Il serpente attorno all'albero

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bautz
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Il serpente attorno all'albero

Messaggio da bautz » mar set 26, 2006 9:10 am

Dalla sezione "I due stiliti ed altre ricreazioni pitagoriche"

2. Il serpente attorno all'albero
Un albero alto 2 zhang ha un tronco cilindrico di circonferenza 3 chih.
Un serpente si arrotola a spirale sette volte attorno al tronco e raggiunge la sua cima.
Quanto è lungo il serpente?
Per semplicità immaginiamo di fare lo sviluppo della superficie del tronco, tagliandolo e aprendolo.

Ottengo un rettangolo lungo 3 chih e alto 7 zhang (non conosciamo però il rapporto tra hih e zhang (sono 2 unità di misura diverse)).

In rosso è segnato la forma del corpo del serpente, ovvero diagonali di tanti rettangoli quante le spire del serpente.
Quindi per calcolare la lunghezza si calcola una diagonale (triangolo rettangolo) e la si moltiplica per 7.

7*[(2 zhang /7)^2 + (3 chih)^2]^(1/2)

(nel disegno ho scritto la formula in modo più leggibile):

Immagine

Pol
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Re: Il serpente attorno all'albero

Messaggio da Pol » lun ago 18, 2008 6:55 pm

Nota: avevo erroneamente aperto un altro post per questo problema. Ne copio qui il contenuto pari pari e cancello l'altro.

Orbene.
Il problema all'inizio mi è sembrato complicato. Poi, semplice. Poi banale. In realtà ho trovato due metodi risolutivi, uno complesso e basato su un'approccio a forza bruta, uno riflettuto appena 5 minuti di più e di immediata comprensione ed innegabile eleganza :wink: . Li riporto entrambi di seguito.

In entrambi i casi ho eseguito dei calcoli simbolici, non essendo familiare con zhang e chih.

Primo approccio
n,h,c,r\in\Re
Il serpente descrive una spirale di n giri (non necessariamente un numero intero) attorno all'albero di altezza h e circonferenza c. Il raggio del tronco è ovviamente r=\frac{c}{2\pi}.
Parametrizziamo il serpente: \Gamma=\left{\left(r\cos\theta;r\sin\theta,\alpha\theta\right)\in\Re^3 : 0\leq\theta\leq n2\pi, 0\leq\alpha\theta\leq h, \alpha\in\Re\right} è una curva che descrive proprio una spirale. Le due condizioni significano rispettivamente che la serpe s'ha da arrestare all'n-esimo giro e in quell'istante \alpha\theta deve corrispondere all'altezza h, per un \alpha opportuno. Tale costante opportuna si ricava subito dall punto finale della curva: dalle diseguaglianze di ricava \theta=n2\pi=\frac{h}{\alpha} dunque \alpha=\frac{h}{n2\pi}. Riscriviamo la curva in modo più ordinato: \Gamma=\left{\left(r\cos\theta;r\sin\theta,\frac{h}{n2\pi}\theta\right)\in\Re^3 : 0\leq\theta\leq n2\pi\right}. Derivandola abbiamo \Gamma'=\left{\left(-r\sin\theta;r\cos\theta,\frac{h}{n2\pi}\right)\in\Re^3 : 0\leq\theta\leq n2\pi\right}. Vediamo cos'è il suo differenziale d'arco (la norma euclidea in \Re^3 della derivata, in pratica): d\sigma=\left|\left|\Gamma'\right|\right|=\sqrt{r^2\sin^2\theta+r^2\cos^2\theta+\left(\frac{h}{n2\pi}\right)^2}d\theta=\sqrt{r^2+\left(\frac{h}{n2\pi}\right)^2}d\theta. Roba da non credere. una costante. Meglio di così si muore... :lol: Ora calcoliamo la lunghezza della curva, integrando il differenziale tra gli estremi opportuni (0\leq\theta\leq n2\pi): L_\Gamma=\int^{n2\pi}_0 d\sigma=\int^{n2\pi}_0\sqrt{r^2+\left(\frac{h}{n2\pi}\right)^2}d\theta=\left|\theta\sqrt{r^2+\left(\frac{h}{n2\pi}\right)^2}\right|^{n2\pi}_0=n2\pi\sqrt{r^2+\left(\frac{h}{n2\pi}\right)^2}=n\sqrt{4\pi^2r^2+\left(\frac{h}{n}\right)^2}=n\sqrt{c^2+\left(\frac{h}{n}\right)^2}.

Fine. Laborioso, ma funziona. Tuttavia la forma del risultato mi era sembrata familiare, e così sono arrivato al

Secondo approccio
Immaginiamo di scorticare l'albero: tagliamo la corteccia parallelamente all'altezza e la stendiamo. Otteniamo un quadrilatero, altezza h, base c. Dividiamolo in n parti di uguale altezza \frac{h}{n} con dei tagli paralleli alla base. Il serpente scorrerà proprio sulle diagonali di questi quadrilateri (provate a riavvolgere la corteccia dopo averle marcate con un pennarello: formano una spirale). Ergo, la lunghezza del serpente sarà la somma delle diagonali, ovvero, per Pitagora, n\sqrt{c^2+\left(\frac{h}{n}\right)^2}.

Decisamente più semplice.

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