I problemi irrisolti della "Collezione"

Forum dedicato ai quesiti irrisolti presenti nella collezione di Base5, nel vecchio forum ed in quello attuale.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Messaggio da Admin » lun ago 07, 2006 6:14 pm

Dalla sezione "Ferri da cavallo"

Il re raduna un esercito

Un re ordinò ad un suo servo di radunare un esercito da 30 villaggi nel modo che segue: avrebbe dovuto raccogliere tanti uomini da ogni villaggio quanti ne aveva condotto là.
Il servo andò al primo villaggio da solo; al successivo si recò con un uomo e con 3 nel terzo. Dica, chi ne è in grado, quanti uomini radunò dai 30 villaggi.
Alcuin. 9C. Prob. 13: Propostio de rege et de ejus exercitu.

Il ferro da cavallo

Un allevatore possiede un bellissimo cavallo ma non riesce a venderlo perché nessuno è disposto a sborsare la cifra conveniente.
Allora l'allevatore dice che lo venderà al prezzo del ventiquattresimo chiodo da zoccolo, calcolato secondo una semplice regola:

*

il primo chiodo costa 1 denaro;
*

il secondo chiodo costa 2 denari;
*

il terzo costa 4 denari;

e così via, raddoppiando ogni volta la cifra fino al ventiquattresimo chiodo.
Quanto costa il cavallo?
Jacques Ozanam, Recreation Mathematiques, Paris, 1778
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Messaggio da Admin » lun ago 07, 2006 6:21 pm

Dalla sezione "Il recinto degli ornitorinchi"

Problema proposto al Forum da Enrico Delfini

Devo dividere il recinto dei miei ornitorinchi, perfettamente circolare, in quattro parti uguali per superficie.
Come tutti sanno, gli ornitorinchi, gli echidna e tutti gli altri monotremi non possono sopravvivere se le recinzioni si incontrano in modo da formare nodi a quattro per cui non si può dividere il cerchio con due diametri perpendicolari.
Qual è il modo più economico (cioè utilizzando meno rete possibile) per dividere un cerchio in 4 parti equiestese senza che le recinzioni facciano nodi a quattro ma solo a tre?

Il raggio del recinto è r e per la recinzione sono necessari 4r + 6,28r di rete

Così è molto elegante ma si consuma un sacco di rete.
Immagine
Con quest'altro metodo è possibile utilizzare una rete lunga meno di 4r per la parte interna?
Immagine
E con il metodo illustrato nella figura qui sotto?
Immagine
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Messaggio da Admin » lun ago 07, 2006 6:57 pm

Dalla sezione "La paga dei portatori"

Problemi sui quali ho dei dubbi
Mahavira. 850. Chap. VI, v. 226-232, pp. 151-153.
Porter carrying 32 jack-fruits over distance 1 will receive 7½ of the fruits. He breaks down at distance ½. How much is he due? Rule says x/32*1 = (7½ - x)/(32 - x)(1 - ½), i.e. the wages per fruit-mile should be the same for both parts of the journey. (Properly, this problem leads to an exponential.)

Sridhara. c900.V. 67(ii), ex. 84?85, pp. 53 & 95.
Porter carrying 200 palas of oil for 5 panas wages. But the bottle leaks and only 20 palas remain at the end. How much should he be paid? Rule says to pay (20 + 180/2)/200 of the wages.

Tratto da David Singmaster
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Messaggio da Admin » lun ago 07, 2006 7:14 pm

Dalla sezione "Esercizi sulle dissezioni"

Esercizio 4: da croce a quadrato
Ritaglia i 5 pezzi che compongono la croce e ricomponili in modo da formare un quadrato di 7x7 quadretti.
Misura i perimetri delle due figure e confrontali.
Come sono le aree delle due figure?

Immagine

Esercizio 5: da rettangolo a quadrato
Dividi il rettangolo 4x9 in due parti in modo in modo che ricomposte formino un quadrato 6x6.
Le tre figure possono esserti utili per fare alcune prove.

Immagine

Esercizio 6
Dividi la figura in due parti in modo che ricomposte formino un quadrato. I tagli devono essere fatti lungo le linee della griglia.
Le due figure possono esserti utili per fare alcune prove.

Immagine
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Messaggio da Admin » gio ago 31, 2006 6:23 pm

Dalla sezione "Paradossi"

1. Il paradosso del mentitore

Epimenide diceva: Tutti i Cretesi sono mentitori"
Epimenide, che era Cretese, diceva la verità?

2. Il paradosso del comma 22

Dal Codice Militare Spaziale del Pianeta Klingon.
Articolo 12, Comma 1.
L'unico motivo valido per chiedere il congedo dal fronte è la pazzia.
Articolo 12, Comma 22.
Chiunque chieda il congedo dal fronte non è pazzo.

3. Il paradosso di Parmenide

... detto anche paradosso del non essere.
E' possibile dare la definizione del non essere, di ciò che non è?

4. Il paradosso dell'autoriferimento

Questa proposizione è falsa.

5. Il paradosso di Achille e della Tartaruga

Achille fa una gara di corsa con una tartaruga. Poiché Achille è velocissimo e la tartaruga è lentissima decide di darle 1 metro di vantaggio.
In questo modo Achille non riuscirà mai a raggiungere la tartaruga infatti:
  1. per raggiungere la tartaruga Achille dovrà percorrere 1 metro, ma nel frattempo la tartaruga avrà percorso 10 cm e quindi sarà ancora in vantaggio...
  2. per raggiungere la tartaruga Achille dovrà percorrere 10 cm, ma nel frattempo la tartaruga avrà percorso 1 cm e quindi sarà ancora in vantaggio...
  3. per raggiungere la tartaruga Achille dovrà percorrere 1 cm, ma nel frattempo la tartaruga avrà percorso 1 mm e quindi sarà ancora in vantaggio...
  4. per raggiungere la tartaruga Achille dovrà percorrere 1 mm, ma nel frattempo la tartaruga avrà percorso 0,1 mm e quindi sarà ancora in vantaggio...
Poiché questa situazione si ripete all'infinito, Achille, il corridore più veloce della Grecia, non raggiungerà mai la tartaruga.

6. Il paradosso del sorite

Non è possibile ottenere un mucchio di sabbia.
Infatti:
  1. un granello non è un mucchio
  2. due granelli non sono un mucchio
  3. tre granelli non sono un mucchio
  4. 4. ...
  5. aggiungendo un granello a una cosa che non è un mucchio non si ottiene un mucchio.
7. Il paradosso della decisione

Un gatto cattura un topo e sta per mangiarselo. Ma il topo gli chiede:
- Dammi una possibilità!
Il gatto risponde:
- Non ti mangerò se e solo se indovini quello che farò.
Il topo risponde:
- Mi mangerai!
Il gatto, che è un logico, libera il topo per evitare l'esaurimento nervoso.
Perché?

8. Il paradosso della previsione

Un condannato a morte riceve un messaggio di questo tipo, da parte del boia.
L'esecuzione avverrà la settimana prossima in un giorno a sorpresa che tu non potrai in alcun modo prevedere.
Il condannato ragiona così:
  1. non può essere sabato, perché giunto a venerdì senza essere stato ucciso, io potrei prevederlo;
  2. non può essere neppure venerdì perché giunto a giovedì ancora vivo potrei prevederlo;
  3. non può essere giovedì perché...
In conclusione, se il boia mantiene quanto ha detto, non può eseguire la sentenza!

9. Il paradosso dell'infinito

Immaginiamo un cinema con infiniti posti tutti numerati con i numeri interi.
I posti sono tutti occupati, ma ad un certo punto entrano 10 nuovi spettatori. Possono trovare posto?
Sì, basta dire ad ogni spettatore seduto di osservare il numero n del suo sedile e spostarsi nel sedile n+10.
Poiché per ogni n esiste n+10 tutti troveranno posto ed in più si libereranno i primi 10 posti.
Ma c'e di più: anche se fossero entrati 100 nuovi spettatori avrebbero tutti trovato posto a sedere.
Ma c'è di più: anche se arrivano non 10, non 100, non 1000, ma infiniti nuovi spettatori, c'è ugualmente posto per tutti!
Come?
Basta dire ad ogni spettatore seduto di osservare il numero n del suo sedile e spostarsi nel sedile 2xn.
In questo modo vengono occupati solo i posti pari e si liberano tutti i posti dispari, che sono infiniti.
Dite che ci sarà una gran confusione?

10. Una delle due è falsa

Ecco due affermazioni. Una delle due è falsa.
Quale?

11. Orrori
  • In questo elenco ci sono due errori.
  • Roma è la capitale dell'Italia.
  • Due per due è uguale a cinque.
  • Il gatto è un mammifero.
Quali sono gli errori?

12. Come superare un esame

Un alunno, ad un esame di logica, sta andando molto male.
Ad un certo punto il professore gli dice:
- Ti farò un'ultima domanda, se risponderai esattamente passerai l'esame, altrimenti sarai respinto.
Ecco la domanda
- Passerai questo esame?
- Come faccio a saperlo?
- Questa non è una risposta ma un'altra domanda. Devi darmi una risposta chiara: sì o no. Se è esatta passerai altrimenti non passerai.
Lo studente da la risposta e passa l'esame.
Qual'è la risposta?

13. Come non farsi mangiare dai cannibali

L'Acuto Esploratore fu catturato da una tribù di cannibali.
I cannibali però erano Bravi e gli lasciarono una scelta: poteva essere cotto arrosto oppure bollito.
Per scegliere, l'Acuto Esploratore, doveva pronunciare una frase tale che, se era vera sarebbe stato cotto arrosto, e se era falsa sarebbe stato bollito.
Bisogna precisare due cose:
  • l'Esploratore era Acuto;
  • i cannibali, oltre ad essere Bravi, erano Logici, e comunque avevano il freezer pieno di carne congelata.
L'Acuto Esploratore riuscì a salvarsi: come?

14. Il paradosso del barbiere

Il barbiere del villaggio è un uomo sbarbato che rade tutti e solo gli uomini che non si radono da soli. Chi rade il barbiere?
Quale sarà la soluzione se c'è? Che il barbiere rade se stesso solo se non si rade?

15. Il paradosso del cartello (o del biglietto di Jourdain)

Si tratta di un cartello sulla cui faccia anteriore è scritta la frase:
"Quello che c'è scritto dietro è falso"
E sulla faccia posteriore è scritta invece la frase:
"Quello che c'è scritto dietro è vero"

Note storiche
Il logico Filita di Coo (340 - 285 a.C.) morì a causa del paradosso del mentitore, e la testimonianza che ci ha lasciato è ancor più paradossale:
"Viandante, io sono Filita. L'argomento chiamato il Mentitore e le profonde meditazioni notturne mi condussero alla morte."

Il paradosso del cartello fu ideato dal matematico francese P.E.B. Jourdain nel 1913.
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