Il casinò di San Sperate (2)

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Il casinò di San Sperate (2)

Messaggio da franco » gio set 15, 2016 3:36 pm

Antine, Bachisio e Chirigu decidono di tornare al casinò di San Sperate per tentare la sorte al tavolo dei dadi.

Stavolta le regole sono queste:

I giocatori puntano 10 € ciascuno quindi il croupier Doddore lancia 5 dadi (che supponiamo perfetti) e annuncia il prodotto P dei numeri sulle facce superiori.
- se P è divisibile per 10 ma non divisibile per 24, Antine vince il piatto
- se P è divisibile per 24 ma non divisibile per 10, Bachisio vince il piatto
- se P è divisibile sia per 10 che per 24, Chirigu vince il piatto
- se P non è divisibile né per 10 né per 24, i soldi sono rimessi in gioco per la mano successiva (dove i giocatori punteranno comunque ancora 10€ ciascuno)

Tutti i soldi che eventualmente restano sul tavolo dopo la decima partita (*) sono intascati da Doddore a titolo di compenso per il suo impegno.

Sapete determinare la speranza matematica di guadagno da parte di ciascun giocatore?

-----

(*) Se avete il tempo e la voglia, potete fare il calcolo anche ipotizzando che Dottore si accontenti di incassare il piatto solo dopo 20 oppure 40 partite.

ciao


Franco



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panurgo
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Re: Il casinò di San Sperate (2)

Messaggio da panurgo » sab set 17, 2016 8:03 am

Non ci vuole molto per contare i possibili prodotti degli esiti di cinque dadi (sono $7776$):

$\begin{array}{|c|c|c|c|C}
\hline 10 & \not{1}\not{6} \quad 24 & \text{Giocatore} & \text{fav.} \\
\hline \text{Sì} & \text{No} & \text{Antine} & 2265 \\
\hline \text{No} & \text{Sì} & \text{Bachisio} & 2311 \\
\hline \text{Sì} & \text{Sì} & \text{Chirigu} & 2175 \\
\hline \text{No} & \text{No} & & 1025 \\
\hline \end{array}$

Dobbiamo considerare i dadi “perfetti” quindi assegneremo la stessa probabilità a ciascun esito: calcoliamo quindi la probabilità che in un dato lancio vinca Antine come $a = \frac{2265}{7776}$; per Bachisio, $b = \frac{2311}{7776}$; per Chirigu, $c = \frac{2175}{7776}$. Infine la probabilità che si debba fare un altro lancio è, ovviamente, $d = \frac{1025}{7776}$.

Supponiamo ora che il gioco termini al $k$-esimo lancio. Ogni giocatore ha aggiunto $k$ volte la posta per un totale di $3k$ volte: il giocatore che vince guadagna dunque $2k$ volte la posta. La probabilità che nessuno vinca per $k-1$ lanci è $d^{k-1}$: la probabilità che Antine vinca $k$-esimo lancio sarà $a\times d^{k-1}$, la probabilità che vinca Bachisio sarà $b\times d^{k-1}$ e quella che vinca Chirigu sarà $c\times d^{k-1}$.

Per Doddore (che non è un giocatore) il discorso è leggermente diverso: egli intascherà il piatto senza sborsare un quattrino con un guadagno di $3k$ volte la posta, con probabilità pari a $d^k$, ma solo quando il $k$ in questione sarà uguale ad un $n$ prefissato.

Calcoliamo ora l’expectation per i giocatori. Sia $x$ la probabilità di vittoria di uno dei giocatori e $Q$ la posta: il gioco termina dopo $n$ lanci quindi

$\displaystyle \left\langle x\middle| n\right\rangle = 2Q\,x\sum_1^n{k\,d^{k-1}}= 2Q\,x\sum_0^n{k\,d^{k-1}}= 2Q\,x\sum_0^n{D\left(d^k\right)}= 2Q\,x\,D\left(\sum_0^n{d^k}\right) = \\ \displaystyle \qquad = 2Q\,x\,D\left(\frac{1-d^{n+1}}{1-d}\right) = 2Q\,x\frac{1-\left(n+1\right)d^n+n\,d^{n+1}}{\left(1-d\right)^2}$

Dove $D\left(\cdot\right)$ è l’operatore derivata.

Se sostituiamo i valori proposti nel quesito otteniamo

$\begin{array}{lC}
\displaystyle \left\langle a\middle| n=10\right\rangle = 20\,\text{Eur}\frac{2311}{7776}\frac{1-11\left(\frac{1025}{7776}\right)^{10}+10\,\left(\frac{1025}{7776}\right)^{11}}{\left(\frac{1025}{7776}\right)^2}= 7,89\,\text{Eur}\\
\displaystyle \left\langle b\middle| n=10\right\rangle = 20\,\text{Eur}\frac{2265}{7776}\frac{1-11\left(\frac{1025}{7776}\right)^{10}+10\,\left(\frac{1025}{7776}\right)^{11}}{\left(\frac{1025}{7776}\right)^2}= 7,73\,\text{Eur}\\
\displaystyle \left\langle c\middle| n=10\right\rangle = 20\,\text{Eur}\frac{2175}{7776}\frac{1-11\left(\frac{1025}{7776}\right)^{10}+10\,\left(\frac{1025}{7776}\right)^{11}}{\left(\frac{1025}{7776}\right)^2}= 7,42\,\text{Eur} \\
\displaystyle \left\langle d\middle| n=10\right\rangle = 30\,\text{Eur}\left(\frac{1025}{7776}\right)^{10}=4\ldots\times 10^{-8}=0\,\text{Eur}
\end{array}$

arrotondando al centesimo.

Passando al limite per $n\to\infty$ otteniamo

$\displaystyle \left\langle x\middle| \infty\right\rangle = 2Q\,x\sum_1^\infty{k\,d^{k-1}}= 2Q\,x\sum_0^\infty{k\,d^{k-1}}= 2Q\,x\sum_0^\infty{D\left(d^k\right)}= 2Q\,x\,D\left(\sum_0^\infty{d^k}\right) = 2Q\,x\,D\left(\frac1{1-d}\right) = 2Q\,x\frac1{\left(1-d\right)^2}$

cioè

$\begin{array}{lC}
\displaystyle \left\langle a\middle| \infty\right\rangle = 20\,\text{Eur}\frac{2311}{7776}\left(\frac{7776}{6751}\right)^2= 7,89\,\text{Eur}\\
\displaystyle \left\langle b\middle| \infty\right\rangle = 20\,\text{Eur}\frac{2265}{7776}\left(\frac{7776}{6751}\right)^2 = 7,73\,\text{Eur}\\
\displaystyle \left\langle c\middle| \infty\right\rangle = 20\,\text{Eur}\frac{2175}{7776}\left(\frac{7776}{6751}\right)^2= 7,42\,\text{Eur} \\
\displaystyle \left\langle d\middle| \infty\right\rangle = 0\,\text{Eur}
\end{array}$

Come si vede, dopo i primi lanci le cose non cambiano molto...
Ultima modifica di panurgo il mar set 20, 2016 9:10 am, modificato 1 volta in totale.
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Re: Il casinò di San Sperate (2)

Messaggio da franco » lun set 19, 2016 8:59 am

panurgo ha scritto:Non ci vuole molto per contare i possibili prodotti degli esiti di cinque dadi (sono $7776$):

$\begin{array}{|c|c|c|c|C}
\hline 10 & 16 & \text{Giocatore} & \text{fav.} \\
\hline \text{Sì} & \text{No} & \text{Antine} & 2265 \\
\hline \text{No} & \text{Sì} & \text{Bachisio} & 2311 \\
\hline \text{Sì} & \text{Sì} & \text{Chirigu} & 2175 \\
\hline \text{No} & \text{No} & & 1025 \\
\hline \end{array}$
........
Mi sembra non faccia una piega, e del resto immaginavo avresti masticato alla svelta questo problema. :D :D :D

Ho solo un dubbio relativo alla tabellina che metti in testa al tuo post:

Hai considerato la divisibilità per 16 (come indica la tabella) o per 24 (come dice il testo del problema)?

Dal punto di vista del processo risolutivo non cambia nulla ma potrebbe esserci una differenza sui risultati numerici.


ciao


Franco


P.S.
Se vuoi/puoi mettere tutto in francese, c'è ancora il tempo per inviare la risposta ai soliti amici :D

http://www.diophante.fr/problemes-du-mo ... yam-mental
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Re: Il casinò di San Sperate (2)

Messaggio da panurgo » mar set 20, 2016 9:11 am

franco ha scritto:Hai considerato la divisibilità per 16 (come indica la tabella) o per 24 (come dice il testo del problema)?
Correzione fatta! :D
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