac{1}{x}-\frac{1}{x})dx=1, ovvero \int 0dx=1.

E quest'ultima cosa è vera ma non esattamente il "vero" che intendiamo noi...

Ciaoo

Ah, OT: BUON NATALE A TUTTI!
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Ospite

Messaggio da Ospite » sab dic 24, 2005 9:41 pm

Grazie per la risposta!

Ma vuoi dire che non c'è un motivo più "serio" per il quale è errato compiere la sostituzione o uno qualunque dei suoi passaggi? Mi sembra davvero strano... E il ragionamento filosofico che hai esposto non mi è del tutto chiaro (ma sono io che ho qualche problema con le considerazioni/speculazioni teorico-matematiche)

Saluti!

P.S. Grazie admin... Appena ho tempo mi iscrivo.

Fabio

Messaggio da Fabio » mer dic 28, 2005 4:15 pm

Ragionando su quanto detto da Tino mi pare di capire questo:
integrale = qualcosa + c (costante arbitraria)

Nell'esempio 0 = 1 + c
Ma, se così fosse, c non sarebbe più arbitraria ma dovrebbe valere -1...
E' un problema interessante...

Saluti!

Fabio

Tino
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Messaggio da Tino » gio dic 29, 2005 8:26 pm

Per essere più chiaro: dire \int 0dx=1 è tanto strano quanto dire \int \frac{1}{x} dx=log(x) quanto dire \int \frac{1}{x} dx=log(x)+2 quanto dire \int \frac{1}{x}dx=log(x)-\frac{\sqrt{2}}{43} ecc.

In effetti è un problema di buona definizione. L'integrale per parti è definito con gli estremi di integrazione, perché \int f(x)dx è una famiglia di primitive di f, e quindi non si può dire \int \frac{dx}{x}=log(x)+c con c arbitrario perché \int \frac{dx}{x} non è una funzione, ma una famiglia di funzioni.
In realtà si dice lo stesso così, ma per non dover scrivere \int \frac{dx}{x}=\{log(x)+c\ |\ c \in \mathbb{R}\}
La legge che associa a una funzione una qualsiasi sua primitiva non è una funzione e soprattutto non è nemmeno una legge ben definita. Sarebbe come definire una legge che associa ad un numero intero un qualsiasi suo multiplo. Cosa vuol dire?

Non so se mi spiego (in realtà so che non mi spiego, acc :oops: ).

Ciao! :)
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Fabio

Messaggio da Fabio » lun gen 02, 2006 5:35 pm

Heilà!
La legge che associa a una funzione una qualsiasi sua primitiva non è una funzione e soprattutto non è nemmeno una legge ben definita. Sarebbe come definire una legge che associa ad un numero intero un qualsiasi suo multiplo. Cosa vuol dire?
Non so se mi spiego (in realtà so che non mi spiego, acc ).
Beh, almeno mi hai fatto intuire dov'è l'errore... Grazie! Una compressione più profonda e formalizzata immagino necessiti discussioni da filosofi della matematica... Problemi che lascio volentieri a Hilbert e compagnia :)

Salutoni e Buon Anno!

Fabio

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