formule chiuse

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Tino
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formule chiuse

Messaggio da Tino »

Ciao a tutti!

La mia proposta è:

calcolare $s_r(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^r$ per r=1, 2, 3. Si richiede una formula chiusa, non definita per induzione.

Io ho usato metodi "geometrici", secondo voi esistono metodi puramente algebrici?

Se poi ve la sentite di generalizzare a r arbitrario, prego... ogni intervento è benvoluto.

Ciao
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(Peril At End House)

Ospite

Messaggio da Ospite »

la formula generale e':
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^r=\frac{{r+1 \choose 0}B_0n^{r+1}+ {r+1 \choose 1}B_1n^{r} +{r+2 \choose 1}B_2n^{r-1}+....+{r+1 \choose r}B_rn } {r+1}$
dove le B sono i cosiddetti numeri di Bernoulli di cui te ne riporto alcuni:
$\displaystyle B_0=1,B_1=\frac{1}{2},B_2=\frac{1}{6},B_4=-\frac{1}{30},B_6=\frac{1}{42}, B_8=-\frac{1}{30}, B_{10}=\frac{5}{66},B_{12}=-\frac{691}{2730}$
Le B con pedice dispari (tranne $\displaystyle B_1$) sono tutte nulle.
Il calcolo delle B puo' farsi simbolicamente con la formula (cosiddetta umbratile) data da:
(1 )$\displaystyle (B+1)^{r+1}-B^{r+1}=r+1$ con r=1,2,3,4....
che va sviluppata normalmente col binomio di Newton tranne che poi ogni
esponenti delle B deve esssere sostituito con un eguale pedice.

Mi spiego con un esempio.Supponiamo r=2,allora la (1) diventa:
$\displaystyle B^3+3B^2+3B^1+1-B^3=3$ ovvero $\displaystyle3B^2+3B^1=2$
Sostituendo ora ogni esponente con un pedice risulta:
$\displaystyle3B_2+3B_1=2$ da cui tenuto conto che $\displaystyle B_1=\frac{1}{2}$ si ricava appunto $\displaystyle B_2=\frac{1}{6}$
Spero di esserti stato di aiuto.Ciao.
Lorenzo

Info
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Messaggio da Info »

bella 'sta formula per i numeri di Bernoulli, sarebbe anche la risposta del mio quesito, vi ricordate??? Sicuramente è la formula più semplice da usare....

Ciao by Info

0-§
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Messaggio da 0-§ »

@Tino:cosa vuol dire formule chiuse?Io penso a formule poco ciarliere e antisociali... :lol:Spiegati meglio.
Mah,posso provare a dimostrare le formule per R=1,2,3,ma senza induzione...vediamo.
Un plauso a Lorenzo per il messaggio,quando ho tempo me lo studio con più calma.
Saludos
Zerinf
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.

-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox

Tino
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Messaggio da Tino »

Ciao,

per formule chiuse intendo formule non definite per induzione, ovvero in cui non compaiano "puntini", o non ci sia una definizione del tipo: $a_{n+1}=f(a_n)$ con f una certa funzione opportuna.
Pare necessario per la formula con r generico usare una scrittura del tipo $b_1+b_2+...+b_s$, probabilmente è il massimo (e il minimo) di eleganza che si riesce a raggiungere, ma volevo almeno capire l'algoritmo che mi permette di calcolare $s_r(n)$ per r piccolo, così da poter generalizzare non dico la formula, almeno il ragionamento.

Per esempio, risolvo io per $s_1(n)$, che sappiamo tutti valere $\frac{n(n+1)}{2}$: posso immaginare $s_1(n)$ come l'area della figura piana ottenuta sovrapponendo n strisce di lunghezza decrescente, la prima di lunghezza n, l'ultima di lunghezza 1, e tutte le strisce di larghezza 1. Immagino questa figura piana contenuta in un quadrato di lato n. È facile accorgersi che la parte restante ha area uguale a $s_1(n-1)$ (è una "quasi-formalizzazione" del ragionamento di Gauss quando da bambino ha calcolato la somma dei primi 100 numeri naturali in pochissimo tempo sbalordendo la maestra). Quindi

$s_1(n)=n^2-s_1(n-1)=n^2-(s_1(n)-n)=n^2+n-s_1(n)$

Portando a sinistra il $s_1(n)$ e dividendo per due, otteniamo la nota formula.
In generale, credo si ottenga un polinomio di grado r+1.
Un polinomio di grado r+1 è una formula chiusa perché in essa non interviene l'induzione. Il mio scopo è capire con che criterio si risolvono i $s_r$ tenendo conto che una volta che r=4 l'immaginazione (almeno quella di immediato abbordaggio) non aiuta più: oltre la terza dimensione non ci è dato di pensare.

Ciao
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