Ho inserito questo problema anche nella Home di BASE Cinque.

Thomas Rayner Dawson, nel 1916, fu (forse) il primo a porre il problema dei quattro quattro in termini più generali.

E' possibile, utilizzando quattro R e le operazioni/funzioni aritmetiche, esprimere i numeri interi da 0 a 10?
R è una variabile che sta per un numero naturale qualsiasi.

Sono ammesse le quattro operazioni, i radicali, l'elevamento a potenza, il fattoriale, il punto decimale.
Per esempio:









...
Altre soluzioni?
Oppure alcune sono impossibili?

Intanto aggiungerei:

6 = ((R+R+R):R)!
9 = R:(.R) - R:R
10 = R:(.R) + R - R



Scusa Gianfranco, a parte quello che ci si potrebbe fare, quando dici che sono ammesse le potenze, gli indici sono liberi o è ammessa solo la R, come una fra le quattro?

Ciao Pasquale,
grazie per i risultati.
è ammessa la radice quadrata perché l'indice non è scritto. Negli altri casi è ammesso solo l'uso di R.

Purtroppo non ho il testo originale del problema ma solo una citazione telegrafica di Singmaster.
Ne abbiamo parlato anche con Bruno e forse è meglio semplificare il problema ammettendo che R possa essere solo un numero positivo di una cifra, cioè:

Si, l'avevo notato e stavo lavorando su singoli valori fra 1 e 9, ma anche 10, considerato che .1 e .10 sono uguali, quando ho notato, a titolo di curiosità, che per ottenere 9 o 10, R potrebbe anche assumere valori interi qualsiasi fra 1 e 100, ma anche qualsiasi altro valore corrispondente a numeri con 4n cifre . Es:





Comunque, vediamo con quali fra i vari numeri che avete deciso di considerare sia possibile ottenere quanto richiesto:

0 = 1-1+1-1
1 = 1*1*1*1
2 = (1+1)*1°1
3 = (1+1+1)*1
4 = 1+1+1+1
5 = [1:(.1)]:(1+1)
6 = [(1+1+1)*1]!
7 = (1+1+1)! + 1
8 = 1:(.1) -1-1
9 = 1:(.1) - 1*1
10 = 1:(.1) +1-1

0 = 2-2-2-2
1 = 2*2:2*2
2 = 2:2+2:2
3 = 2*2 - 2:2
4 = 2*2*2:2
5 = 2*2+2:2
6 = 2*2*2-2
7 = 2:(.2*2) + 2
8 = 2^2 + 2^2
9 = 2:(.2) - 2:2
10 = 2:(.2) +2-2

0 = 3-3+3-3
1 = (3+3):(3+3)
2 = 3:3 + 3:3
3 = (3+3+3):3
4 = 3:(.3) -3-3
5 = 3+3 - 3:3
6 = 3+3+3-3
7 = 3+3+3:3
8 = 3!+3-3:3
9 = 3:(.3)-3:3
10 = 3:(.3) +3-3

0 = 4+4-4-4
1 = (4+4):(4+4)
2 = (4:4)+(4:4)
3 = (4+4+4):4
4 = 4 + 4(4-4)
5 = (4!):4 - 4:4
6 = (4!):4 +4-4
7 = 4+4-4:4
8 = 4+4+4-4
9 = 4+4+4:4
10 = 4:(.4)+4-4

0 = 5-5+5-5
1 = (5+5):(5+5)
2 = 5:5 + 5:5
3 = (5+5+5):5
4 = 5 - 5^(5-5)
5 = 5 + 5(5-5)
6 = 5 + 5^(5-5)
7 = (5+5):5 + 5
8 = (5!):(5+5+5)
9 = 5+5 - (5:5)
10 = 5+5+5-5

0 = 6-6+6-6
1 = (6+6):(6+6)
2 = 6:6 + 6:6
3 = (6+6+6):6
4 = 6-(6+6):6
5 = 6 - 6^(6-6)
6 = 6 + 6(6-6)
7 = 6 + 6^(6-6)
8 = 6 + (6+6):6
9 = 6:(.6) - (6:6)
10 = 6:(.6) +6-6

0 = 7-7+7-7
1 = 7*7:7*7
2 = 7:7 + 7:7
3 = (7+7+7):7
4 = 7+7 - 7:(.7)
5 = 7 - (7+7):7
6 = 7 - 7^(7-7)
7 = 7 + 7(7-7)
8 = 7 + 7^(7-7)
9 = 7:(.7) - 7:7
10 = 7:(.7) +7-7

0 = 8-8+8-8
1 = 8*8:8*8
2 = 8:8+8:8
3 = (8+8+8):8
4 = 8:[(8+8):8)]
5 = + 8:8
6 = 8 - (8+8):8
7 = 8 - 8^(8-8)
8 = 8*8^(8-8)
9 = 8:(.8 ) - 8:8
10 = 8:(.8 ) +8-8

0 = 9-9+9-9
1 = 9*9:9*9
2 = 9:9 + 9:9
3 = (9+9+9):9
4 = + 9^(9-9)
5 = -9:9
6 = +9-9
7 = 9 - (9+9):9
8 = 9 - 9^(9-9)
9 = 9:(.9) -9:9
10 = 9:(.9) +9-9

Qui sopra è possibile esaminare l'ultima versione, riveduta e corretta del quesito completamente risolto a mente più fresca.
Molto probabilmente la generalizzazione con la R non è possibile.

Ciao,
ho provato a risolvere i numeri mancanti.
Queste le mie soluzioni (spero lecite...):

4 = (R:R+R.R)^2
5 = (R+R/R)^2-R^0
7 = (R+R/R)^3-R^0
8 = [(R+R)^3*R]/R^4

Saluti e grazie in anticipo per eventuali commenti.

Gaetano

ops...correggo la scrittura:

5 = [(R+R)/R]^2-R^0

scusate...continuo a sbagliare...

5 = [(R+R)/R]^2+R^0

anche il 7 è da rivedere...
7 = [(R+R)/R]^3-R^0

ciao

Ciao Gaetano. Nelle formule risolutive è possibile utilizzare soltanto il simbolo R così come specificato da Gianfranco giovedì 21 febbraio 2019 - 14:33 in risposta ad un mio quesito su tale argomento. L'unico indice ammesso è quello della radice quadrata, per il fatto che normalmente non si usa scriverlo.
Inoltre e purtroppo le R devono essere quattro, altrimenti con più R sarebbe stato possibile rappresentare ad esempio il 5 in vari modi:

5 = [(R+R)/R]^[(R+R)/R] + R/R

5 =

5 = [(R+R+R)/R]! - R/R

5= (R+R+R+R+R)/R

5 = [R:(.R)]:[(R+R)/R

Ad ogni modo, da parte mia, benvenuto su questo Forum. C'è modo di potersi divertire se ti piace la materia, come sembra che sia. Puoi risolvere dei quesiti e magari postarne tu da far risolvere ad altri. Col tempo puoi esplorare oltre il Forum, ove trovi pure quesiti postati anni addietro, anche il sito di Base5 da cui nacque il Forum.
Attraverso l'indice sono disponibili altri accessi ed insomma non c'è da annoiarsi.

Ciao.
Ci riprovo con l'8...
8 = (R-.R-.R)/.R

Che ne dite?

Direi "MOLTO BELLO" e che spesso con un po' di fantasia si può andare lontano

Naturalmente, come è stato stabilito anche in altri quesiti del passato, ricordiamo che per " .R " si intende R/10.

Quindi, anche per la gioia di Gianfranco, riepiloghiamo che finora abbiamo a disposizione le soluzioni di 0,1,2,3,6,8,9,10. Mancano all'appello: 4,5 e 7

Ho una proposta anche per il 7... Che ne pensate?

A prima vista non sembrava, invece funziona. Bella combinazione di operazioni.
Può essere una strada per nuove esplorazioni, però suggerisco di utilizzare le parentesi in caso di segni consecutivi convenzionali o d'operazione.

L'unico dubbio deriva dalla liceità di ammettere o meno il segno di decimale (anche se con parentesi) relativamente a ciò che sarà il risultato di un'operazione.
Lo dico perché in passato, per un problema similare, mi pare di ricordare che tale possibilità fosse stata esclusa. Tuttavia, si trattava della partecipazione ad un quesito che nasceva al di fuori di questo Forum e dunque con regole altrui (quella volta era ammesso però anche il segno della periodicità, che qui non è stato indicato).
Praticamente, questo problema nasce qui e penso che possiamo adottare le regole che vogliamo, purché siano dichiarate ed accettabili.
A me le ultime soluzioni del 7 e dell'8 sono piaciute e penso che siano ammissibili.