Girotondo

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

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0-§
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Girotondo

Messaggio da 0-§ » sab nov 19, 2005 3:05 pm

Ho deciso di postare un nuovo messaggio qui e vieto a chicchessia di trasferirlo altrove,così posso avere il mio post anche qui.Scherzi a parte vorrei finalmente rimettermi in contatto con gli avventori del forum dopo lunga sparizione di ogni via di contatto.Mi sembra di essere tornato al lumino a carbone dopo una vita a luce elettrica,ma questo é pur sempre il glorioso vecchio forum di Base5 e ho ora l'onore di scrivere qui,in attesa della ricomparsa del NUoVo fOruM(con la enne,la u,la vu,la o e la m maiuscole).Vengo al dunque.
Sotto al mio terrazzo ci sono degli stramaledettCARINISSIMI bimbi che mi rompano facendo in continuazione il girotondo.
Noto che ognuno di loro ha un cappello colorato e vorrebbero provare a fare tutti i diversi girotondo possibili;e qui si entra nella combinatoria pesa.
Dunque,ci sono N bambocci e M colori diversi di cappelli(se M
Se però i bambini sono in cerchio,compaiono molte simmetrie che obbligano a cassare diverse soluzioni,ad es.{R,G,G,V} é uguale a {G,V,R,G} e non si deve considerarle come distinte(R rosso,G giallo).Potreste raffigurare i bambini come grani di una collana colorata e i vari colori dei grani (non necessariamente tutti diversi,anzi) come i colori dei berretti:se ci sono N grani(bambini) e ognuno ha un colore scelto tra M possibili colori,le collane corrispondono ai girotondi possibili.
E ora le domande,occhio sono assai difficili.
1)Dati M ed N,come si trova il numero G di girotondi diversi?Se tutti i bambini hanno il cappello dello stesso colore,non ha senso distinguere un girotondo da un altro,e quindi G(1,N) é sempre 1.Poi non é più cosi facile.Come sarà secondo voi il grafico 3D di z=G(x,y)?
Ovviamente non vi sto chiedendo di mandarmelo(non ci starebbe, su questo forum):é già complicatissimo trovare G(M,N),figuriamoci fare il grafico,ma chi lo mandasse egualmente(magari dicendo come ha fatto)godrà di rispetto e ammirazione perpertuo di tutto il forum e riceverà via e-mail l'ambitissima "Patacca d'oro" fatta con le mie amorevoli manine.Potrete fare sfoggio della "Patacca" in qualsiasi situazione,sempre che desideriati essere accolti da qualsiasi forma di consorzio umano con un tal lancio di bottiglie,cicche e lavandini sbarbati dal muro da far affondare l'Invincibile Armada(si sconsiglia di mostrare la "Patacca" senza alcune misure preventive,quali una via di uscita a portata di mano o una piccola arma da fuoco).
Io penso che due disposizioni identiche di bambini,ma una in senso orario e l'altra in senso antiorario,siano da cosiderarsi uguali.Ma come cambia la funzione F(M,N) se li considero differenti?Doppia "Patacca" e coppa "Secchione d'oro" a chi ci arriva.
2,più facile)Diciamo che ci sono cinque bambini e che ognuno abbia un berreto diverso.Se provano un girotondo diverso al secondo(scatenati come sono non me ne stupirei),riusciranno a provare tutte le configurazioni diverse prima che io li abbatta a fucilate(tempo necessario per caricare il mio fedele archibugio Mastino a sale grosso:cinque minuti)?
Mi potete aiutare?Formule,procedimenti,consigli per caricare velocemente e fare più male?
E' davvero un quesito molto difficile,quindi é ammesso fare uso di ogni genere di sotterfugi:ricerche su Internet (sicuramente qualcuno l'avrà già trattato),valori approssimati,formule parziali,programmi di calcolo, suppliche e offerte sacrificali a Giove Pluvio,tutto fa brodo.
Se é sgradito postare subito in un forum temporaneo ditelo che sposto il topic.
Saluti a tutti,speriamo di poter tornare allla lampada elettrica in fretta,il lumino a petrolio comincia a esaurirsi.
Grazie in anticipo.
Io ODIO quei pampini...
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di \pi, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di \pi dovesse cambiare.

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Messaggio da 0-§ » sab nov 19, 2005 3:09 pm

Pasquale dice che la risposta alla seconda domanda é 5 fattoriale=120.NON é così per le simmmetrie del girotondo che si formano,pensateci che é molto più difficile di quello che sembra.
Saluti,
il Nano Malefico
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giobimbo
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Messaggio da giobimbo » sab nov 19, 2005 9:58 pm

1. So che questi problemi di conteggio si affrontano usando la teoria di Polya-Redfield, di cui capisco il senso ma che non saprei come mettere in pratica.

2. Studiando le 24 permutazioni di 5 elementi che iniziano con un fissato elemento si trova che ci sono solo quattro disposizioni possibili, ovvero indicando i colori coi numeri da 1 a 5:
1 2 3 4 5
1 2 4 3 5
1 4 2 3 5
1 4 2 5 3
Tali disposizioni diventano otto se si considerano distinti i due sensi di rotazione, allora invertendo otteniamo:
5 4 3 2 1
5 3 4 2 1
5 3 2 4 1
3 5 2 4 1

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Messaggio da giobimbo » dom nov 20, 2005 10:47 am

Mi correggo: se ci sono n bambini, ognuno con cappello di colore diverso, i girotondi sono

(n-1)!

oppure la metà se si considerano uguali due girotondi diversi solo per il senso di rotazione. Quindi nel secondo problema ci sono 24 (oppure 12) girotondi.

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Messaggio da 0-§ » dom nov 20, 2005 10:55 am

Verificherò subito la formula di giobimbo.
In ogni caso rimarrebbe da trovare la formula generalizzata.
Aiutatemi,é un problema davvero tosto!
Saluti
0-§
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Messaggio da giobimbo » lun nov 21, 2005 2:21 pm

Scusa 0-§ ma dovresti chiarirmi un dubbio che mi è venuto leggendo la tua ultima risposta.
1) Tu sai le soluzioni e stai chiedendo a noi di scoprirle
2) Tu non sai le soluzioni e stai chiedendo a noi di aiutarti a trovarle
Quale dei due casi corrisponde alle tue domande? Se non è specificato altrimenti io parto sempre dal caso 1), da cui la mia risposta, trovata usando il ragionamento. Altre risposte le ho trovate nei libri ma ritengo scorretto mandarle, non essendo farina del mio sacco.

Se vale il caso 2), ho una formula che dà il numero dei girotondi e una che dà le possibili colorazioni dei cappelli, basate ambedue sulla funzione phi di Eulero.

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Messaggio da 0-§ » lun nov 21, 2005 3:24 pm

La cosa é una via di mezzo:io sfrombolando un pò ho trovato una formula,ma oltre ad essere lunghissima e poco chiara non so come sia stata ottenuta.La posterò tra un pò,ma volevo avere un aiutino:se non riuscite a trovarla(la formula completa e sempre valida ha fatto penare non pochi matematici,mi accontenterei anche di considerazioni generali)potete pure usare libri di testo e farina del sacco altrui(magari postando in font piccolissimo,per non rovinare il gioco agli altri).
In generale nei miei post ogni aiuto é gradito,meglio se postato in piccolissimo se si trova la soluzione geniale definitiva e rapidissima.Nessuno scrupolo a scopiazzare; dagli altri,anzi,purché lo diciate.
Ciao!
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Messaggio da 0-§ » ven dic 02, 2005 3:18 pm

A grande richiesta,signore e signori,la formula!Dovrebbe essere di Conway,ma non ci metterei la mano sul fuoco.
N=numero di mocciosi
M=possibili colori dei berrettini
\phi(x)= funzione di Eulero=quanti sono i numeri inferiori a x primi con x
d_k=k-esimo divisore di N,contando 1 e N
G=numero totale di divisori
\displaystyle F(M,N)=[A+{\sum_{k=1}^{G} (\phi(d_k)*M^{n/d_k})}]/2N
se N é dispari,A=N*M^{(n+1)/2},se é pari é \displaystyle \frac{N}{2}*(1+M)*M^{n/2}
Bella vero?
Arrivederci alla prossima
Ciao!
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