I giardini dell'Iperacropoli

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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0-§
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I giardini dell'Iperacropoli

Messaggio da 0-§ »

Continua il vostro giro per l'Iperacropoli Matematica:usciti da quell'incredibile mare di colonne,state facendo una passaggiata per i giardini dell'Accademia Matematica.
Purtroppo,anche i giardini nascondono problemi in agguato...
Dentro ai giardini ci sono nove piazzette,numerate con molta fantasia da 1 a 9;le piazzette sono collegate da una serie di stradine,come potete vedere qui:
1——2—— 3
|* // |* //*|
|*//*|*//* |
4——5—— 6
|* // |* // |
|*//*|*// *|
7——8—— 9
,dove la piazzola 2 é collegata alla 4,la 8 alla 6 and so on(gli asterischi sono le aiuole tra le stradine in sanpietrini;il disegno non mi é venuto granché bene,quindi se quacuno che ha capito come funziona la cosa può postare un'immagine più leggibile mi fa un favore).A scanso di equivoci sui collegamenti,chiarisco che
la numero 1 é collegata alla 2 e alla 4
la 2 alla 1-3-4-5
la 3 a 2-5-6
la 4 a 1-2-5-7
la 5 a 2-3-4-6-7-8
la 6 a 3-5-8-9
la 7 a 4-5-8
la 8 a 5-6-7-9
la 9 a 6-8.
Chiaro?.Nella piazzetta centrale,la numero 5,campeggia un cartello:"Vedi bene,visitatore,come siano collegate le piazze e come siano state disposte;(ai matematici piace parlare per termini altisonanti)ebbene,sapresti dire quanti percorsi ci siano tali da farti visitare tutte le piazzette una ed una sola volta partendo da qui,senza mai uscire dalle strade che le collegano,(vige una severa multa di 20 pigreco euro per chi calpesta le aiuole;bisogna pagare la sanzione senza arrotondamenti né per eccesso né per difetto,o si viene espulsi dall'Iperacropoli :lol: )ed in generale quanti percorsi di questo tipo esistano se partissi dalla piazzola numero 1, 4 o 7?(la numero 1 é simmetrica della numero 9,la numero 4 di 2,6 e 8 e la numero 7 della 3).

Se saprai rispondere riceverai in omaggio un'ottima aranciata on the rocks(in vece del solito gelato,ormai stantio) al Bar Matematico della piazzola numero 5(che altrimenti costa 1/2 pigreco euro,con le conseguenze del caso).
Fa un bel caldo,e un'aranciata con ghiaccio é proprio quel che ci vuole...al lavoro dunque!
Attendo fiducioso le vostre soluzioni per passarle al barista.
Saluti,
0-§

Boy?Un Martini con molto ghiaccio,please... :wink:

Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Rispondo alla prima domanda: dal momento che dalla piazza centrale si può raggiungere una qualsiasi delle altre 8, e da questa tutte le altre, seguendo il perimetro, mi pare evidente che i percorsi possibili sono 16.
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$\text { }$ciao Immagine ciao
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Admin
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Messaggio da Admin »

Dunque, una generalizzazione in termini di formule non saprei, ma mi sembra improbabile, dato che il numero di vie che partono da ogni piazza, varia da piazza a piazza.

Pasquale, ha analizzato il nodo 5.

Per il momento ho effetuato l'analisi dei nodi pari;

ANALISI DEI NODI PARI

Dunque, i nodi pari (2, 4, 6, 8) hanno tutti lo stesso grado, ovvero lo stesso numero di vie che escono da essi, e cioè 4;
sono, in pratica simmetrici; per cui il numero di percorsi possibili a partire da un nodo pari, è lo stesso per ogni nodo pari.

Consideriamo il nodo 2;
per l'analisi si può utilizzare semplicemente un albero che ha in cima il nodo 2;
il nodo 2 è collegato ad 1, 4, 5 e 3;
si nota subito che non possiamo andare al nodo 4, altrimenti il nodo 1 resterebbe isolato (chiuso); per cui le scelte valide sono 1, 3 e 5.

Immagine

scelta nodo 5:

in questo caso dal nodo 5 si può andare in 3, 6, 8, 7 e 4 (si può andare anche in 2, ma chiaramente non possiamo ritornare indietro);
di queste scelte solo 3 è valida;
infatti se andiamo in 6 isoliamo il nodo 3;
se andiamo in 8 creiamo una linea di divisione (2_5_8) che ci impedisce di andare in tutte i nodi senza ripassare per uno stesso nodo;
se andiamo in 7, creiamo allo stesso modo una linea di divisione (2_5_7);
se andiamo in 4, il nodo 1 resta isolato;
per cui 3 è l'unica scelta possibile;
proseguendo dal nodo 3, si nota che il percorso è perimetrico ed obbligato;
ovvero 6_9_8_7_4_1;
per cui


Immagine

analizziamo le altre due scelte possibili:

scelta del nodo 3:

in questo caso, dal nodo 3 si può andare in 5 e 6, scelte entrambe valide;

Immagine

scelta del nodo 5:

in questo caso non possiamo ritornare indietro nè al nodo 3, nè al nodo 2, quindi possiamo andare in 6, 8, 7 e 4;
però, se andiamo in 8, si crea una linea di divisione (3_5_8);
anche se andiamo in 7 si crea una linea di divisione (3_5_7), per cui queste scelte non sono valide;
se andiamo in 4, il nodo 1 resta isolato;
per cui l'unica scelta valida è il nodo 6;
proseguendo si ha un percorso perimetrico ed obbligato che è 9_8_7_4_1;
per cui:

Immagine

scelta del nodo 6:

in questo caso non possiamo ritornare nè in 5, nè in 3, quindi possiamo andare in 9 e 8;
se prò andiamo in 8, il nodo 9 resta isolato;
per cui il nodo 9 è l'unica scelta valida;
proseguendo, dal nodo 9, possiamo andare solo in 8;
proseguendo, dal nodo 8, possiamo andare al nodo 7 ed al nodo 5;
le due scelte sono entrambe valide;
proseguendo dal nodo 7:
si va in 5, in 4 ed in 1.
proseguendo dal nodo 5:
si va in 7, in 4 ed in 1.

Per cui:

Immagine

Ed infine l'ultimo ramo dell'albero generale che parte dal nodo 2:

scelta del nodo 1:

in questo caso, dal nodo 1 si va unicamente al nodo 4;
dal nodo 4, poi, non possiamo ritornare ad 1 o 2, quindi si può andare solo nel nodo 5 o nel nodo 7; e queste scelte sono entrambe valide; vediamole.

scelta del nodo 5:

in questo caso, non possiamo ritornare al nodo 2 e 4, quindi possiamo andare solo in 3, 6, 7 e 8;
se andiamo in 6, si crea una linea di divisione (4_5_6) che non permette di visitare tutti i nodi passando una sola volta per ogni nodo;
se andiamo in 8, il nodo 7 resta isolato;
le scelte valide sono 3 e 7;

subscelta del nodo 3:
proseguendo, si ha un percorso perimetrico obbligato e cioè, 6_9_8_7;

subscelta del nodo 7:
proseguendo, si ha un percorso perimetrico obbligato e cioè, 8_9_6_3;

per cui:

Immagine

infine, scelta del nodo 7:

in questo caso, non possiamo ritornare indietro (in nodi già visitati), quindi possiamo andare solo in 5 e 8;

subscelta del nodo 5:
proseguendo si ha un percorso perimetrico obbligato è cioè 8_9_6_3

subscelta del nodo 8:
proseguendo si ha il percorso obbligato 5_3_6_9

Per cui:

Immagine

In generale, l'albero valido per il nodo 2, ma per un qualsiasi nodo pari è:

Immagine

da cui si ricava che i percorsi possibili partendo da un nodo pari qualsiasi, sono 8.

Per il momento è tutto.

SE&O

Admin
Ultima modifica di Admin il ven mar 17, 2006 6:29 pm, modificato 1 volta in totale.
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
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Bruno
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Messaggio da Bruno »

0-§ ha scritto:(...) quindi se quacuno che ha capito come funziona la cosa può postare un'immagine più leggibile mi fa un favore
...potrebbe andare così? (Ved. sotto)
Non è granché, ma avevo due secondi ed Excel sotto il naso, così ho
provato :wink:

(Notevole l'esplorazione di Pietro! Ora la stampo per guardarla meglio
nella pausa-pranzo.)
Allegati
Giardini.png
Giardini.png (120.52 KiB) Visto 4862 volte
(Bruno)

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Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Mi accorgo adesso che da 5 si può andare in 6 piazze e non in 8, per cui devo correggere a 12 i percorsi possibili e non 16.
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