Il teorema di Lowry-Wallace-Bolyai-Gerwein

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Nicola
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Il teorema di Lowry-Wallace-Bolyai-Gerwein

Messaggio da Nicola »

E' abbastanza evidente che se scomponiamo un poligono A in un numero finito di parti poligonali e poi ricombiniamo le parti per costruire un poligono B, i poligoni A e B hanno aree uguali.

Meno evidente è la proprietà inversa: se due poligoni A e B hanno aree uguali, allora si può sempre scomporre il primo in un numero finito di poligoni che si ricombineranno per formare il secondo.

Questo è in sostanza l'enunciato del teorema di Lowry-Wallace-Bolyai-Gerwein: due poligoni sono scomponibili per dissezione poligonale se, e soltanto se, hanno la stessa area.

Non nascondo che mi piacerebbe tanto leggerne una dimostrazione.
Nicola.
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delfo52
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Messaggio da delfo52 »

alcune modeste idee per un approccio "pratico" al problema.
le espongo impunemente, senza alcuna pretesa che siano utili.
Primo passo: trasformare le figure eventulmente concave in altre equiestese convesse, con opportuni tagli e riaccostamenti.
Sovrapporre le due figure, in una qualche maniera "algoritmizzabile", nel senso che, date le figure, esista una e una sola sovrapposizione.
Es.: disporre le figure con il lato più lungo orizzontale, nella parte bassa della figura; in caso di lati uguali, prendere quello con somma degli angoli adiacenti maggiore.
far combaciare i due estremi di sinistra.
asportare da entrambe le figure la parte sovrapposta.
reiterare il procedimento con "gli avanzi", prima ricomponendo e poi sovrapponendo.

il vantaggio di lavorare con poligoni convessi, viene dal numero ridotto di "parti eccedenti" che avanzano ad ogni sovrapposizione; mi sembra che non possano mai essere più di due per poligono ( e forse mai due in entrambi).

Il problema è di dimostrare che il procedimento finisce in un numero "finito" di mosse.
Enrico

Daniela
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Messaggio da Daniela »

Carissimo Nicola scusami il ritardo nella risposta e scusatemi tutti se sono un po' assente dal forum, sono dei giorni con un sacco di impegni, e a proposito, appena posso mi rimetto a scrivere recuperi,

non ho ben capito se desideri convincerti del teorema, se vuoi una dimostrazione (immagino che la si trovi... non ho tanta voglia di buttarla giu' su due piedi... anzi su quattro :twisted: ) se vuoi una dimostrazione costruttiva che ti dica come fare esplicitamente una costruzione (magari quella ottimale!) se vuoi una stima in un caso "medio" di quanti pezzi ci vogliono, se vuoi un limite superiore per il numero di sezioni, o quant'altro. Visto che non ho voglia di fare di piu', provo a trasmetterti l'impressione che il teorema e' vero. innanzitutto dovresti essere convinto gia' ora che il numero di triangolini che ci vuole e' al piu' numerabile, dal momento che stiamo parlando di poligoni e non di figure curvilinee. Da li' e' un passetto piccolopiccolo convincerti che sono in realta' finiti, dal momento che sia la figura di partenza che quella di arrivo e' un poligono e non una poligonale cattiva, ha un numero finito di lati e angoli, e' domestica, non morsica, quindi per esempio le orientazioni di tutte, tutte, tutte le rette su cui giacciono i segmentini saranno linearmente generati da una base finita su Q (razionali), lo stesso per l'altra figura, e finito con finito da' finito per il Teorema Fondamentale "Non si puo' cavare sangue dalle rape". :twisted: :twisted: :twisted: :twisted: :twisted:
Daniela
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Nicola
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Messaggio da Nicola »

Vorrei ringraziare Enrico per la replica illuminante, e, in particolare, Daniela per aver esposto con estrema semplicità il perché della finitezza delle scomposizioni. Mi scuso anche del ritardo con cui giunge la mia risposta.

Premetto che non conoscevo il teorema di LWBG prima di leggere un libercolo interessante dal titolo "Sorprese della matematica", ove detto teorema viene enunciato e non dimostrato. Si parla soltanto del fatto che la dimostrazione generale, data indipendentemente da tutti e quattro questi signori nel corso del XIX secolo, sfocia in scomposizioni che comprendono "un numero eccessivamente alto" di pezzi, per cui se ne cercano di più "economiche". Un'altra nota: come già osservato da Daniela, se le figure hanno bordi curvilinei il teorema non garantisce più che esista una scomposizione.

Ho provato a fare delle ricerche in rete. Per la verità ho trovato ben poco, eccezion fatta per questi risultati correlati con l'argomento: link1 e link2.
Nicola.
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0-§
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Messaggio da 0-§ »

In un libro dei tanti di Martin Gardner,si parla della dimostrazione di Hilbert ,"lunghetta ma non difficile",del fatto che un poligono P può sempre essere suddiviso in sotto-poligoni per ottenere,ricomponendoli,un qualsiasi nuovo poligono Q avente area uguale a P.Il metodo proposto da Hilbert (che non garantisce di trovare la soluzione avente il minor numero di pezzi,ma solo di trovare una soluzione)consiste a grandi linee in:
1)dividere P in triangoli più piccoli "tagliando" lungo alcune diagonali (cosa sempre possibile,scegliendo opportunamente le diagonali per il taglio);
2)siccome é possibile trasformare un triangolo T in un qualsiasi rettangolo R di base data e avente area pari a T usando un numero finito di tagli(affermazione tutta da dimostrare,come quella della divisione in triangoli via diagonali,ma ne riparliamo alla fine della dimostrazione),si tagliuzzano finemente i triangolini nati dalla prima frammentazione di P e li si riassembla per ottenere tanti rettangoli di altezza variabile ma di base B fissa(che per ora possiamo scegliere arbitrariamente).
3)A questo punto ripetiamo le operazioni di cui ai punti 1) e 2) sul poligono Q,ma ponendo come base fissa per i vari rettangolini risultanti la base B scelta in precedenza.
4)Mettiamo "in colonna" i rettangoli nati dalla suddivisione di P e di Q,in modo da ottenere da ciascuno dei poligoni iniziali un rettangolone (avente base ovviamente pari a B):se le aree dei due poligoni P e Q erano uguali,anche l'altezza dei due rettangoli(chiamiamoli rispettivamente P' e Q') dovrebbero essere uguali e quindi P' e Q' congruenti.
5)A questo punto é davvero facile:sovrapponiamo lo schema di fratture e ricuciture di P' e di Q' e rifacciamo all'inverso il processo che da P ci ha portati al rettangolone P',lasciando sui vari pezzi i segni delle suddivisioni di Q'.Voilà!Avete suddiviso P in modo da risolvere il problema.
Ora,se siete riusciti a seguirmi mentalmente nella mia descrizione del processo,avrete come immagine finale il povero P maciullato in una miriade di pezzetti.Se in un problema pratico volete evitare che il numero di pezzi (e la conseguente difficoltà di comprensione) crescano eccessivamente,dovete tagliare P e Q nel minor numero possibile di triangoli con le diagonali e cercare una base B che mantenga basso il numero di pezzi necessari:ma rimane che il metodo di Hilbert,per quanto valido,pone il grosso problema di frammentare eccessivamente il poligono.Come vi ho già accennato,ci sono alcuni passaggi su cui una persona pignola potrebbe chiedere dimostrazioni più matematiche,ma credo che già così sia sufficiente a convincerci della bontà del teorema di Lowry-Wallace-Bolyai-Gerwein-e anche Hilbert,of course.En passant,ricordo che non é possibile estendere il problema alle tre dimensioni,con tagli e ricuciture di poliedri:le ricerche in tal senso sono state abbandonate quando si é dimostrata l'impossibilità di trasformare un prisma in un tetraedro.
Bon,salvo errori,omissioni o boiate vere e proprie dovute alla stanchezza,credo di aver detto la mia anche per oggi...'notte gente
Saluti(e benvenuto a Nicola),
Giovanni
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.

-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox

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