I dadi onesti

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I dadi onesti

Messaggioda 0-§ » gio gen 04, 2018 1:20 am

Marcovaldo ha comprato un nuovo gioco in scatola e vuole organizzare una partita con gli amici.
Per giocare, si usano due dadi standard a sei facce, in modo da ottenere i numeri da 2 a 12 a ogni lancio.
Marcovaldo però non è contento: osserva che il numero 2, ad esempio, ha una probabilità su 36 di uscire, mentre ad esempio 8 può uscire in 5 modi diversi (2+6, 3+5, ...) e dunque ha 5 probabilità su 36 di uscire.
Il nostro è un abile artigiano e vorrebbe creare dei dadi "onesti", dove tutti i risultati da 2 a 12 hanno la stessa probabilità: i dadi dovrebbero sempre essere cubici e con le facce numerate da 1 a 6, ma Marcovaldo li costruirà con dei pesi all'interno, in modo che alcune facce siano favorite rispetto alle altre. In questo modo vorrebbe controbilanciare l'effetto per cui alcuni risultati sono più probabili di altri. I due dadi non devono necessariamente essere identici.

Potreste aiutare Marcovaldo, per favore?

Saluti
0-§
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Re: I dadi onesti

Messaggioda Pasquale » gio gen 11, 2018 8:47 pm

Se il quesito è stato formulato, evidentemente una soluzione ci sarà; tuttavia mi pare che se ad esempio si operasse in modo da aumentare di un tot la probabilità di sortita del 2=1+1, automaticamente diminuerebbe dello stesso tot la probabilità di sortita del 12=6+6, considerato che nei dadi il 6 e l'1 sono situati su facce opposte.
Probabilmente o forse certamente c'è qualcosa che mi sfugge.
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Re: I dadi onesti

Messaggioda franco » ven gen 12, 2018 5:25 pm

Pasquale ha scritto:Se il quesito è stato formulato, evidentemente una soluzione ci sarà; tuttavia mi pare che se ad esempio si operasse in modo da aumentare di un tot la probabilità di sortita del 2=1+1, automaticamente diminuerebbe dello stesso tot la probabilità di sortita del 12=6+6, considerato che nei dadi il 6 e l'1 sono situati su facce opposte.
Probabilmente o forse certamente c'è qualcosa che mi sfugge.


Se l'artigiano appesantisse allo stesso modo le facce con 1 e 6, le probabilità di uscita della faccia opposta sarebbero identiche ed entrambe sarebbero probabilmente maggiori di 1/6 (a discapito delle altre 4 facce) ...
Almeno credo :?
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Re: I dadi onesti

Messaggioda 0-§ » ven gen 12, 2018 11:52 pm

L'osservazione di Franco è corretta: la probabilità di uscita di 1 non influenza la probabilità di uscita del 6, fermo restando ovviamente che la somma delle probabilità per le sei facce (su entrambi i dadi) deve essere 1.

Avete suggerimenti per Marcovaldo?
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Re: I dadi onesti

Messaggioda Pasquale » dom gen 14, 2018 1:45 am

Si, giusta l'osservazione...era ciò che mi sfuggiva, come del resto immaginavo.
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Re: I dadi onesti

Messaggioda Massimo » lun gen 15, 2018 9:05 am

Marcovaldo può usare 2 dadi,
uno rosso normale
ed uno blu in cui ci sono 3 facce con 1 e 3 con 6 ovvero l'uno e il 6 con peso >> del 2,3,4,5.
uno più uno non fa sempre due
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Re: I dadi onesti

Messaggioda delfo52 » lun gen 15, 2018 3:05 pm

l'idea è interessante; e i dadi quasi onesti. Ma il 7 rimane facilitato . 6 combinazioni danno 7;le altre 30 danno gli altri risultati in modo equo (tre uscite per ogni risultato)
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Re: I dadi onesti

Messaggioda franco » lun gen 15, 2018 10:52 pm

A me sembra che Massimo abbia ragione.
Il dado blu deve essere taroccato in modo che le probabilità di uscita delle 6 facce siano:
1 >>> 1/2
2 >>> 0
3 >>> 0
4 >>> 0
5 >>> 0
6 >>> 1/2

In questo modo le possibili combinazioni con il dado rosso "onesto" sarano solo 12 (da 2 a 12) e tutte con una probabilità pari a 1/12.
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Re: I dadi onesti

Messaggioda 0-§ » lun gen 15, 2018 11:32 pm

Non mi sembra: il dado rosso può dare i numeri da 1 a 6, mentre quello blu dà 1 o 6. Se sul dado blu esce 1, il totale va da 2 a 7 (equiprobabili); se sul blu esce 6, il totale va da 7 a 12, di nuovo con le stesse probabilità. Pertanto i numeri da 2 a 6 hanno probabilità 1/6 (probabilità di uscita sul dado rosso) * 1/2 (probabilità di uscita di 1 sul dado blu)=1/12; allo stesso modo i numeri da 8 a 12 hanno probabilità 1/12, mentre il 7 è favorito perché può risultare in due modi e quindi ha probabilità 2/12, il doppio degli altri. Il totale è 5*1/12+2/12+5*1/12=1, come previsto. Sbaglio?
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Re: I dadi onesti

Messaggioda Pasquale » mar gen 16, 2018 1:01 am

Per risolvere il problema pratico, propongo di utilizzare un solo dado a forma di dodecaedro regolare, sulle cui facce siano segnati tutti i numeri da 2 a 12, più lo zero, cui corrisponderebbe l'obbligo di rilanciare il dado. :mrgreen:
A parte la divagazione, lasciando un dado inalterato ed "eliminando dall'altro 2,3,4 e 5, il risultato è visibile a colpo d'occhio sulla seguente tabella che pone in evidenza i possibili accoppiamenti dei dadi per ognuno degli 11 punteggi possibili (nella tabella i punteggi sono formati dalla somma sottintesa fra le due cifre riportate per ogni punteggio, ove quella di sinistra, o quella di destra a piacere, rappresenta il punteggio del dado normale):

02) 11
03) 12 - 21
04) 13 - 22 - 21
05) 14 - 23 - 32 - 41
06) 15 - 24 - 33 - 42 - 51
07) 16 - 25 - 34 - 43 - 52 - 61
08) 26 - 35 - 44 - 53 - 62
09) 36 - 45 - 54 - 63
10) 46 - 55 - 64
11) 56 - 65
12) 66

E' facile notare come sia privilegiato il punteggio 7, comunque si voglia modificare i dadi, dal momento che lo stesso può essere ottenuto con accoppiamenti che contengono per ogni dado tutti i punteggi possibili. Quindi, se eliminiamo ad esempio 2,3,4 e 5 da un dado, diciamo dalla seconda cifra, per formare il 7 restano a disposizione 1 e 6 (equiprobabili), dei quali soltanto l'1 compare, una sola volta, nei punteggi più bassi del 7 e zero volte per i punteggi più alti e viceversa per quanto concerne il 6, col risultato che il 7 si realizza il doppio di quanto non sia possibile per gli altri punteggi.
In conclusione, con la modifica di cui sopra, per un gioco onesto, occorrerebbe invalidare il 7, come per lo zero del dado dodecaedrico.
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Re: I dadi onesti

Messaggioda Massimo » mar gen 16, 2018 10:46 am

Ho commesso un inesattezza:
il problema è che il 7 si può ottenere sia da 6rosso e 1blu ovvero da 1rosso e 6blu.
per avere uguali probabilità occorre ritenere nulla una delle due combinazioni ovvero ad es. se dovesse uscire 1rosso e 6blu il lancio lo si considera come se i dadi fossero rimasti in bilico.

dove il primo è il risultato del rosso ed il secondo quello blu sarebbero validi quelli in neretto:

02) 11 - 11 - 11
03) 21 - 21 - 21
04) 31 - 31 - 31
05) 41 - 41 - 41
06) 51 - 51 - 51
07) 61 - 61 - 61 - 16 - 16 - 16
08) 26 - 26 - 26
09) 36 - 36 - 36
10) 46 - 46 - 46
11) 56 - 56 - 56
12) 66 - 66 - 66

ovvero se usa i pesi >> in 1 e in 6

02) 11
03) 21
04) 31
05) 41
06) 51
07) 61 - 16
08) 26
09) 36
10) 46
11) 56
12) 66

occorre anche tener presente che gli eventi possibili sono 11 ed i dadi hanno 6 facce ognuno quindi ritengo improbabile si possa ottenere la perfezione di ottenere 1/11 di probabilità associata ad ogni evento lavorando coi pesi senza ammettere l'opzione del risultato nullo (*). D'altro canto ammettendo l'opzione del risultato nullo è altresì vero che per estensione è sufficiente usare 2 dadi canonici in cui i risultati in cui il dado blu riporta 2,3,4,5 e il risultato che riporti 1rosso e 6blu sono considerati nulli che abbiamo già uguagliato le probabilità a ciascun evento dove il primo è il risultato del rosso ed il secondo quello blu sarebbero validi quelli in neretto:

02) 11
03) 12 - 21
04) 13 - 22 - 21
05) 14 - 23 - 32 - 41
06) 15 - 24 - 33 - 42 - 51
07) 16 - 25 - 34 - 43 - 52 - 61
08) 26 - 35 - 44 - 53 - 62
09) 36 - 45 - 54 - 63
10) 46 - 55 - 64
11) 56 - 65
12) 66

(*)
ciò vorrebbe dire che, chiamando A,B,C,D,E,F e a,b,c,d,e,f le rispettive probabilità di uscita degli eventi 1,2,3,4,5,6 dei dadi rosso e blu i pesi devono essere tali che:

Aa=1/11
Ab+Ba=1/11
Ac+Bb+Ca=1/11
Ad+Bc+Cb+Da=1/11
Ae+Bd+Cc+Db+Ea=1/11
Af+Be+Cd+Dc+Eb+Fa=1/11
Bf+Ce+Dd+Ec+Fb=1/11
Cf+De+Ed+Fc=1/11
Df+Ee+Fd=1/11
Ef+Fe=1/11
Ff=1/11

11 equazioni in 12 incognite
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Re: I dadi onesti

Messaggioda 0-§ » mer gen 17, 2018 5:12 pm

Indizio: il problema è più di algebra che di probabilità, come intuito da Massimo...

Saluti a tutti dal freddo Canada
0-§
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Re: I dadi onesti

Messaggioda fabtor » ven gen 19, 2018 4:28 pm

E se le facce opposte fossero pesanti uguali e le tre coppie di facce opposte avessero un peso differente tra loro proporzionalmente alla probabilità d'uscita dei vari valori di somma?
I miei 2 cent.
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: |e^{-i\pi}|...

Pongo y = x^{2} quindi y=\frac {x^{2}}{pongo}
[tratto da un compito in classe di uno studente di prima superiore]

Il vero gnomone aureo: http://thumbs.dreamstime.com/z/gnomo-de-hadas-de-oro-seta-formado-con-un-palillo-52526933.jpg
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