Giochi 1995 "frazioni e approcci"

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MB.enigmi
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Giochi 1995 "frazioni e approcci"

Messaggio da MB.enigmi » dom apr 09, 2017 4:48 pm

Francesco e Jose giocano a la “frazione più vicina” Una frazione, 225/157, scelta a caso, i due
avversari, a turno, danno una frazione che soddisfi le tre condizioni seguenti:
• non è uguale a 225/157
• la differenza tra il numeratore e il denominatore non deve superare i 1995
• deve essere una migliore approssimazione di 225/157 rispetto alla frazione trovata dall'avversario
...
Come due spadaccini formidabili, i due avversari si affrontano in modo tanto appassionato quanto
frazionati, fino a quando uno di loro dice una frazione che pone fine al duello!
Qual è l'ultima frazione annunciata?

Pasquale
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Re: Giochi 1995 "frazioni e approcci"

Messaggio da Pasquale » lun apr 10, 2017 1:07 am

In attesa di una migliore soluzione, provo intanto con 6518/4583.
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delfo52
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Re: Giochi 1995 "frazioni e approcci"

Messaggio da delfo52 » lun apr 10, 2017 2:35 pm

la differenza tra numeratore e denominatore è 68. se moltiplico sopra e sotto per 28 la differenza è meno di 1995. aggiungo 72 e 50 sopra e sotto (approssimazione del rapporto 1,433.
6372/4446
migliorabile
Enrico

Bruno
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Re: Giochi 1995 "frazioni e approcci"

Messaggio da Bruno » lun apr 10, 2017 4:58 pm

Il risultato di Enrico è: $\; {\large \frac{354}{247}} = 1.433198380566801619...$ (periodico).

Utilizzando la costante di Chaitin:

$\Omega_{\small U} = 0.00787499699...$

possiamo trovare un'altra approssimazione:

$55 \cdot\Omega_{\small U} + 1≈ {\large \frac{2293}{1600}} = 1.433125$.

Così, giusto per provare :D
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delfo52
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Re: Giochi 1995 "frazioni e approcci"

Messaggio da delfo52 » lun apr 10, 2017 6:26 pm

dal risultato di Bruno, possiamo raddoppiare (e restiamo entro i 1995 di gap, e poi aggiustare una unità in più o meno sopra o sotto, magari migliora
Enrico

Pasquale
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Re: Giochi 1995 "frazioni e approcci"

Messaggio da Pasquale » lun apr 10, 2017 6:47 pm

Scusate, avevo sbagliato a copiare (un 6 scritto così male che m'era sembrato un 1 un po' storto).
La frazione giusta era 6568/4583 = 1.433122.... a fronte di 225/157 = 1.433121.... troncate alla 6a cifra decimale.

OK, secondo le proiezioni, con la limitazione del 1995, che avrebbe potuto essere anche 1985, di meglio non si può.
Aumentando la differenza consentita alternativamente di +42 e +26, si possono ottenere altri risultati migliori, ma prima di spostarsi dalla 6a cifra decimale, ce ne vuole.

Di seguito, numeratori, denominatori, loro differenze, rapporti num/den approsimati all'ottava cifra decimale, differenze dei rapporti rispetto al rapporto 225/157:


943 658 285 1.43313069 .00001
1082 755 327 1.43311258 .00000967
1168 815 353 1.43312883 .00000843
1307 912 395 1.43311403 .00000781
1393 972 421 1.43312757 .00000698
1532 1069 463 1.43311506 .00000655
1618 1129 489 1.43312666 .00000595
1757 1226 531 1.43311582 .00000564
1843 1286 557 1.43312597 .00000519
1982 1383 599 1.43311641 .00000495
2068 1443 625 1.43312543 .0000046
2207 1540 667 1.43311688 .00000441
2293 1600 693 1.433125 .00000413
2432 1697 735 1.43311726 .00000398
2518 1757 761 1.43312464 .00000375
2657 1854 803 1.43311758 .00000362
2743 1914 829 1.43312434 .00000343
2882 2011 871 1.43311785 .00000332
2968 2071 897 1.43312409 .00000316
3107 2168 939 1.43311808 .00000307
3193 2228 965 1.43312387 .00000293
3332 2325 1007 1.43311827 .00000285
3418 2385 1033 1.43312368 .00000273
3557 2482 1075 1.43311845 .00000267
3643 2542 1101 1.43312352 .00000256
3782 2639 1143 1.4331186 .0000025
3868 2699 1169 1.43312337 .00000241
4007 2796 1211 1.43311874 .00000235
4093 2856 1237 1.43312324 .00000227
4232 2953 1279 1.43311886 .00000223
4318 3013 1305 1.43312313 .00000215
4457 3110 1347 1.43311897 .00000211
4543 3170 1373 1.43312302 .00000204
4682 3267 1415 1.43311906 .000002
4768 3327 1441 1.43312293 .00000194
4907 3424 1483 1.43311915 .00000191
4993 3484 1509 1.43312284 .00000186
5132 3581 1551 1.43311924 .00000182
5218 3641 1577 1.43312276 .00000177
5357 3738 1619 1.43311931 .00000174
5443 3798 1645 1.43312269 .0000017
5582 3895 1687 1.43311938 .00000167
5668 3955 1713 1.43312262 .00000163
5807 4052 1755 1.43311944 .00000161
5893 4112 1781 1.43312256 .00000157
6032 4209 1823 1.4331195 .00000154
6118 4269 1849 1.43312251 .00000151
6257 4366 1891 1.43311956 .00000149
6343 4426 1917 1.43312245 .00000145
6482 4523 1959 1.43311961 .00000143
6568 4583 1985 1.4331224 .0000014

iC)=H|dDCç*P

Gli affecionados di Bae5 che desiderassero decriptare i miei messaggi indecifrabili, potranno contattarmi su questi schermi.
Ultima modifica di Pasquale il mer apr 12, 2017 1:24 am, modificato 1 volta in totale.
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MB.enigmi
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Re: Giochi 1995 "frazioni e approcci"

Messaggio da MB.enigmi » mar apr 11, 2017 3:22 pm

Complimenti ottime soluzioni. :D
Purtroppo su internet non ho trovato nessuna soluzione ufficiale, quindi non saprei quale sia la risposta giusta, cmq non ho capito qual è il modo di procedere e come si calcolano le varie frazioni che approssimano il risultato?

Pasquale
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Re: Giochi 1995 "frazioni e approcci"

Messaggio da Pasquale » mer apr 12, 2017 4:26 am

Che strano, la domanda ricorda in qualche modo il quesito del post "numeri primi"....corsi e ricorsi.
Intanto, vorrei meglio illustrare la lista di risultati poco sopra, nella quale come detto, nella prima colonna ci sono i numeratori delle frazioni generatrici dei risultati approssimati e nella seconda i denominatori. Nella terza colonna le differenze fra numeratori e denominatori, nella quarta i risultati approssimati, o meglio ancora troncati all'ottava cifra decimale, e nella quinta colonna la differenza fra tali risultati ed il risultato della frazione 225/157.
Come si può notare sono state elencate solo le frazioni che generano risultati man mano sempre più vicini a 225/157, come evidenziato in modo chiaro nella quarta colonna o meglio nella quinta.
L'ultima frazione 6568/4583 è a mio avviso il risultato cercato, perché come è possibile notare è quello più vicino a 225/157 rispetto ai precedenti che si avvicinano gradualmente man mano che si procede nell'elenco, così come man mano crescono le differenze fra numeratori e denominatori, sino a raggiungere la massima differenza 1985 consentita dal quesito; infatti, dalle osservazioni effettuate, ho trovato che la frazione successiva con risultato migliore richiederebbe una differenza fra numeratore e denominatore di 2027>1995. Nella terza colonna delle differenze si può notare, procedendo dall'alto in basso lungo la lista, che fra due di tali differenze consecutive, esistono differenze di 42 o 26 in modo alternato. Quindi, dalla prima differenza della lista all'ultima, partendo dal 285 si giunge all'ultima differenza consentita di 1985, aggiungendo di volta in volta , alternativamente, 42,26,42,26,42,26,....
Questo avviene perché guardando alle liste dei numeratori e dei denominatori ci si accorge che partendo dal numeratore 943, si giunge all'ultimo della lista 6568, aggiungendo alternativamente 139,86,139,86,139...... e così per i denominatori a partire dal 658, aggiungendo 97,60,97,60....
E' evidente che se all'inizio della lista fra 943 e 658 c'è una differenza di 285, aggiungendo al numeratore 139 e al denominatore 97, automaticamente viene aggiunto un 42 alla differenza 285 fra numeratore e denominatore, mentre al passo successivo aggiungendo 86 al numeratore e 60 al denominatore, automaticamente si aggiunge un 26 al corrispondente valore della terza colonna (non so se mi sono spiegato).
Quanto descritto costituisce una delle mie solite congetture (le altre non ricordo quali siano,la quale scaturisce dalle imposizioni del quesito, oltre l'imposizione da me aggiunta nella formulazione della routine in Decimal Basic, studiata nella circostanza per mettere ordine nella ricerca ed a mezzo della quale ogni risultato in quinta colonna deve essere migliore del precedente.
Conclusione: se non ci fosse stata nel quesito la limitazione del 1995 (o 1985 che avrebbe dato egual risultato), la congettura avrebbe consentito di fare a meno della routine in Decimal Basic, consentendo di raggiungere approssimazioni sempre più vicine a 225/157; cosa che non sarebbe stato possibile con la routine, per una questione di tempi di elaborazione, sempre più lunghi con il crescere dei valori di numeratori e denominatori; infatti ormai si dovrebbe aver capito che una frazione con buona approssimazione deve avere valori di numeratore e denominatore molto alti, con una quantità di cifre vicine alle 79 unità, come d'altra parte sarebbe la frazione generatrice del 225/157 (parte significativa meno antiperiodo, ecc.).
Eliminando la condizione 1995, riporto a titolo di esempio una frazione con approssimazione migliore di 6568/4583, costituita come detto da numeri con maggiore quantità di cifre :

271436 189402 82034 1.43312108 .00000006

La routine utilizzata, lanciabile in precisione semplice (più veloce), considerato che ho deciso di troncare i numeri all'8^ cifra decimale:

LET a=1.433121019108280254777070063694267515923566878980891719745222929936305732484076
LET d=0.00001
FOR i=2 TO 6
FOR n=10^i TO 10^(i+1)-1
IF MOD(n,157)<>0 THEN
FOR m=n+1 TO n+1995 STEP 2
LET x=m/n
LET y=ABS(x-a)
IF y<d THEN
PRINT m;n;m-n; INT(10^8*m/n)/10^8; INT(d*10^8)/10^8
LET d=y
END if
NEXT m
END if
NEXT n
NEXT I
END

Detto questo, è da notare che con tutti i valori della lista sopra riportati, differenze varie, ecc., in realtà ogni 2 passi sulla lista non facciamo altro che aggiungere al numeratore 225 e al denominatore 157 :shock:
Quindi a questo punto, pur senza alcuna congettura di Pasquale, partendo dalla frazione 1/1, che non è uguale a 225/157, ho l'impressione che, data una frazione (N*225+1)/(n*157+1) dovremmo facilmente ottenere risultati vicini a 225/157, approssimati quanto si voglia in base al valore di N.
Infatti:

22500000000001/15700000000001 = 1.43312101910825.......
(225*10^76+1)/(157*10^76+1) = 1.433121019108280254777070063694267515923566878980891719745222929936305732484076......
in cui le prime 78 cifre decimali sono identiche al periodo di 225/157, mentre cambiano le successive.
Questo naturalmente spiega l'ulteriore limite di 1995 imposto dall'autore del quesito: Tuttavia, senza la routine o utilizzando la routine fino al raggiungimento veloce del primo risultato utile della lista, ovvero 943/658, avremmo potuto scrivere dopo qualche tentativo:

[943+(25*225)]/[658+(25*157)]= 6568/4583 :mrgreen:
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Re: Giochi 1995 "frazioni e approcci"

Messaggio da Bruno » mer apr 12, 2017 11:08 am

Mirabile tour nei pensieri e nell'approccio che la questione ti ha stimolato, Pasquale :D
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Re: Giochi 1995 "frazioni e approcci"

Messaggio da Pasquale » mer apr 12, 2017 12:31 pm

Grazie Bruno, vado a giornata e non dipende da me.....è quell'altro che comanda da dentro.
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