In mancanza di meglio

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panurgo
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In mancanza di meglio

Messaggio da panurgo » lun dic 12, 2005 11:54 pm

Posto come nuovo argomento la risposta al quesito di delfo52 poiché non mi riesce di connettermi con il suo :?

Immagine

Con riferimento alla figura,

\overline {\rm AB} = \overline {\rm AA’} \; \sin \alpha

\overline {{\rm BH}}  = \overline {{\rm AB}} \; \tan \left( {\frac{\pi }{2} - 2\alpha } \right) = \overline {{\rm AB}} \; \cot 2\alpha  = \overline {{\rm AA’}} \; \sin \alpha \; \cot 2\alpha  = \overline {{\rm AA’}} \; \sin \alpha \frac{{\cot ^2 \alpha  - 1}}{{2\cot \alpha }}

e quindi l’area del triangolo {\rm ABH} vale

\frac{1}{2}\overline {{\rm AB}}  \times \overline {{\rm BH}}  = \overline {{\rm AA’}} ^2 \; \sin ^2 \alpha \frac{{\cot ^2 \alpha  - 1}}{{4\cot \alpha }} = \overline {{\rm AA’}} ^2 \frac{{\cos ^2 \alpha  - \sin ^2 \alpha }}{{4\cot \alpha }}

mentre

\overline {{\rm AO}}  = \frac{1}{2}\overline {{\rm AA’}}

\overline {{\rm OH}}  = \overline {{\rm AO}} \; \tan \alpha  = \frac{1}{2}\overline {{\rm AA’}} \; \tan \alpha

e quindi l’area del triangolo {\rm AOH} vale

\frac{1}{2}\overline {{\rm AO}}  \times \overline {{\rm OH}}  = \overline {{\rm AA’}} ^2 \frac{1}{8}\tan \alpha

Il rapporto tra le due aree vale

r = \frac{{\overline {{\rm AB}}  \times \overline {{\rm BH}} }}{{\overline {{\rm AO}}  \times \overline {{\rm OH}} }} = \frac{{\frac{{\cos ^2 \alpha  - \sin ^2 \alpha }}{{4\cot \alpha }}}} {{\frac{1}{8}\tan \alpha }} = 2\frac{{\cos ^2 \alpha  - \sin ^2 \alpha }}{{\tan \alpha \; \cot \alpha }} = 2\left( {\cos ^2 \alpha  - \sin ^2 \alpha } \right)

Senza usare la trigonometria, considerando il punto {\rm H} variabile sul raggio verticale in {\rm O}

Immagine

il triangolo {\rm A’}{\rm BA} è simile al triangolo {\rm AOH} per cui si ha

\frac{y}{x} = \frac{b}{a}

ma vale anche

a^2  + b^2  = c^2

cioè

\left( {\frac{{x^2 }}{{y^2 }} + 1} \right)b^2  = c^2 \quad  \Leftrightarrow \quad b = \frac{{cy}}{{\sqrt {x^2  + y^2 } }} = \frac{{2xy}}{z}

l’area del triangolo {\rm ABH} vale

\frac{{b\sqrt {z^2  - b^2 } }}{2}

mentre quella del triangolo {\rm AOH} vale \frac 1 2 xy e il rapporto tra le due aree vale

r = \frac{b}{{xy}}\sqrt {z^2  - b^2 }  = 2\frac{{x^2  - y^2 }}{{x^2  + y^2 }}

dove x è il raggio del cerchio e y è la variabile.

Con la sostituzione

\left\{ \begin{array}{c} x = z \quad \cos \alpha  \\ y = z \quad \sin \alpha  \\ \end{array} \right.

si verifica l’equivalenza delle due soluzioni.
Ultima modifica di panurgo il mar dic 13, 2005 8:03 am, modificato 1 volta in totale.
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Messaggio da delfo52 » mar dic 13, 2005 12:13 am

grazie Pan della esauriente elaborazione; mi spiace dover rilevare un refuso: sotto la seconda figura si fa riferimento al triangolo A'BH invece che, ritengo, a A'BA
Enrico

panurgo
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Messaggio da panurgo » mar dic 13, 2005 8:08 am

grazie del: ho provveduto a correggere il refuso.


P.S.: è davvero un peccato che tu ti professi pigro; fare disegni come quelli che vedi nella mia risposta è questione di un attimo utilizzando geogebra (http://www.geogebra.at/).
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Messaggio da peppe » sab dic 17, 2005 3:51 pm

Per chi vorrebbe (ma non osa chiedere),conoscere il codice usato da panurgo per costruire le belle formule di questo topic,ci ho pensato io,perché non avevo niente di meglio da fare.

Ovviamente occorre ricordarsi dei tag tex e /tex (racchiusi nelle parentesi quadra [ ] )


Da topic In mancanza di meglio ecco a voi il panurgocodice:

\overline {\rm AB} = \overline {\rm AA’} \; \sin \alpha

\overline {{\rm BH}} = \overline {{\rm AB}} \; \tan \left( {\frac{\pi }{2} - 2\alpha } \right) = \overline {{\rm AB}} \; \cot 2\alpha = \overline {{\rm AA’}} \; \sin \alpha \; \cot 2\alpha = \overline {{\rm AA’}} \; \sin \alpha \frac{{\cot ^2 \alpha - 1}}{{2\cot \alpha }}

{\rm ABH}

\frac{1}{2}\overline {{\rm AB}} \times \overline {{\rm BH}} = \overline {{\rm AA’}} ^2 \; \sin ^2 \alpha \frac{{\cot ^2 \alpha - 1}}{{4\cot \alpha }} = \overline {{\rm AA’}} ^2 \frac{{\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha }}{{4\cot \alpha }}

\overline {{\rm AO}} = \frac{1}{2}\overline {{\rm AA’}}

\overline {{\rm OH}} = \overline {{\rm AO}} \; \tan \alpha = \frac{1}{2}\overline {{\rm AA’}} \; \tan \alpha

\frac{1}{2}\overline {{\rm AO}} \times \overline {{\rm OH}} = \overline {{\rm AA’}} ^2 \frac{1}{8}\tan \alpha

r = \frac{{\overline {{\rm AB}} \times \overline {{\rm BH}} }}{{\overline {{\rm AO}} \times \overline {{\rm OH}} }} = \frac{{\frac{{\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha }}{{4\cot \alpha }}}} {{\frac{1}{8}\tan \alpha }} = 2\frac{{\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha }}{{\tan \alpha \; \cot \alpha }} = 2\left( {\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha } \right)

{\rm A’}{\rm BA}

\frac{y}{x} = \frac{b}{a}

\left( {\frac{{x^2 }}{{y^2 }} + 1} \right)b^2 = c^2 \quad \Leftrightarrow \quad b = \frac{{cy}}{{\sqrt {x^2 + y^2 } }} = \frac{{2xy}}{z}

\frac{{b\sqrt {z^2 - b^2 } }}{2}

r = \frac{b}{{xy}}\sqrt {z^2 - b^2 } = 2\frac{{x^2 - y^2 }}{{x^2 + y^2 }}

\left\{ \begin{array}{c} x = z \quad \cos \alpha \\ y = z \quad \sin \alpha \\ \end{array} \right.
+++
Vertiginoso!!...infatti mi gira la testa.

Scusate il disturbo. :lol:

Ciao.
«Un uomo è come una frazione il cui numeratore è quello che è, e il cui denominatore quello che pensa di sé.
Più grande è il denominatore, minore la frazione.» Lev Nikolàevič Tolstòj(1828-1910).

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