I ladri e l'oro

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0-§
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I ladri e l'oro

Messaggio da 0-§ » lun ago 17, 2015 11:09 am

Nove membri della premiata ditta "Ladrocinî e ruberie" hanno messo le mani su una grossa barra d'oro.

Si tratta di suddividere equamente il maltolto tra i membri della gang criminale, quando all'improvviso
due di loro, discutendo su chi dei due abbia la mascherina nera più alla moda, iniziano a litigare e nel
giro di pochi secondi si minacciano a vicenda con le pistole.

Nel frattempo che i due delinquenti decidono se ammazzarsi a vicenda, i loro colleghi devono decidere
come dividere in pezzi la barra d'oro, per ottenere una suddivisione equa. Intendono dividere la barra
subito, senza aspettare di vedere l'esito della sparatoria, e non vogliono dopo dover fare altre suddivisioni.

I possibili risultati sono 3:
- i due esagitati si calmano e abbassano le armi;
-uno dei due, più rapido, fa secco l'avversario;
-dimostrando notevole stupidità, i due criminali si uccidono a vicenda.

Nei tre casi, si dovranno dividere i pezzi ricavati dalla barra d'oro rispettivamente tra 9, 8 e 7 ladri, in
modo ovviamente che ciascuno riceva un'uguale quantità (altrimenti si rischiano nuove sparatorie!).
Siccome spezzare una barra d'oro non è facile, i membri della gang vorrebbero fare meno tagli possibili.
Qual è il numero minimo di pezzi in cui deve venire divisa la barra?
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di \pi, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di \pi dovesse cambiare.

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Re: I ladri e l'oro

Messaggio da 0-§ » lun ago 17, 2015 11:17 am

P.S. Per semplificare i conti, diciamo che la barra pesa esattamente 7*8*9=504 grammi d'oro (per un valore intorno a 16.300 €, secondo questo sito). Il problema chiede di determinare in quanti pezzi va divisa la barra e il peso di ciascuno di essi; bisogna inoltre descrivere, in ciascuno dei tre casi, come vengono suddivise le parti tra i membri rimasti in vita della banda.
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Alessandro
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Re: I ladri e l'oro

Messaggio da Alessandro » mar ago 18, 2015 9:28 am

Ciao,
il numero minimo di pezzi è 28;
servono quindi 27 tagli.


Alessandro

franco
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Re: I ladri e l'oro

Messaggio da franco » mar ago 18, 2015 10:13 am

Secondo me si potrebbe dividere la barra in 22 parti:
7 x 56 g
8 x 7 g
6 x 9 g
1 x 2 g

Se i birbanti spartiranno il bottino in 9:
- 7 prendono una barra da 56 g
- 1 prende tutte le barre da 7 g (8x7=56)
- 1 prende il resto (6x9+2=56)

Se i birbanti spartiranno il bottino in 8:
- 7 prendono una barra da 56 e una da 7 g (56+7=63)
- 1 prende il resto (6x9+7+2=63)

Se i birbanti spartiranno il bottino in 7:
- 6 prendono una barra da 56, una da 7 e una da 9 g (56+7+9=72)
- 1 prende il resto (56+2x7+2=72)

ciao

Franco
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Re: I ladri e l'oro

Messaggio da 0-§ » mar ago 18, 2015 10:28 am

@Alessandro
Franco è riuscito a fare di meglio, ma potresti spiegare il tuo procedimento?
Dicci quanto dovrebbe pesare ciascun pezzo e come questi andrebbero suddivisi nei 3 casi.

@Franco: la tua soluzione è corretta, ma si può fare di meglio :wink:
Chi riesce ad andare sotto i 22 pezzi di Franco?
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Re: I ladri e l'oro

Messaggio da panurgo » mar ago 18, 2015 6:31 pm

Anch'io ho trovato abbastanza facilmente la soluzione proposta da franco: non mi resta da aggiungere che sono necessari nove (9) tagli, come si vede dal disegno
panurgoILadriELOro001.png
panurgoILadriELOro001.png (4.68 KiB) Visto 2869 volte
sei tagli orizzontali dividono in sette parti; il secondo taglio verticale da sinistra toglie a ciascun pezzo 1/8 cosicchè abbiamo sette pezzi da 7/8 e sette da 1/8 che messi insieme fanno 7/8 pure loro; il primo taglio a sinistra toglie 1/9 da ciascun pezzo da 7/8 mentre il taglio piccolo a destra toglie 1/9 dai sette pezzi da 1/8.

Lavoriamo ancora per ridurre il numero di pezzi: chissà se serviranno più tagli (ho idea di sì...)
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Alessandro
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Re: I ladri e l'oro

Messaggio da Alessandro » mar ago 18, 2015 6:52 pm

Ciao 0-§

la mia soluzione era la seguente:

7 x 56 g
7 x 8 g
7 x 7 g
7 x 1 g

Alessandro

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Re: I ladri e l'oro

Messaggio da panurgo » mer ago 19, 2015 1:29 pm

Si può anche partire dividendo prima il lingotto in otto parti
panurgoILadriELOro002.png
panurgoILadriELOro002.png (3.96 KiB) Visto 2851 volte
con $22$ pezzi e $14$ tagli; o prima in nove parti
panurgoILadriELOro003.png
panurgoILadriELOro003.png (4.33 KiB) Visto 2851 volte
sempre con $22$ pezzi ma con ben $18$ tagli.

Infine ho escogitato questo: dei pezzi di peso $a$, $b$ e $c$ tali che

$\displaystyle \left\{
\begin{array}{lC}
a\,+\,b\,+\,c\,=\,\frac{504}7\,=\,72 \\
a\,+\,b\,=\,\frac{504}8\,=\,63 \\
a\,+\,c\,=\,\frac{504}9\,=\,56
\end{array}
\right.$

da cui si ricava (con facile algebra)

$\displaystyle \left\{
\begin{array}{lC}
a\,=\,47 \\
b\,=\,16 \\
c\,=\,9
\end{array}
\right.$
panurgoILadriELOro004.png
panurgoILadriELOro004.png (6.61 KiB) Visto 2849 volte
Per ottenere sette parti abbiamo $7\left(a\,+\,b\,+\,c\right)$, per ottenerne otto abbiamo $7\left(a\,+\,b\right)\,+\,\left(7c\right)$ mentre per ottenerne nove abbiamo $7\left(a\,+\,c\right)+\,2\left(7b/2\right)\,$: sono, ancora una volta, $22$ pezzi e $9$ tagli.

Ora sono alquanto curioso riguardo alla soluzione con meno pezzi...
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Re: I ladri e l'oro

Messaggio da 0-§ » mer ago 19, 2015 5:17 pm

Tutte le risposte mi sembrano interessanti, ma leggendo quello che avete scritto temo di
essermi espresso male nel formulare il problema :oops:

Per essere chiari: quello che vogliamo minimizzare è il numero di pezzi, non di
tagli. Ingenuamente, avevo supposto che le due cose fossero equivalenti, ma i
basecinquini ne sanno una più del diavolo. :mrgreen:

Continuate comunque, il problema ha preso una piega imprevista ma interessante.

Confermo comunque che si riesce a fare con meno di 22 pezzi.
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Re: I ladri e l'oro

Messaggio da panurgo » mer ago 19, 2015 6:11 pm

A me era chiaro che intendevi il numero minimo di pezzi. Comunque mi pareva cosa buona e giusta minimizzare anche il numero dei tagli: tagliare comporta sempre un po' di perdita di materiale, per non parlare della fatica (se è oro a 24 kt è sufficiente un buon coltello, ma a 18 kt...).
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Re: I ladri e l'oro

Messaggio da 0-§ » mer ago 19, 2015 8:11 pm

Ok panurgo, temevo di non essere stato chiaro.

Dirò allora che la barra può essere suddivisa in soli 18 pezzi.

E la risposta è che i pezzi devono pesare rispettivamente 3,7,9,14,16,18,23,24,25,30,31,32,38,40,42,47,49,56 grammi (ho reso
il testo invisibile, selezionatelo con il mouse per vedere la soluzione).

Se si devono dividere tra 9 persone, si procede così: {3,23,30} {7,49} {9,47} {14,42} {16,40} {18,38} {24,32} {25,31} {56}
(a ciascuna parentesi graffa corrisponde un gangster, dentro alla parentesi sono indicati i pesi dei pezzi che dovrà ricevere).

Per 8 persone si suddivide come {3,18,42} {7,56} {9,24,30} {14,49} {16,47} {23,40} {25,38} {31,32}

Infine per 7 si fa come segue: {3,7,24,38} {9,14,18,31} {16,56} {23,49} {25,47} {30,42} {32,40}

Però non è finita qui: riusciamo a minimizzare i tagli? Inoltre, sapreste dimostrare che non si riesce a fare con meno di 18 pezzi?
Non è difficile trovare che non si riesce a fare con meno di 16 pezzi; un po' più complicato è dimostrare che anche con 16 pezzi
è impossibile. Chi ci prova?

P.S. A quanto ne so è ancora indimostrato che sia impossibile dividere la barra in soli 17 pezzi, ma finora nessuno ci è riuscito,
ergo 18 pezzi dovrebbe essere il limite inferiore.
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Re: I ladri e l'oro

Messaggio da Massimo » gio ago 20, 2015 11:25 am

alla luce della soluzione sono dell'idea che si possa scendere a 9 tagli anche per quest'ultima.
chi ha voglia di mostrare le equazioni delle 3 curve che rendono continua senza cuspidi la suddivisione tra il 3 ed il 30 rispetto il tratto orizzontale alla sua sx (si noti come sarà dipendente dal rapporto tra i lati del lingotto); tangente al tratto diagonale intermedio (di suddivisione dei 38-18/40-16/42-14) le due curve in alto e in basso (31-25/32-24 e 47-9/49-7)?

al termine quanti colori dovrò almeno usare per non avere 2 pezzi con lati in comune dello stesso colore?
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uno più uno non fa sempre due

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