Inquadrare le squadre

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

Bruno
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Inquadrare le squadre

Messaggio da Bruno »

...

Come si può ricoprire interamente il ripiano quadrato di un tavolo
utilizzando venti squadre uguali, sapendo che i cateti delle squadre
sono l'uno il doppio dell'altro e che l'area del ripiano è cinque volte
il quadrato del cateto maggiore?

Le squadre, naturalmente, non devono essere sovrapposte e si
possono trascurare le soluzioni ottenute da altre per riflessione e/o
rotazione.
(Bruno)

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panurgo
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Messaggio da panurgo »

Immagine
il panurgo

Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
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delfo52
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Messaggio da delfo52 »

posso tentare una descrizione del ragionamento?

abbiamo alcuni di fatto certi, e utili
1)abbiamo a disposizione segmenti di lunghezza 1-2-radicedi5
2)il lato del tavolo quadrato è due volte radicedi5
3)i due angoli non retti, sono complementari

per la 1) e la 2) posiamo sapere che lungo i lati del tavolo devono giacere due ipotenuse.
Ciò comporta che negli angoli (retti) del tavolo non possono stare gli angoli retti delle squadre, ma
per la 3), anche senza valutazioni trigonometriche, e senza approfondire quanto valgono i singoli angoli, possiamo essere certi che ad ogni vertice del tavolo devono convergere due triangoli, uno dalla parte della punta fine e uno dall'altro

Per ogni angolo del tavolo abbiamo perciò una coppia obbligata di squadre, che possono essere poste con le punte sottili in senso orario, o in senso antiorario.
Ne consegue che si possono dare quattro situazioni:
a) tutti in uno stesso senso
b) tre in un senso e uno al contrario
c) due e due alternati
d) due adiacenti in un senso e gli altri due nell'altro

Posizionando le prime otto squadre come in a), rimane sgombra in mezzo una parte "a croce" di facile risoluzione (in due modi; vedi Panurgo)
Le altre sombinazioni, almeno ad una prima e seconda occhiata, non portano buoni frutti.

Avevi ragionato anche tu, più o meno, così ?
Enrico

Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

Ottimo Panurgo!

Altre soluzioni?

Interessanti anche le considerazioni di Enrico, che ora stampo
per focalizzarle meglio appena ho un attimo.


(Bruno)
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panurgo
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Messaggio da panurgo »

Bruno ha scritto:...Altre soluzioni?
congetturerei di no...
il panurgo

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Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

Guardando il tuo secondo disegno, Panurgo, potrei immaginare
questo (dimmi se sbaglio):
> il tavolo è diviso a metà da una delle tre linee interne che hai
rimarcato
> tengo ferma la disposizione delle squadre in una delle due metà
> sistemo le squadre nell'altra metà in maniera simmetrica alla
parte presa come riferimento, rispetto alla linea mediana del tavolo.
A questo punto dovrei vedere una specie di "cuneo".
Purtroppo non sono in grado, al momento, di fare dei disegni, ma
penso che questa sia un'altra possibilità.
Sarà l'ultima?
(Bruno)

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panurgo
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Messaggio da panurgo »

qualcosa del genere?

Immagine
il panurgo

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Messaggio da Bruno »

...

Yesss :D
Bello... un diamante!

Ma allora esistono altre nuove soluzioni, variando l'orientamento
di alcune squadre...
(Bruno)

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delfo52
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Messaggio da delfo52 »

belle davvero.
Si inseriscono nel mio "percorso" nella categoria d) con le squadre angolari poste in dua angoli, adiacenti, in senso antiorario e negli altri due in senso orario.
Enrico

Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

$\text { }$Immagine
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

delfo52
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Messaggio da delfo52 »

sottocategoria a) (senso orario)
Enrico

Bruno
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Messaggio da Bruno »

...ma quante diverse soluzioni ci saranno ancora?
Grande Pasquale :D
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Messaggio da panurgo »

Vi sono quattro modi di disporre le otto squadre esterne (senza contare rotazioni e riflessioni)

Immagine

Le squadre disegnate all'interno degli esoscheletri sono mosse obbligate: i due esoscheletri di sinistra possono essere riempiti, quelli di destra no.

La croce può essere riempita in due modi diversi senza contare le rotazioni e le riflessioni sia della croce sia delle squadre all'interno dei rettangoli; la farfalla può essere riempita in un solo modo

Immagine

Vi sono quindi solo tre modi di quadrare le squadre.

Se si considerano diverse le configurazioni Immagine e Immagine, vi sono tredici configurazioni diverse con la prima croce (nelle figura successive, rettangoli di colore diverso hanno configurazioni opposte)

Immagine
Immagine
Immagine
Immagine
Immagine

quindici configurazioni con la seconda croce

Immagine
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Immagine
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Immagine

e sei con la farfalla

Immagine
Immagine

In totale, 34 (sempre senza contare rotazioni e riflessioni e, sempre, se non ho cannato... :roll: )
il panurgo

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Messaggio da delfo52 »

grandioso lavoro !
Con riferimento alle otto squadre che concorrono ai quattro angoli, risulta pertanto che la soluzione esiste solo se sono tutte nello stesso senso (orario o anti), ose sono quattro a quattro, con due angoli adiacenti occupati per ogni senso.
Non si hanno soluzioni per angoli alternati, o per angoli divisi 3-1

la grande maggioranza di soluzioni possibili con la 4-0 rende ragione della maggiore difficoltà a scovare quelle "a farfalla"
E rende ancora maggiore il merito di Panurgo
Enrico

Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

Mi unisco immediatamente a Enrico, Panurgo: m e.r.a.v.i.g.l.i.o.s.o!
Mi sembra proprio che tu abbia ben definito la questione :D
(Bruno)

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