Salve a tutti, sono nuovo del forum.

Nei vostri archivi ho trovato il quesito dei numeri cugini, che già conoscevo, e ho visto che sono state trovate le soluzioni ma non è stato indicato come ricavarle. (http://utenti.quipo.it/base5/ricevuto/riclug01.htm nr. 114)

Volevo proporre un procedimento per arrivare alle soluzioni del quesito per tutti i divisori da 2 a 9 (il numero tale per cui spostando la prima cifra dopo l'ultima si ottiene un decimo del numero dato è 10)

"Trovare un numero intero tale che spostando la prima cifra dopo l'ultima si ottiene la metà del numero dato (o un terzo o un quarto, ecc.)"

Poniamo

$X$ è il numero cercato ed è intero
$Y$ è la prima cifra del numero $X$
$n$ è il numero di cifre di cui è composto $X$
$D$ è il divisore di $X$

deve valere

$10(X-Y10^{n-1}) + Y = \frac{X}{D}$

$10X - Y(10^n + 1) = \frac{X}{D}$

$10XD - YD(10^n + 1) = X$

$X(10D-1) = YD(10^n + 1)$

$X = \frac{YD}{10D-1}(10^n - 1)$

Se $\frac{YD}{10D-1}$ è un numero periodico può essere espresso come rapporto tra un numero intero $X$ pari alla parte periodica e un numero di $n$ cifre composto da tutti 9 dove $n$ è la lunghezza della parte periodica

$\frac{YD}{10D-1} = \frac{X}{10^n - 1}$

$X$ è il numero cercato

Per $Y=1$ e $D={2\to9}$ si ha:

2/19 -> 105263157894736842
3/29 -> 1034482758620689655172413793
4/39 -> 102564
5/49 -> 102040816326530612244897959183673469387755
6/59 -> 1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966
7/69 -> 1014492753623188405797
8/79 -> 1012658227848
9/89 -> 10112359550561797752808988764044943820224719

Queste sono in generale le soluzioni con il minor numero di cifre salvo alcuni casi come il seguente:

Per $Y=7$ e $D=5$ si ha:

35/49 -> 714285

da cui si ricava il numero 142857 (che è la parte periodica di 1/7) che ha una proprietà singolare:
Spostando la prima cifra dopo l'ultima ottengo il triplo, mentre spostando l'ultima davanti alla prima ottengo il quintuplo.

Applicando lo stesso procedimento al problema di "Trovare un numero intero tale che spostando la prima cifra dopo l'ultima si ottiene un multiplo numero dato" ho ricavato soluzioni solo per il moltiplicatore 3 che sono date dalla rotazione del numero 142857.

Ottima soluzione!
mi ha fatto piacere rimembrare i numeri cugini;

Se non ho capito male, i numeri con più cifre che soddisfano il problema, qualunque sia il divisore D, si ottengono replicando le cifre del numero a formare, appunto, un nuovo numero:

per cui:

4/39 -> 102564 -> 102564102564 -> 102564102564102564 etc.

Confermi?

Ciao
Admin

e... benvenuto a bordo!

Confermo.
In questo caso i numeri formati da due o più periodi hanno la stessa proprietà di quello formato da un solo periodo, inoltre variando il valore di $Y$ tra 1 e 9 si ottengono in multipli del singolo periodo (stesso numero di cifre) che hanno ancora la stessa proprietà, es:

8/39 -> 205128
12/39 -> 307692
16/39 -> 410256
20/39 -> 512820
24/39 -> 615384
...

Ciao e grazie del benvenuto.