Il quiz odierno

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Br1
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Il quiz odierno

Messaggio da Br1 » mar apr 10, 2007 3:23 pm

Oggi è il 10 aprile 2007 (ta-ta-ta-taaann... :mrgreen:),
che potremmo anche riscrivere come 10042007.

Bene.
Prendiamo adesso questi numeri freschi di
giornata:

\large p = \frac{10042007^{n}+10042006^{n}}{10042007^{n-2}+10042006^{n-2}}\,,

con \small n\, > \,1 naturale.

Se \small p è intero, allora p-{\small 3}\cdot{\small 10042006} è un quadrato
perfetto.
Bruno

karl
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Messaggio da karl » gio apr 12, 2007 3:25 pm

Propongo una soluzione un po' ...bislacca.
Intanto generalizzo la questione sostituendo 10042006 con un generico
reale a (non nullo).
Per la divisibilita' deve essere:
(a+1)^n+a^n=[(a+1)^{n-2}+a^{n-2}](a^2+qa+1)
con q ed n da determinare.
Svilluppando qualche calcolo si trova:
(a+1)^n-(a+1)^{n-2}(a^2+qa+1)=qa^{n-1}+a^{n-2}
Oppure:
(a+1)^{n-2}[a+1)^2-a^2-qa-1]=qa^{n-1}+a^{n-2}
E cioe' (dividendo per a):
(1) (2-q)(a+1)^{n-2}=qa^{n-2}+a^{n-3}
Poiche' a e' generico i coefficienti di a^(n-2) , presenti nei due membri,
devono essere uguali:
2-q=q,q=1
In tal modo la (1) diventa:
(a+1)^{n-2}=a^{n-3}(a+1),oppure:
(a+1)[(a+1)^{n-3}-a^{n-3}]=0
Sempre per l'arbitrarieta' di a quest'ultima relazione e' valida sse risulta
n=3
Pertanto abbiamo:
P-3a=a^2+a+1-3a=(a-1)^2
Mi scuso preventivamente se avessi scritto sciocchezze.
Al contempo ringrazio Bruno per gli apprezzamenti,sicuramente ben oltre
i miei effettivi meriti,che mi ha voluto fare e saluto lui e tutti gli amici
di questo splendido Forum.
karl

Br1
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Messaggio da Br1 » gio apr 12, 2007 3:54 pm

Altroché bislacca, Karl!
Il risultato è proprio quello :D
A presto!
Bruno

Pasquale
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Messaggio da Pasquale » ven apr 13, 2007 8:53 pm

Ciao Karl, contraccambio i saluti: sei forte papà!
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\text {     }ciao Immagine ciao
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