fai la somma

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Pasquale
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fai la somma

Messaggio da Pasquale » mar dic 27, 2005 7:26 pm

ANNULLATO

Anche di questo non ho la soluzione, ma ve lo passo per la vostra goduria (mi sa che deve essere un po' tosto):

trovare la somma della serie infinita 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+ ....…., in cui al denominatore compaiono solo numeri divisibili per 2 e/o 3 (giustificare).

ANNULLATO
Ultima modifica di Pasquale il mer dic 28, 2005 6:51 pm, modificato 1 volta in totale.
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Bruno
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Messaggio da Bruno » mer dic 28, 2005 11:26 am

...

Pasquale, ciao.

Ho bisogno di un chiarimento, mi sfugge qualcosa.
Il quattro e il due non son divisibili per tre, perché allora non c'è l'otto?
E perché non c'è il nove ma il tre sì?
I denominatori devono essere della forma \displaystyle {\tex\footnotesize 2^\alpha \cdot 3^\beta} con esponenti non negativi?
Intanto grazie ;)

Bruno

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Messaggio da Pasquale » mer dic 28, 2005 6:48 pm

...e il 10? Chiedo scusa, Bruno ha ragione...non ho controllato che il testo fosse aderente alla serie scritta...mi sono fidato ed in effetti questo è accaduto, perché il quesito non l'ho proprio studiato, nella fretta di mettervi al lavoro.....
Va bene, il quesito è da intendersi annullato.
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Messaggio da Admin » mer dic 28, 2005 8:28 pm

Chiudo il topic?
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Messaggio da panurgo » mer dic 28, 2005 8:31 pm

Sarebbe un peccato, perché nella formulazione di Bruno mi pare interessante: la serie è

S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{16}} +  \cdots  = \sum\nolimits_{\alpha ,\beta  \in N} {\frac{1}{{2^\alpha  3^\beta  }}}

E’ possibile raggruppare i termini in

S_{0,0}  = 1

e infinite somme del tipo

S_{n,m}  = \frac{1}{{2^n 3^m }} + \frac{1}{{2^{2n} 3^{2m} }} + \frac{1}{{2^{3n} 3^{3m} }} +  \cdots

nelle quali n e m devono essere primi tra loro. Ciò perché se, per esempio, n= p m allora

\frac{1}{{2^n 3^m }} = \frac{1}{{\left( {2^1 3^p } \right)^n }}

e quindi sarebbe un termine della somma S_{1,p}. Ugualmente per m = q n

Consideriamo la somma S_{1,0}

S_{1,0}  = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} +  \cdots

Si tratta della serie geometrica di ragione \frac 1 2 senza il primo termine, cioè

S_{1,0}  = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} +  \cdots  = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}} +  \cdots  - 1 = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} - 1 = 1

La somma somma S_{0,1} vale

S_{0,1}  = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} +  \cdots  = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{81}} +  \cdots  - 1 = \frac{1}{{1 - \frac{1}{3}}} - 1 = \frac{1}{2}

La somma somma S_{1,1} vale

S_{1,1}  = \frac{1}{6} + \frac{1}{{36}} + \frac{1}{{216}} + \frac{1}{{1296}} +  \cdots  = \frac{1}{5}

E, in generale, la somma S_{n,m} vale

S_{n,m}  = \frac{1}{{2^n 3^m }} + \frac{1}{{2^{2n} 3^{2m} }} + \frac{1}{{2^{3n} 3^{3m} }} +  \cdots  = \frac{1}{{2^n 3^m  - 1}}

Nella formulazione di Pasquale, la serie è

S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{16}} +  \cdots

ovvero

S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{12}} +  \cdots  + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{15}} +  \cdots  - \frac{1}{6} - \frac{1}{{12}} - \frac{1}{{18}} -  \cdots

e, quindi

S = 1 + \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6}} \right)\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} +  \cdots } \right) = 1 + \frac{2}{3}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} +  \cdots } \right) = \infty

La serie diverge
Ultima modifica di panurgo il gio dic 29, 2005 8:35 am, modificato 1 volta in totale.
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Messaggio da panurgo » gio dic 29, 2005 8:24 am

panurgo ha scritto:n e m devono essere primi tra loro
In realtà, non devono avere fattori comuni, ovvero MCD = 1. Infatti, se n = p a e m = q a allora \frac 1 {2^n 3^m} = \frac 1 {\left ( 2^p 3^q\right )^a} e quindi è un termine della somma S_{p,q}
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Messaggio da Ospite » gio dic 29, 2005 11:11 am

A me il quesito sembra molto semplice!
La somma è 3 infatti essa si può scrivere nel seguente modo:
(1/2^0+1/2^1+1/2^2+1/2^3+...+1/2^n)*(1/3^0+1/3^1+1/3^2+1/3^3+...+1/3^n)
Essendo il prodotto di due serie geometriche di ragioni 1/2 e 1/3 si ottiene:
[1/(1-1/2)]]*[1/(1-1/3)]=2*3/2=3

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Messaggio da panurgo » gio dic 29, 2005 11:30 am

Ospite ha scritto:A me il quesito sembra molto semplice!
La somma è 3 infatti essa si può scrivere nel seguente modo:

S = \left ( \frac 1 {2^0} + \frac 1 {2^1} + \frac 1 {2^2} + \frac 1 {2^3} + \cdots + \frac 1 {2^n} + \cdots \right) \times \left ( \frac 1 {3^0} + \frac 1 {3^1} + \frac 1 {3^2} + \frac 1 {3^3} + \cdots + \frac 1 {3^n} + \cdots \right)

Essendo il prodotto di due serie geometriche di ragioni \frac 1 2 e \frac 1 3 si ottiene:

\frac 1 {1 - \frac 1 2} \times \frac 1 {1 - \frac 1 3} = 2 \times \frac 3 2 = 3
Col che Ospite ha dimostrato anche quanto vale il mio acume... :cry:
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Messaggio da Bruno » gio dic 29, 2005 12:36 pm

...

Il tuo acume ha valore alto e intatto!
D'altra parte, la questione è nata un po' zoppicante...

;) Bruno

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