Fiammiferi e scale a pioli.

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peppe
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Fiammiferi e scale a pioli.

Messaggio da peppe » lun mar 14, 2016 7:32 pm

Parlo delle scale utilizzate prevalentemente da chi svolge attività agricola.
Scala8.png
Scala8.png (8.42 KiB) Visto 2257 volte
Quesito:
Quanti fiammiferi sono necessari per costruire le scale con quattro e cinque pioli?
Quanti ce ne vogliono per costruire una scala con cento pioli?

Scale di fiammiferi.jpg
Scale di fiammiferi.jpg (39.69 KiB) Visto 2257 volte
Chi mi conosce sa bene che mai e poi mai, mi sarei permesso di proporre un quesito
così banale agli eccelsi forumisti (Basecinquini) di questo pregevole forum!

Per rispondere alla prima domanda quello che fanno molte persone è disegnare scale
con 4 e 5 pioli e contare i fiammiferi corrispondenti:14 e 17.

Altri, la minoranza, sono già in grado di individuare il modello di creazione della serie
di scale e di scrivere la risposta immediatamente.
Ma dobbiamo osservare un dettaglio, molte persone disegnano le scale per mancanza di fiducia.
Ossia, fondano la certezza assoluta del proprio pensiero sulla verifica sperimentale e diretta
della situazione.
La verità è che dobbiamo ammettere che il grado di certezza che abbiamo delle cose corrisponde
al grado di percezione sensoriale che abbiamo di esse, e questo è un aspetto della matematica
che si avverte di meno in altre materie.
I risultati matematici sono veri o falsi senza contatto diretto con il fenomeno che si verifica, ma
attraverso giustificazioni e dimostrazioni spesso molte isolate dalla percezione sensoriale.

La seconda domanda del quesito viene posta proprio perché la persona sia costretta a scartare la
percezione diretta del fenomeno, poiché è praticamente impossibile disegnare una scala di fiammiferi
con 100 pioli. Aumentando tanto la quantità, si obbliga a pensare di più per ottenere una risposta quasi
impossibile da dare con la metodologia utilizzata per la prima domanda.

Pertanto, è a questo punto che le persone si soffermano a pensare a un modello soggiacente
che regola la serie di scale. Trovare questo modello richiederà di conoscere a fondo il fenomeno
e determinare il numero di fiammiferi occorrenti, non solo per una con 100 pioli, ma di una scala qualunque.

Ed ecco la vera domanda:

Quale strategia adottereste per trovare un modello (formula) capace di convincere anche gli scettici più ostinati?
Saluti. peppe...(perdonatemi se vi scoccio... la colpa e di questo piovoso Marzo!...) :mrgreen:
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Info
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Re: Fiammiferi e scale a pioli.

Messaggio da Info » lun mar 14, 2016 9:38 pm

ciao Peppe,
basta guardare che per una scala ad un piolo bastano 5 fiammiferi ed ogni piolo ne richiede 3 in piu`.... per 100 diciamo 302 fiammiferi?
Fai sorridere il tuo HD diventando opensource oriented, scopri come

peppe
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Re: Fiammiferi e scale a pioli.

Messaggio da peppe » mar mar 15, 2016 8:11 am

Ciao, Info.
Acuta osservazione la tua. Forse un po' troppo per chi
abituato a ragionare nei modi specificati nella premessa.

Insomma devi immaginare di convincere, non dico una
persona ottusa (sarebbe come voler lavare la testa al ciuco...),ma
uno che vede le cose sotto un'angolozione diversa, ossia meno acuta della tua.

Di fronte a questo quesito, parechhi di coloro che non afferrano al volo
la soluzione, sono portati a costruire una tabella, facendo la stessa
considerazione numerica fatta da te.

-1 piolo-----5 fiammiferi
-2 pioli-----8 fiammiferi
-3 pioli----11 fiammiferi
-4 pioli----14 fiammiferi
-5 pioli----17 fiammiferi

Collocando i dati in questo modo, la gente si renderà conto di varie cose.
In primo luogo il numero di scale corrisponde al numero di pioli.
In secondo luogo, il numero di fiammiferi da una scala si ottiene sommando 3 al numero
precedente, cominciando da 5.
Questo è già un modello con cui possiamo conoscere il numero di fiammiferi
di qualsiasi scala, ma condivide la difficoltà del disegno:
per sapere quanti pioli ha la scala 100, bisogna conoscere quelli della scala 99,
bisogna conoscere quelli della 98, e così via.
Questo modello è la traduzione numerica del modello visivo e geometrico.
Entrambi sono ricorsivi e ciò di cui abbiamo bisogno è di saltare direttamente fino
alla scala con 100 pioli.

Pertanto, il problema non è scoprire la relazione tra i numeri che compaiono nelle
colonne della tabella precedente, ma il rapporto tra le coppie di numeri su ciascuna riga.
Ciò significa stabilire la relazione per cui:

1 si trasforma in 5
2 si trasforma in 8
3 si trasforma in 14
5 si trasforma in 17
e cosi via.

Trovare tale relazione è possibile pensando direttamente in numeri o, come fa la maggior parte delle
persone, tornando a studiare la scale già disegnate.
E' allora che affiorano diversi modelli di relazione a partire da diverse interpretazioni visive
delle figure.

Quindi la spiegazione che si cerca non deve essere solo numerica ma essenzialmente grafica
direi quasi "fotografica", tale cioè che una volta focalizzata e memorizzata, riesce difficile
NON convincersi della sua giustezza anzhe a un ciuco...

Spero di essere stato sufficientemente chiaro.
Ciao. peppe
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Marco
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Re: Fiammiferi e scale a pioli.

Messaggio da Marco » mar mar 15, 2016 9:01 am

Buongiorno,
io, nella mia ignoranza , vedo un gradino fatto da 3 fiammiferi a cui vanno aggiunti 2 fiammiferi per fare le prominenze superiori.
Qualunque numero di gradini seguirà quindi la formula 3 x n + 2

peppe
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Re: Fiammiferi e scale a pioli.

Messaggio da peppe » mar mar 15, 2016 12:06 pm

Ciao Marco.

O.K. ci siamo (quasi...) la formula risolutiva è $S_n = 2+3*n$.
Col "quasi" mi riferisco al fatto che lo "scettico" di cui sopra, con la sola
soluzione algebrica non si convince facilmente. Vuole "vederci" chiaro.
Vuole, insomma una dimostrazione non solo algebrica ma anche "grafica".
Qualcosa di simile alla dimostrazione del fatto che:

Il quadrato di una somma non è la somma dei quadrati

$(a+b)^2\neq a^2 + b^2$

Algebricamente sappiamo che:

$(a+b)^2 = (a+b)*(a+b) = a*a+a*b+b*a+b*b = a^2+2ab+b^2$

Però esiste anche la dimostrazione geometrica che la rafforza, e la
rende ancor più comprensibile perché, come dire, è qualcosa che vedi
con gli occhi.
In rete se ne trovano tantissime. Eccone una qui:
http://matececioni.altervista.org/polin ... clide.html

Insomma per farla breve la (anzi le, perché ce ne sono almeno tre)
dimostrazioni a cui alludo debbono essere suffragate da un disegno con le scale.

Ciao. peppe
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Re: Fiammiferi e scale a pioli.

Messaggio da peppe » mar mar 22, 2016 6:02 pm

Sono trascorsi ormai 8 giorni. Anche per una forma di cortesia nei riguardi di Info e di Marco
corre l'obbligo di postare le possibili soluzioni.
Ne esistono almeno tre:
Soluz.A.jpg
Soluz.A.jpg (99.13 KiB) Visto 2206 volte
Se $A(n)$ è l'espressione generale del numero di fiammiferi
necessari per costruire l'ennesima scala, allora:

$A(n) = 2 + n + 2n$
Soluz.B.jpg
Soluz.B.jpg (101.14 KiB) Visto 2206 volte
Questa nuova interpretazione delle scale si riassume scrivendo:

$B(n) = 2(n + 1) + n$

Ma esiste anche un'altra soluzione, derivata da un'interpretazione visiva che
scompone la scala in modo diverso:
Soluz.C.jpg
Soluz.C.jpg (94.39 KiB) Visto 2206 volte
Questa soluzione porta all'espressione:

$C(n) = 2 + 3n$

Le tre soluzioni sono equivalenti, un fatto dimostrato non solo dalla scomposizione visiva
della scala in moduli, ma anche dal calcolo algebrico:

$A = 2 + n + 2n = 2 + 3n$

$B = 2(n + 1) + n = 2n + 2 + n = 2 + 3n$

$C = 2n + 3n$

Osservando ciò che l'algebra riassume e semplifica, l'espressione definitiva e più semplice
del modello è esattamente quella che determina la soluzione C:

$C(n) = 2 + 3n$

In questa soluzione si evidenzia il fatto che la scala inizia con 2 fiammiferi, a cui
se ne aggiungono altri 3 ogni volta che si desidera creare un nuovo piolo.

Forse l'algebra, almeno in questa occasione, indica il modo più chiaro e diretto di
interpretare la soluzione, come se ci dicesse il modo in cui dobbiamo pensare o il
modo in cui dobbiamo intendere sia la scala sia la costruzione della serie di pioli.
La soluzione definitiva del problema non è altro che la successione di multipli
di 3 sfasata di due unità.

Con una qualsiasi delle tre espressioni ottenute per il numero di fiammiferi da
cui è composta l'ennesima scala, possiamo sapere immediatamente che per
costruire la centesima scala saranno necessari:

$2 + 3 *100 = 2 + 300 = 302$ fiammiferi.

Personalmente ritengo che sia un metodo valido, prova ne sia il fatto che
l'ho capito. Però non essendo insegnante di matematica non ho titolo
per esprimere un giudizio. Chissà , magari esistono metodi ancora più validi che io ignoro.
Saluti. peppe
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Pasquale
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Re: Fiammiferi e scale a pioli.

Messaggio da Pasquale » sab apr 02, 2016 12:30 pm

Interessante disquisizione, anche se ad onor di precisione non concordo con la conclusione 2+3*b, preferendo quella di Marco 3*b +2 , in quanto guardando all'uso reale dell'oggetto, non possiamo riferirci ad una scala, iniziando dal basso solo con 2 montanti fra loro paralleli, non sufficienti per la funzione di arrampicamento.
Occorre dunque inizare con 3 legni, di cui 2 paralleli ed uno perpendicolare ai primi (primo piolo funzionale all'appoggio di un piede); per cui ogni 3 legni sovrapposti, con eguale struttura a quella iniziale, costituiscono quanto necessario per ottenere un piolo ed al termine dell'ultimo aggiungiamo gli ultimi 2 legni per formare la classica scala all'italiana che conosciamo.
In conclusione: P_n = 3 \cdot n+2, ove P sta per "piolo" :wink:
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\text {     }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

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Re: Fiammiferi e scale a pioli.

Messaggio da peppe » sab apr 02, 2016 1:53 pm

In effetti hai ragione. In teoria ( perché in pratica non ne ho mai viste), potremmo avere una
scala composta da un solo piolo (utilizzabile dagli amici di Biancaneve :D :D ).

L'argomento l'ho trovato su un libro che ho già segnalato dal titolo:
"Facile o difficile? Apprendere e insegnare la matematica"
dedicato alla didattica della matematica nelle scuole primarie.
Lo scopo è riassunto in queste poche righe scritte in IV di copertina:

"Al giorno d'oggi, conoscere la matematica significa "fare" la matematica, ossia
metterla in pratica: contare, calcolare, localizzare, disegnare, spiegare o giocare, le
sei operazioni base di ogni cultura che sono strettamente legate alla realtà matematica.
Se l'insegnante sa fornire gli strumenti e collegarsi all'interesse degli studenti e alla loro
realtà, il resto può essere un gioco da ragazzi.


Saluti. peppe
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Pasquale
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Re: Fiammiferi e scale a pioli.

Messaggio da Pasquale » sab apr 02, 2016 3:12 pm

Si vabbè, l'avevo capito che l'argomento era di natura didattica e peraltro l'avevi scritto, ma quando si fa un libro, a voler essere pignoli, dal momento che erano state presentate più soluzioni, mi son chiesto come mai fosse stata trascurata proprio quella che per me era la più semplice, logica ed esatta (almeno per come l'ho pensata io, ma anche Marco).
Insomma ho voluto fare un po' di polemica, per agitare un po' le acque, così da far prendere loro un tantino d'aria.
Per quanto riguarda Peppe, lo so che PeppeXX è sempre l'ex Peppe52, l'internauta per eccellenza. :wink: :idea: :arrow: :D
Tienti pronto, ché c'è rischio che una di queste volte, quando avranno terminato la Salerno-Reggio Calabria, verrò a salutarti di persona. :mrgreen:
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