Fattori seni, prodotti sani.

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Tino
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Messaggio da Tino » lun mar 26, 2007 1:25 pm

Sia m \geq 2 un intero. Calcolare

\prod_{k=1}^{m-1} \sin(\frac{k \pi}{m})

e gioire :)
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karl
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Messaggio da karl » gio mar 29, 2007 2:39 pm

La dimostrazione,almeno quella che ho io ,richiede due casi.
1)m=2n
Detto P il prodotto in questione,risulta:
P=\sin(\frac{\pi}{2n})\sin(\frac{2 \pi}{2n})*..*\sin(\frac{n \pi}{2n})*..*\sin(\frac{(2n-2) \pi}{2n})\sin(\frac{(2n-1) \pi}{2n})
Il fattore centrale di P vale 1 e i fattori equidistanti da esso sono uguali
perché hanno argomenti supplementari.
Pertanto:
(1) P=\prod_{k=1}^{n-1}\sin^2(\frac{k \pi}{2n})
Ora e':
x^{2n}-1=(x^2-1)\prod_{k=1}^{n-1}[x^2-(\epsilon_k^{(2n)}+\epsilon_c_k^{(2n)})x+\epsilon_k^{(2n)}*\epsilon_c_k^{(2n)}]
dove le epsilon sono la radice 2n-esima di ordine k dell'unita' e la sua coniugata.
Pertanto ne viene che :
\frac{x^{2n}-1}{x^2-1}=\prod_{k=1}^{n-1}[x^2-2x\cos(\frac{2k\pi}{2n})+1]
Passando al limite per x->1,si ottiene:
n=\prod_{k=1}^{n-1}2^2\sin^2(\frac{k \pi}{2n})
Oppure:
n=2^{2n-2}\prod_{k=1}^{n-1}\sin^2(\frac{k \pi}{2n})
Quindi:
\frac{n}{2^{2n-2}}=\prod_{k=1}^{n-1}\sin^2(\frac{k \pi}{2n})
Percio' (tenendo conto della (1) ):
P=\frac{n}{2^{2n-2}}=\frac{2n}{2^{2n-1}}
Ma 2n=m e alla fine si ha:
P=\frac{m}{2^{m-1}}
Per m=2n+1 si lavora allo stesso modo ottenendo identico risultato.
karl
Ultima modifica di karl il gio mar 29, 2007 6:30 pm, modificato 1 volta in totale.

Tino
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Messaggio da Tino » gio mar 29, 2007 3:03 pm

Impeccabile!

Ho trovato svolto (ahime ! :P ) questo prodotto studiando la dimostrazione della formula di duplicazione di Legendre (per la funzione Gamma). Si utilizza principalmente proprio la scomposizione del polinomio x^n-1 in \mathbb{C}.

Un altro metodo, anche se essenzialmente molto simile al tuo, parte dall'identità e^{\pm it}=\cos(t) \pm i\sin(t).

Ciao!
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Messaggio da franco » gio mar 29, 2007 9:54 pm

Immagine Wow!

Io ero arrivato a m/2^(m-1) calcolando il prodotto con excell e studiandomi un po' i risultati che ne uscivano fuori, ma qui siamo su un altro pianeta!

Però, visto che avevo fatto un piccolo grafico in excell, tanto vale che lo metta in mostra:
Immagine

ciao

Franco

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Messaggio da Br1 » ven mar 30, 2007 10:28 am

Dopo un paio di settimane senza internet,
finalmente posso ri-sbirciare (ma giusto un
attimo) fra i post di Basecinque...

Innanzitutto, do il benvenuto a Karl :D

Credo di non sbagliare se penso che sia
l'ottimo solutore che ho già conosciuto
altrove, preparatissimo e sempre molto
istruttivo!
Non ho avuto modo di "misurarmi" con
il problema (che forse mi avrebbe liquidato
in pochi millimetri...), ma son proprio felice
di aver potuto leggere la soluzione di Karl:
impeccabile, come dice Tino!

Grazie, Karl!
Grazie anche a Tino per il quesito e a Franco
per il suo interessante contributo.
Bruno

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