Funzioni generatrici

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
sTella_ikoNa
Livello 2
Livello 2
Messaggi: 27
Iscritto il: ven nov 29, 2013 9:42 am

Funzioni generatrici

Messaggio da sTella_ikoNa » lun apr 28, 2014 9:51 am

Se abbiamo una funzione g(x),sviluppabile in serie di Taylor intorno ad x=0 tale che si possa scrivere:

$\large g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...a_nx^n+...$

allora g(x) è detta funzione generatrice della successione aritmetica :

$\large a_0,a_1,a_2,a_3,...a_n,...$

Così : $\large g(x)=1+x+x^2+x^3+...x^n+..$ è la funzione generatrice della successione:

1,1,1,1,...1,..(tutti 1)

Ove in forma chiusa si ha: $\Large g(x)=\frac{1} {1-x}$

Uno studente di fronte alla sequenza : 0,1,2,6,15,40,104,273,...
quando è stata ora di stabilirne la funzione generatrice(in forma chiusa) si è messo nelle peste
e non ha saputo trovare il bandolo della matassa.Possiamo aiutarlo?
Ciao a tutti :)

Pasquale
Livello 11
Livello 11
Messaggi: 2380
Iscritto il: mer mag 25, 2005 1:14 am

Re: Funzioni generatrici

Messaggio da Pasquale » lun apr 28, 2014 5:26 pm

Troppo difficile per me, ma poiché piace divertirmi, ho provato a continuare la serie indicata.
Mi sento di indicare 714 e 1870 come i due immediatamente successivi al 273, basandomi sui quadrati dei termini della serie di Fibonacci.
_________________

\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

vittorio
Livello 3
Livello 3
Messaggi: 63
Iscritto il: lun ago 20, 2007 8:29 am
Località: Ravenna

Re: Funzioni generatrici

Messaggio da vittorio » mar mag 13, 2014 5:05 pm

Considero la successione T=0,1,2,6,15,40,104,273,... con $t_{0}=0$, $t_{1}=1$, $t_{2}=2$, $t_{3}=6$, .... ecc.
Dalla precedente costruisco la successione Q delle differenze $q_{n}=t_{n}-t_{n-1}$ , n>0: Q=1,1,4,9,25,64,169,.....
Osservo che iI primi temini della Q coincidono coi quadrati dei corrispondenti termini della successione di Fibonacci data dalla formula ricorrente $f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}$ con $f_{0}=0$ e $f_{1}=1$.
Dalla formula di Binet $f_{n}=\frac{\varphi_{1}^{n}-\varphi_{2}^{n}}{\sqrt{5}}$ con $\varphi_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ e $\varphi_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ elevando al quadrato si ottiene $q_{n}=f_{n}^{2}=\phi_{1}^{n}+\phi_{2}^{n}+\left(-1\right)^{n}$ con $\phi_{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ e $\phi_{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
Anche la successione Q dei quadrati dei numeri di Fibonacci è quindi ricorrente con equazione caratteristica data da
$\left(x-\phi_{1}\right)\cdot\left(x-\phi_{2}\right)\cdot\left(x+1\right)=x^{3}-2\cdot x^{2}-2\cdot x +1=0.$
La formula di ricorrenza per i $q_{n}$ è allora $q_{n+3}=2\cdot q_{n+2}+2\cdot q_{n+1}-q_{n}$ con $q_{0}=0$, $q_{1}=1$, $q_{2}=1$.
Ma $q_{n}=t_{n}-t_{n-1}$ per cui sostituendo $t_{n+4}=3\cdot t_{n+3}-3\cdot t_{n+1}+t_{n}$ che, con $t_{0}=0$, $t_{1}=1$, $t_{2}=2$, $t_{3}=6$ è la formula di ricorrenza della successione T, di equazione caratteristica $x^{4}-3\cdot x^{3}+3\cdot x-1=0$.

Consideriamo ora lo sviluppo $S\left(x\right)=t_{0}+t{}_{1}\cdot x+t{}_{2}\cdot x^{2}+t_{3}\cdot x^{3}+t_{4}\cdot x^{4}+t_{5}\cdot x^{4}+t_{6}\cdot x^{6}+t_{7}\cdot x^{7}+......$
e moltiplichiamolo per $D\left(x\right)=x^{4}-3\cdot x^{3}+3\cdot x-1$
cioè per l'equazione caratteristica della successione T, ottenendo $N\left(x\right)=k_{0}+k_{1}\cdot x+k_{2}\cdot x^{2}+k_{3}\cdot x^{3}+k_{4}\cdot x^{4}+k{}_{5}\cdot x^{4}+k{}_{6}\cdot x^{6}+k_{7}\cdot x^{7}+......$
con
$k_{0}=-t_{0}$
$k_{1}=3\cdot t_{0}-t_{1}$
$k_{2}=3\cdot t_{1}-t_{2}$
$k_{3}=-3\cdot t_{0}+3\cdot t_{2}-t_{3}$
$k_{4}=t_{0}-3\cdot t_{1}+3\cdot t_{3}-t_{4}$
$k_{5}=t_{1}-3\cdot t_{2}+3\cdot4_{4}-t_{5}$
.......................................
$k_{n+4}=t_{n}-3\cdot t_{n+1}+3\cdot t_{n+3}-t_{n+4}$
.......................................

Ma, per la relazione di ricorrenza già vista, risulta $k_{n}=0$ per n>3. Si ha quindi $N\left(x\right)=x^{2}-x$ da cui

$\frac{N\left(x\right)}{D\left(x\right)}=\frac{x^{2}-x}{x^{4}-3\cdot x^{3}+3\cdot x-1}=\frac{x}{x^{3}-2\cdot x^{2}-2\cdot x+1}=x+2\cdot x^{2}+6\cdot x^{3}+15\cdot x^{4}+40\cdot x^{5}+104\cdot x^{6}+273\cdot x^{7}+.............$

Vittorio
Vittorio

Rispondi